第9讲 比例的意义和基本性质——2022-2023学年六年级数学下册期末专项复习（苏教版）（含答案）

第9讲 比例的意义和基本性质（讲义）

（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）

1、比例的意义。

表示两个比相等的式子叫作比例。根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。

2、判断两个比能不能组成比例的关键是看两个比的比值是不是相等。只有比值相等的比才可以组成比例。

3、比例各部分名称。

组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。

温馨提示：在比例里，内项交换位置或外项交换位置，比例仍然成立。

4、比和比例的区别。

（1）比表示两个数相除，它有两项，即前项、后项；比例表示两个比相等，它有四项，即两个内项和两个外项。

（2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例也有基本性质，它是解比例的依据。

5、比例的基本性质。

在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。如果用字母表示比例的四个项，即a﹕b=c﹕d，那么a×d = b×c。

温馨提示：根据比例的基本性质，已知比例中的任意三项，就可以求出未知的一项。

6、解比例。

求比例中的未知项，叫作解比例。解比例可依据比例的基本性质。

1、比例中等号的两侧必须都是一个比。

2、把等式ax=by改写成比例时，相乘的两个字母必须同时作比例的外项或内项。

3、根据比例的基本性质解比例时，应该先把比例转化成“两个外项的积=两个内项的积”的形式，再解方程。

【易错一】下面各组比中，能与组成比例的是（    ）。

A．4∶3 B．3∶4 C． D．

【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，据此先求出的比值，再逐项求出各比的比值，比值相等的两个比即可组成比例。

【详解】＝＝

A．4∶3＝4÷3＝，与比值不相等，不能组成比例；

B．3∶4＝3÷4＝，与比值相等，能组成比例；

C．＝＝，与比值不相等，不能组成比例；

D．＝＝，与比值不相等，不能组成比例。

故答案为：B

【点睛】根据比例的意义即可解答。比的前项除以后项即可求出比值。

【易错二】6个矿泉水空瓶可以换2包糖，我用21个矿泉水空瓶换了x包糖。请根据题意，写出比例(        )。

【分析】根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例；用6个矿泉水空瓶可以换2包糖，所以每包糖的可以换（6÷2）瓶矿泉水瓶，用比表示就是6∶2；用21个矿泉水空瓶可以换x包糖，所以每包糖的可以换（21÷x）瓶矿泉水空瓶，用比表示就是21∶x；两个比的比值相等，据此写出比例（答案不唯一）。

【详解】根据分析可知，6个矿泉水空瓶可以换2包糖，我用21个矿泉水空瓶换了x包糖。请根据题意，写出比例：6∶2＝21∶x。

【点睛】熟练掌握比例的意义并能灵活运用。

【易错三】在比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是2.5，另一个内项是（    ）。

A． B． C．4

【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。两个外项互为倒数，它们的乘积是1，则两个内项的乘积也是1，用1除以2.5即可求出另一个内项。

【详解】1÷2.5＝，则另一个内项是。

故答案为：B

【点睛】本题考查了倒数的意义和比例的基本性质。根据倒数的意义，明确“两个外项、两个内项的积都是1”是解题的关键。

【易错四】小宇在操场上量得1.4m长的标杆的影长是2.1m。那么此时影长18m的教学楼的实际高度是(      )m。

【分析】根据题意，标杆的实际长度与影长的比值一定，所以物体的实际长度与影长成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。

