2023届河南省新未来高三5月联考数学（理）试题含解析

2023届河南省新未来高三5月联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由指数函数性质得集合，解绝对值不等式得集合，然后根据交集定义计算．

【详解】∵，，∴．

故选：C．

2．已知复数z满足，则（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】由复数的除法运算和模长运算可得答案.

【详解】依题意，，∴．

故选：A．

3．已知向量，满足，，，则（    ）

A． B． C．12 D．24

【答案】C

【分析】根据数量积的运算律即可求解．

【详解】由，

所以．

故选：C．

4．一个球体被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的面积，其中R为球的半径，H为球缺的高．如图，若一个半径为R的球体被平面所截获得两个球缺，其高之比为，则表面积（包括底面）之比（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由球的性质可求出截面圆的半径，从而求出表面积，可解此题.

【详解】∵，，∴，，

∴．

故选：B

5．设F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，点Q在准线l上，满足轴．若，则（    ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】A

【分析】先根据题意和抛物线的性质可得到为等边三角形，进而即可求得的值．

【详解】依题意有，则为等边三角形，

又轴，所以．

故选：A．

6．执行如图所示的程序框图，则输出a的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定的程序框图，依次各次循环的值，确定退出循环时值表达式，再利用二倍角的正弦公式计算作答.

【详解】第一次循环：，；第二次循环：，；

第三次循环：，，…，

第6次循环：，，

所以

.

故选：A

7．已知，，，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据对数的运算性质，化简得到，，，即可求解.

【详解】由对数函数的运算性质，可得，

，，所以．

故选：D．

8．已知正项数列的前n项和为，满足，则（    ）

A．2022 B．2023 C．2024 D．2025

【答案】B

【分析】由递推式得出，两式相减根据，可得是首项为1，公差为1的等差数列，进而利用通项公式求解即可.

【详解】由题意，，，

两式相减，得，

．

，．

当时，，，

是首项为1，公差为1的等差数列．

．

故选：B

9．已知函数的图象在内有且仅有一条对称轴，则的最小值为（    ）

A．0 B． C．1 D．

【答案】B

【分析】由，则，再根据题意得到，从而求得的范围，进而得到的范围，再利用正弦函数的性质即可求解．

【详解】由，

又，则，

因为函数的图象在内有且仅有一条对称轴，

所以，解得，则，

所以，故则的最小值为．

故选：B．

10．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和除以，余数分别为，，，，所对应的概率分别为，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由古典概型概率公式求解即可.

【详解】由题设，两枚骰子所得点数之和除以4的余数情况如下：

从表中余数情况可知，共36个基本事件，

其中余数为，，，，分别有个，个，个，个基本事件，

∴，，，，

∴．

故选：B．

11．已知斜率为的直线l经过双曲线的右焦点F，交双曲线C的右支于A，B两点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设出直线l的方程为，联立双曲线，得到两根之和，两根之积，由得到，结合两根之和，两根之积，列出方程，求出离心率.

【详解】设，，直线l的方程为，其中，

联立得．

∴，，

由，得，即，

∴，即，

∴，整理得，

∴离心率．

故选：C．

12．若，恒成立，则a的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】原不等式等价于，当，可得，当时构造，利用导数研究单调性可得，即可得在上恒成立，构造，利用导数求得最大值，即可求解.

【详解】依题意，．

因为，

所以，若，显然成立，此时满足；

若，令，在上恒成立，

∴在上单调递增，而，∴．

综上，在上恒成立，∴．

令，，

所以当时，单调递增；当时，单调递减.

所以，即．所以a的最小值为.

故选：B．

【点睛】不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；

②数形结合( 图象在 上方即可)；

③分类讨论参数.

二、填空题

13．二项式的展开式中含的系数为________．

【答案】10

【分析】先求二项式的展开式的通项公式，再令的次数为5即可求解.

【详解】展开式通项公式为，令，得，

展开式中含的系数为．

故答案为：10.

14．定义在上的函数满足，则______．

【答案】1012

【分析】先根据题意可得到，从而可得到函数的周期性，再通过赋值和得到和，进而即可求解．

【详解】由，

则，

所以，即，

所以是以4为周期的周期函数．

令，得，所以，

令，则，所以，

所以．

故答案为：1012．

15．已知P为正方体表面上的动点，若，，则当DP取最小值时，三棱锥的体积为______．

【答案】/

【分析】由已知得，得点P的轨迹是以为直径的球面与正方体表面的交线，为两段圆弧，根据圆的性质，取AB中点O，连接DO，当DP取最小值时，P为线段DO与半圆弧的交点，由此计算三棱锥体积即得．

【详解】∵，∴,∴点P的轨迹点P的轨迹是以为直径的球面与正方体表面的交线，是以AB为直径的两段半圆弧．取AB中点O，连接DO，当DP取最小值时，P为线段DO与半圆弧的交点．

，，

，

．

故答案为：．

16．如图，在等腰中，，，点D在所在的平面内，且．当取得最小值时，______．

【答案】

【分析】设，当点D在内时，取得最小值，由余弦定理可得，再由利用两角差的正弦展开式化简得，设，，则转化为方程一定有解可得答案．

【详解】设，显然，当点D在内时，取得最小值，

此时

，

设，，则方程一定有解，

则，即，∴，

当取最小值时，．

故答案为：．

三、解答题

17．已知数列满足，．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用递推式得出是以1为首项，3为公比的等比数列，求出，进而求解即可.

