四川省成都石室中学2022-2023学年高三下学期高考适应性考试（一）数学（理）试题+Word版含答

成都石室中学高2023届高考适应性考试（一）

理科数学

（全卷满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．

4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．

1．设集合，，则

A．    B．    C．   D．

2．已知复数，则共轭复数在复平面内对应的点位于

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

3．在统计中，月度同比是指本月和上一年同月相比较的增长率，月度环比是指本月和上一个月相比较的增长率．如图，是2022年1月至2022年12月我国居民消费价格月度涨跌幅度统计图，则以下说法错误的是

A．在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的中位数为2.1%

B．在这12个月中，月度环比数据为正数的个数比月度环比数据为负数的个数多3

C．在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的均值为1.85%

D．在这12个月中，我国居民消费价格月度环比数据的众数为0.0%

4．设，若，则

A．5     B．6     C．7     D．8

5．函数

A．奇函数，且最小值为0       B．偶函数，且最大值为2

C．奇函数，且最大值为2       D．偶函数，且最小值为0

6．考拉兹猜想由德国数学家洛塔尔·考拉兹在20世纪30年代提出，其内容是：任意正整数s，如果s是奇数就乘3加1，如果s是偶数就除以2，如此循环，最终都能够得到1．如图所示的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入s的值为5，则输出i的值为

A．3     B．4     C．5     D．6

7．已知函数的图象关于点对称，且在区间上单调，则ω的取值集合为

A．     B．     C．    D．

8．已知，，，则的最小值为

A．4     B．6     C．8     D．12

9．过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为，则双曲线的渐近线方程为

A．   B．   C．    D．

10．若，，，则，

A．   B．    C．    D．

11．已知椭圆：，过原点的直线交椭圆于A，B两点，且点A在第一象限，由点A向x轴作垂线，垂足为C，连接BC交椭圆于点D，若△ABD为直角三角形，则该椭圆的离心率为

A．     B．     C．     D．

12．直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线上一点满足，则

A．6     B．5     C．    D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是              ．（结果用最简分数表示）

14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值为              ．

15．如图，在正四棱台中，，，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积              ．

16．若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的最大值是              ．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）

“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动．某校为了了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，，，，，，用频率分布直方图表示如图所示．假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立．

（Ⅰ）估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率；

（Ⅱ）从全校学生中随机选取3人，记表示这3人一周参加课后活动的时间在区间的人数，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）设全校学生一周参加课后活动的时间的众数、中位数、平均数的估计值分别为a，b，c，请直接写出这三个数的大小关系．（样本中同组数据用区间的中点值替代）

18．（本小题满分12分）

已知正项数列的前n项和，其中A，B，q为常数．

（Ⅰ）若，求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）若，，求数列的前n项和．

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD，，AD∥BC，且，平面PCD⊥平面ABCD，且△PDC是以∠DPC为直角的等腰直角三角形，其中E为棱PC的中点，点F在棱PD上，且．

（Ⅰ）求证：A，B，E，F四点共面；

（Ⅱ）求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：的离心率，点，为椭圆C的左、右焦点，且经过点的最短弦长为3．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如图，过点分别作两条互相垂直的直线，，且直线与椭圆C交于不同两点A，B，直线与直线交于点P，若，且点Q满足，求的最小值．

21．（本小题满分12分）

已知函数，函数．

（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；

（Ⅱ）记，对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，与曲线：相交于P，Q两点．

（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程，并求出的取值范围；

（Ⅱ）求的取值范围．

23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知函数，不等式的解集为．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若三个实数a，b，c，满足，求证：．

成都石室中学高2023届高考适应性考试（一）

理科数学参考答案

答案及解析

1．D

【解析】因为，，所以且，，．故选D．

2．C

【解析】因为，所以，其对应点的坐标为，在第三象限．故选C．

3．C

【解析】在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据由小到大依次为0.9%，0.9%，1.5%，1.6%，1.8%，2.1%，2.1%，2.1%，2.5%，2.5%，2.7%，2.8%，中位数为，平均数为由数据可知，我国居民消费价格月度环比的数据中，有6个月的数据为正数，3个月的数据为0.0%，3个月的数据为负数，所以月度环比数据为正数的个数比月度环比数据为负数的个数多3，且众数为0.0%．因此，选项A，B，D均正确，C错误．故选C．

4．A

【解析】的展开式第项为．因为，所以，所以．故选A．

5．D

【解析】函数的定义域为，且，则，即函数为偶函数，故选项A，C均错误；因为，，，则，所以，所以函数的最小值为0，无最大值，故选项B错误，D正确．故选D．

6．C

【解析】

第一次循环，不成立，则，，不成立；

第二次循环成立，则，，不成立；

第三次循环成立，则，，不成立；

第四次循环，成立，则，，不成立；

第五次循环，成立，则，，成立．

跳出循环体，输出．故选C．

7．C

【解析】因为图象关于点对称，所以，所以，则，①．因为，所以．又在上单调，所以，则②．由①②可得，ω的取值集合为．故选C．

8．B

【解析】因为，所以，即，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为6．故选B．

9．D

【解析】如图，因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，所以AB为直径的圆的方程为，圆也过左焦点，所以AB与相等且平分，所以四边形为矩形，所以．设，，则，所以．因为，所以．因为△ABF的面积为，所以，得，所以，得，所以，所以，得，所以双曲线的渐近线方程为．故选D．