【详解】解：设教学楼的实际高度是m。

＝

2.1＝1.4×18

2.1＝25.2

＝25.2÷2.1

＝12

【点睛】关键是判断题目中的两种相关联的量成什么比例关系，据此列出相应的比例方程。

【易错五】某工厂要生产一批机器零件，5天生产410个，照这样计算，要生产1066个机器零件需要多少天？（用比例方法解）

【分析】“照这样”说明加工的工作效率不变；工作效率一定，工作量和工作时间成正比例；设需要x天完成，由比例关系列出方程解答。

【详解】解：设要生产1066个机器零件需要x天，

410∶5＝1066∶x

410x＝1066×5

410x＝5330

x＝13

答：要生产1066个机器零件需要13天。

【点睛】本题考查比例的应用。利用工作量和工作时间之间的比例关系求解，找出比例关系列方程解决。

一、选择题

1．在24的因数中任意选四个数组成一个比例，错误的是（    ）。

A． B． C． D．

2．下面与5，7，10组成比例的是（    ）。

A．8 B．14 C．9 D．12

3．不能与3，6，9组成比例的数是（    ）。

A．2 B．12 C．18 D．

4．下列说法错误的是（    ）。

A．0既是自然数，也是偶数

B．所有真分数都小于1，所有假分数都大于1

C．在一个比例中，如果两个外项互为倒数，那么两个内项的积是1

5．能与∶组成比例的是（    ）。

A．4∶3 B．3∶4 C．

6．下面每组的两个比不能组成比例的是（    ）。

A．7∶8和14∶16 B．0.8∶0.6和0.4∶0.3

C．和9∶8 D．5∶6和20∶24

7．下图a和b、c和d分别是平行四边形的对应的底和高，下面式子错误的是（    ）。

A．a∶c＝d∶b               B．c∶b＝a∶d C．a∶b＝c∶d

8．下面各组的两个比，能组成比例的有（    ）组。

①18∶15和0.6∶0.5    ②0.4∶0.8和0.5∶0.2    ③16∶8和1.2∶0.6

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题

9．∶的比值是(        )，10∶16的比值是(        )；这两个比组成的比例是(        )。

10．“84消毒液”用于室内喷洒消毒除菌，通常浓度不宜过高，否则会危及身体健康，建议采取1份“84消毒液”与100份“水”进行配制，这样不仅可达到较好的消毒作用，还能避免健康隐患。“84消毒液”与配制成的药水比是(        )∶(        )，请写出与它比值相等的比并组成的比例是(        )。

11．在一个比例中，两个外项互为倒数，一个内项是10，另一个内项是(        )。

12．如果A∶B＝8∶7，那么A×(        )＝ (        )×8，这是根据(        )。

13．5与8的比等于40与x的比。列出比例是(        )，解比例x＝(        )。

14．在比例里两个外项都是3的倍数，和为15，两个内项的积是(        )。

15．18的因数有(          )个；请你选择其中四个数组成比例，使两个比的比值都等于0.5，这个比例可以是(          )。

16．王叔叔用不锈钢管焊制一种长方形框架。一条钢管如果全部切割成这个长方形较长的边，可以切割10条；如果全部切割成这个长方形较短的边，可以切割15条。用一条这样的钢管，可以做(          )个这样的长方形框架。

三、判断题

17．5a—0＝6b，那么＝。(        )

18．两个比和在一起就成了比例。(        )

19．比例的四个项同时乘同一个不为0的数，比例仍然成立。(          )

20．如果A×9＝B×6（A、B均不为0），那么A与B的比是3∶2。(        )

四、计算题

21．解比例。

0.4∶＝∶60                   ＝

∶＝21∶                   （2＋）∶2＝21∶6

五、解答题

22．甲，乙两个车间原来人数比为7∶3，甲车间人数调出后，还剩42人，乙车间原来有多少人？（用比例解）

23．已知a∶b＝3∶2，b∶c＝3∶2，请写出a，b，c三者的连比。

24．把中间的长方形分别按比例缩小和放大后得到了左、右两个长方形，请分别写出两个比例，并求出未知数x和y。

25．写出两个内项都是6，两个比的比值都是4的比例。

26．利用比例的内项之积与外项之积的关系，判断下面哪组的两个比可以组成比例，并写出组成的比例。

5∶8和20∶24        ∶和∶

27．相同质量的水和冰的体积之比是9∶10，一块体积是50dm3的冰，化成水后的体积是多少？（用比例解）

28．张大爷给果树叶面施肥。配成这种营养液需要加水多少千克？（用比例知识解答。）

29．新冠肺炎疫情防控的重要措施之一是公共场所按要求消毒，用“84”消毒液配制成消毒水，给公共场所消毒时比例一般为1∶50，用250毫升的“84”消毒液需添加多少毫升水？（用比例知识解答）

30．请根据下面小红和小林在操场上的对话，算出旗杆的高度。（用比例解）

小红：“我想测量这根旗杆的高度，可是太高了！”

小林：“我有办法，你看，我的身高是1.5米，影子的长度是0.8米。”

小红：“哦，我明白了。你看，旗杆的影子长9.6米，那么，旗杆的高度是……。”

参考答案

1．D

【分析】根据找一个数的因数的方法，写出24所有的因数，再根据比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。据此判断4个选项里的比例是否成立。