（2）利用错位相减法求解数列前项和即可.

【详解】（1）由，得，

又，是以1为首项，3为公比的等比数列，

，，

即数列的通项公式为.

（2）由（1）知，，

则，①

得，②

①－②得

，

故．

18．如图，在三棱锥中，侧面底面ABC，且为等边三角形，，，D为PA的中点．

(1)求证：；

(2)求直线BD与平面PBC所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取AC中点E，连接DE，BE，得，由面面垂直性质得线面垂直，从而得线线垂直，再由平行线性质得，从而得证线面垂直后证得题设结论线线垂直；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角．

【详解】（1）证明：如图，取AC中点E，连接DE，BE，∵为等边三角形，∴，

又侧面底面ABC，底面ABC，侧面底面，∴平面PAC．

∵平面PAC，∴，

又D，E分别为PA，AC中点，∴，又，∴，

∵，DE，平面BDE，∴平面BDE，又平面BDE，

∴；

（2）以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设等边的边长为4，

∴，，，，，

∴，，，

设平面PBC的法向量为，则，即，则可取，

∴，∴直线BD与平面PBC所成角的正弦值为．

19．清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，是传统的重大春祭节日，扫墓祭祀、缅怀祖先是中华民族自古以来的优良传统．某社区进行流动人口统计，得知近5年回老家2次及以上的人数占比约为90%，现在随机抽取了100人，了解他们今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的列联表：

(1)根据统计完成以上列联表，依据小概率值的独立性检验，并根据表中数据分析，是否有把握认为回老家祭祖与年龄有关？

(2)从社区流动人口中随机抽取3人，设其中近5年回老家2次及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望．

参考公式：，其中．

参考数据：

【答案】(1)列联表见解析；有把握认为是否回老家祭祖与年龄有关

(2)分布列见解析；

【分析】（1）由题意补全列联表，计算与临界值比较即可得解；

（2）由题意可得，根据二项分布得出概率分布列，求期望.

【详解】（1）补全表格如下：

，

∴有把握认为是否回老家祭祖与年龄有关；

（2）由题意，一个居民近5年回老家2次及以上的概率为，

由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，且，

则，，，．

∴X的分布列为：

数学期望．

20．已知椭圆过点，且离心率为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，试问：的内心是否在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)的内心在定直线上

【分析】（1）根据题意建立关于，的方程组，再求解即可得到椭圆C的标准方程；

（2）设，，联立直线和椭圆C的标准方程，得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理证明，进而即可得出结论．

【详解】（1）依题意有，解得，

所以椭圆C的标准方程为．

（2）设，，

联立，消整理得，

则，，所以，

所以，

所以，

又，

所以恒成立，则的平分线总垂直于x轴，

所以的内心在定直线上．

【点睛】关键点点睛：在解答小问（2）时，关键在于利用韦达定理得到，进而得到的内心在定直线上．

21．已知函数，，．

(1)若，在上恒成立，求实数的取值范围；

(2)若函数与的图象有且只有一条公共切线，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）构造函数，利用导数求解的单调区间和最值，使恒成立求解即可；

（2）分别设与的图象的切线，使两条切线斜率和截距相等，并只有一组解即可.

【详解】（1）若，则，

设，，

则，令，解得，

当时，，在区间上单调递增，

当时，，在区间上单调递减，

∴当，取得极大值，

∴当时，，即，

∴若在上恒成立，则.

∴实数的取值范围是.

（2）∵，，，

∴，，

设与上各有一点，，

∴在点处的切线方程为，即，

在点处的切线方程为，即，

若函数与的图象有且只有一条公共切线，

则方程组有唯一解，

消去，整理得，（）

令，，（），则有唯一零点，

∴，（），令，解得，

∴当时，，在区间上单调递减，

当时，，在区间上单调递增，

∴当时，取极小值，

∵有唯一零点，∴，

令，（），则，

∴当时，，在区间上单调递增，

当时，，在区间上单调递减，

∴当时，取极大值，且是的唯一零点，

即有唯一实数根，

∴当时，函数与的图象有且只有一条公共切线．

【点睛】方法点睛：两个函数图象的公切线问题，一般先设切点分别求出两条切线，再使两条切线的斜率和截距相等得到方程组，转化为方程组有解问题，再通过消元、构造函数的方法解决.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

(2)设直线与曲线，分别交于A，B两点（异于极点），求线段AB的长度．

【答案】(1)曲线；曲线

(2)

【分析】（1）将曲线的参数方程化为普通方程，进而化为极坐标方程即可；

（2）直线过原点，所以化为极坐标方程后与曲线，的极坐标方程联立，利用的几何意义求解即可.

【详解】（1）曲线（为参数），消去参数得，

将代入，得曲线的极坐标方程为，

由得，∴，

∴曲线的直角坐标方程为；

（2）易知直线l的极坐标方程为，代入曲线，的极坐标方程

得，，

∴．

23．已知，函数的最小值为2，证明：

(1)；

(2)．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据绝对值的三角不等式，得到的最小值为，进而化简得到，结合二次函数的性质，即可求解；

（2）由（1）得到，化简，结合基本不等式，即可求解.

【详解】（1）证明：由于，则，

当且仅当取等号，故的最小值为，

所以，

当且仅当，时取等号.

（2）解：由（1）知，所以，

所以，当且仅当，即时取等号．