10．B

【解析】令，则，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．因为，所以．又，所以，所以，，所以，故．故选B．

11．A

【解析】如图，设点，其中，，则，，则，．设点，则，作差可得，所以，所以，则AD，BD不互相垂直，所以，则，所以

．又因为，所以，所以该椭圆的离心率为．故选A．

12．B

【解析】由已知易得，则．设，，则，，，．因为，所以，化简得．设AB的中点N的坐标为，则①．又由直线的斜率公式，得，且，所以，即②．由①②，解得，所以．故选B．

13．

【解析】因为4人分配到4所学校的情况总数为（种），4人恰好分配到4所学校的情况为（种），所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有（种），所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是．

14．

【解析】因为，所以由余弦定理得，整理得，即．又，即，所以点A在以B，C为焦点，长轴长为6的椭圆上（不在直线BC上）．如图，以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．设椭圆方程为，则，，所以．当点A是椭圆短轴顶点时，点A到BC的距离最大为，所以的最大值为．

15．

【解析】考虑上底长为2，下底长为4，内切圆半径为r的等腰梯形的面积，即，得，所以，所以球O的表面积．

16．e

【解析】由，得，则．令，则，故在上单增，且．令（且），则，所以当时，，单增；当或，，单减．又等价于，①当时，恒成立，所以；②当时，，即，所以；③当时，，且时，所以．综上，实数a的取值范围是，故实数a的最大值是e．

17．解：

（Ⅰ）根据频率分布直方图可得，学生一周参加课后活动的时间位于区间的频率为

．

因此，估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率为0.65．

（Ⅱ）从全校学生中随机选取1人，其一周参加课后活动的时间在区间的概率为0.4，所以，

则，

，

，

．

因此，的分布列为：

数学期望．

（Ⅱ）．

18．（Ⅰ）证明：当时，，

则．

又数列为正项数列，所以且．

当时．

又，所以．

则也符合．

因为，，

所以，

故数列是以为首项，q为公比的等比数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，，．

又由，得．

又由数列为正项数列，得，则．

又，且，得，

所以，

则，

，

两式相减得，

则．

19．（Ⅰ）证明：由，，且，

如图，取BC的中点M，连接DM，

则，且，

所以．

又△PDC是以∠DPC为直角的等腰直角三角形，

所以．

过点P作，垂足为N，则N为DC的中点，且．

因为平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面，

所以PN⊥平面ABCD，

故以AB，AD所在的直线分别为x轴，y轴，过点A作垂直于平面ABCD的z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，则．

因为E为棱PC的中点，点F在棱PD上，且，

所以，，

则，．

令，

则，

解得，，

故，则，，共面，且向量，，有公共点A，所以A，B，E，F四点共面．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，，．

设平面PAB的法向量为，

则，即，

令，则，，所以．

设平面PBC的法向量为，

则，即，

令，则，，所以．

设平面PAB与平面PBC夹角为θ，

则，

所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为．

20．解：

（Ⅰ）由题意，得，

解得，

所以椭圆C的方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，．

若直线的斜率为0，则直线的方程为与直线无交点，不满足条件．

设直线的方程为，

若，则，不满足，所以，

则直线的方程为．

设，，．

由，得，

所以，．

因为，即，

则，，

所以，

解得，则，

即．

联立，解得即，

所以，

当且仅当或时等号成立，

所以的最小值为5．

21．解：

（Ⅰ）由，得，且．

令，则，

当时，，所以在上单调递增，

所以，

所以的单调递增区间为．

当时，，

所以的单调递减区间为．

（Ⅱ）由题意，得，且，

则，．

令，则．

令，则，

所以在上单调递增．

①若，则，

此时单调递增，即在上单调递增，

所以，

所以在上单调递增，

此时恒成立．

②若，则，，

所以存在，使，

故存在，使得，

此时单调递减，即在上单调递减，

所以，

故在上单调递减，

此时，不符合题意．

综上，实数a的取值范围是．

22．解：

（Ⅰ）因为，，，且曲线：，

所以曲线的直角坐标方程为，即．

当时，显然成立；

当时，设直线方程为，圆心到直线的距离为d，

因为直线与圆有两个交点，所以，

解得或，

又因为，所以．

综上，的取值范围是．

（Ⅱ）设P，Q两点对应的极径分别为，．

将代入，

得，则，，

所以．

因为，

所以，则，

所以的取值范围是．

23．解：

（Ⅰ）由题意，得，

所以，解得，

所以．

经检验，符合题意．

（Ⅱ）因为．

所以

．

由柯西不等式可知，

所以，

即，

当且仅当，，时等号成立．