【详解】24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。

A．2、3、8、12是24的因数，2×12＝24，3×8＝24，24＝24，所以符合题意；

B．1、4、6、24是24的因数，1×24＝24，6×4＝24，24＝24，所以符合题意；

C．3、4、6、8是24的因数，3×8＝24，6×4＝24，24＝24，所以符合题意；

D．2、3、24是24的因数，但16不是24的因数，所以不符合题意；

故答案为：D

【点睛】此题的解题关键是根据比例的基本性质以及求一个数的因数的方法求解。

2．B

【分析】根据比例的基本性质：在比例里，两内项之积等于两外项之积；将四个数中间的最小数与最大数同时作外项或内项，将最小数与最大数相乘，剩下的两个数相乘，如果积相等，就能组成比例，据此解答。

【详解】A．5×10＝50，8×7＝56，50≠56，所以8与5，7，10不能组成比例；

B．14×5＝70，10×7＝70，70＝70，所以14与5，7，10能组成比例；

C．5×10＝50，9×7＝63，50≠63，所以9与5，7，10不能组成比例；

D．5×12＝60，10×7＝70，60≠70，所以12与5，7，10不能组成比例；

故答案为：B

【点睛】解答本题的关键是熟练掌握比例的基本性质。

3．B

【分析】若两组的比的比值相等，则这两组比可组成比例。据此判断即可。

【详解】A．因为2∶3＝6∶9，所以2，3，6，9可以组成比例；

B．因为3，6，9，12不能组成两组比值相等的比，所以3，6，9，12不能组成比例；

C．因为3∶6＝9∶18，则3，6，9，18可以组成比例；

D．因为3∶＝6∶9，则3，6，9，可以组成比例。

故答案为：B

【点睛】本题考查比例，明确比例的意义是解题的关键。

4．B

【分析】A．整数中，是2的倍数的数叫做偶数；最小的自然数是0；

B．分子比分母小的分数叫做真分数；分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数；真分数＜1，假分数≥1；

C．比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积；乘积是1的两个数互为倒数。

【详解】A．0既是自然数，也是偶数，原题说法正确；

B．所有真分数都小于1，所有假分数都大于1或等于1，原题说法错误；

C．在一个比例里，两个外项互为倒数，则它们的乘积是1；根据比例的基本性质可知，这个比例的两个内项的乘积也是1，原题说法正确。

故答案为：B

【点睛】掌握偶数、自然数、真分数、假分数的意义以及比例的基本性质的灵活应用是解题的关键。

5．A

【分析】若两组比的比值相等，则它们就可以组成比例。据此判断即可。

【详解】∶＝

A．4∶3＝

B．3∶4＝

C．＝

故答案为：A

【点睛】本题考查比例的意义，明确比例的意义是解题的关键。

6．C

【分析】若两组比的比值相等，则它们可以组成比例，据此选择即可；

【详解】A．7∶8＝，14∶16＝，所以7∶8和14∶16可以组成比例；

B．0.8∶0.6＝，0.4∶0.3＝，所以0.8∶0.6和0.4∶0.3可以组成比例；

C．＝，9∶8＝，所以和9∶8不可以组成比例；

D．5∶6＝，20∶24＝，所以5∶6和20∶24可以组成比例。

故答案为：C

【点睛】本题考查比例的意义，明确若两组比的比值相等，则它们可以组成比例是解题的关键。

7．C

【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，可以得S＝ab，S＝cd，可得ab＝cd，再根据比例的基本性质，逐一分析3个选项里的式子，找出错误的比例，据此解答。

【详解】根据分析得，S＝ab，S＝cd，

可得ab＝cd。

A．a∶c＝d∶b可得ab＝cd，原题所写比例正确；

B．c∶b＝a∶d可得ab＝cd，原题所写比例正确；

C．a∶b＝c∶d可得ad＝bc，与ab＝cd不相符，原题所写比例错误。

故答案为：C

【点睛】此题考查的目的是理解掌握平行四边形的面积公式及应用，比例的基本性质及应用。

8．C

【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，即比值相等的两个比可以组成比例；分别求出各项中两个比的比值，若相等，即可组成比例。

【详解】①18∶15＝，0.6∶0.5＝，比值相等，能组成比例；

②0.4∶0.8＝，0.5∶0.2＝，比值不相等，不能组成比例；

③16∶8＝2，1.2∶0.6＝2，比值相等，能组成比例。

①、③能组成比例，共有2组。

故答案为：C

【点睛】掌握比例的意义以及比值的求法是解题的关键。

9．               ∶＝10∶16

【分析】用比的前项除以比的后项，即可求出比值；通过计算，两个比的比值都是，根据比例的意义可知，表示两个比相等的式子，即是比例，据此写出这两个比组成的比例。

【详解】∶

＝÷

＝×

＝

10∶16

＝10÷16

＝

∶的比值是，10∶16的比值是；

这两个比组成的比例是∶＝10∶16。

【点睛】此题的解题关键是掌握求比值的方法以及理解比例的意义。

10．     1     101     1∶101＝2∶202

【分析】根据1份“84消毒液”与100份“水”进行配制，计算出配制成的药水的质量，即可计算“84消毒液”与配制成的药水的比，据此解答。

【详解】1∶（100＋1）＝1∶101

所以“84消毒液”与配制成的药水比是1∶101。

与它的比值相等的比并组成的比例有

1∶101＝2∶202

【点睛】解答本题的关键是先计算出配制成的药水的质量，再结合题意分析即可解答。

11．0.1

【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。两个外项互为倒数，它们的乘积是1，则两个内项的乘积也是1，用1除以10即可求出另一个内项。

【详解】1÷10＝0.1

即另一个内项是0.1。

【点睛】本题考查了倒数的意义和比例的基本性质。根据倒数的意义，明确“两个外项等于两个内项的积”是解题的关键。

12．     7     B     比例的基本性质

【分析】根据比例的基本性质，内项积等于外项积，据此填空即可。

【详解】因为A∶B＝8∶7

所以A×7＝B×8，这是根据比例的基本性质。

【点睛】本题考查比例的基本性质，熟记比例的基本性质是解题的关键。

13．     5∶8＝40∶x     64

【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，5与8的比表示为5∶8，40与x的比表示为40∶x，即5∶8＝40∶x，在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，再利用等式的性质2，方程两边同时除以5，据此解答。

【详解】5∶8＝40∶x

解：5x＝8×40

5x＝320

5x÷5＝320÷5

x＝64

分析可知，列出比例是5∶8＝40∶x，解比例x＝64。

【点睛】掌握比例的意义和解比例的方法是解答题目的关键。

14．36或54

【分析】比例的两内项积＝两外项积，将两外项和拆成两个3的倍数相加的形式，再求出两个加数的和即可。

【详解】15＝3＋12＝6＋9

3×12＝36

6×9＝54

在比例里两个外项都是3的倍数，和为15，两个内项的积是36或54。

【点睛】关键是掌握并灵活运用比例的基本性质。

15．     6##六     1∶2＝3∶6

【分析】先写出18的所有因数，再根据“表示两个比相等的式子叫做比例”写出比值为0.5的比例，据此解答。

【详解】18的因数有1，2，3，6，9，18，则18一共有6个因数，其中1∶2＝0.5，3∶6＝0.5，9∶18＝0.5，这个比例可以是1∶2＝3∶6。（答案不唯一）

【点睛】准确列举出18的所有因数并掌握比例的意义是解答题目的关键。

16．3

【分析】由题意可知，钢管的总长度不变，则长×10＝宽×15，根据比例的基本性质求出长和宽的比为3∶2，设出长方形的长和宽，钢管的总长度＝长×10，长方形的周长＝长×2＋宽×2，可以做长方形框架的数量＝钢管的总长度÷长方形框架的周长，据此解答。

【详解】分析可知，长×10＝宽×15，则长∶宽＝15∶10＝3∶2，假设长为3a，宽为2a。

（10×3a）÷（2×3a＋2×2a）

＝30a÷（6a＋4a）

＝30a÷10a

＝3（个）

所以，可以做3个这样的长方形框架。

【点睛】分析题意求出长和宽的比，并熟记长方形的周长计算公式是解答题目的关键。

17．×

【分析】根据题意，可知5a＝6b，根据比例的基本性质可知＝，据此解答即可。

【详解】5a—0＝6b，那么＝，原题说法错误。

故答案为：×

【点睛】熟练掌握比例的基本性质是解答本题的关键。

18．×

【详解】两个或两个以上比值相等的比，可以组成比例。所以，并不是任何两个比和在一起就成了比例。

故答案为：×

19．√

【分析】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。根据比例的基本性质，四项同时乘同一个不为0 的数，两个外项的积相当于乘了2次这个数，两个内项的积也相当于乘了2次这个数，依然相等，所以说法正确。

【详解】根据比例的基本性质，可以用举例法来判断，比如以下比例：

1∶2＝2∶4

假设该比例的四个项同时乘上5，则得到，

5∶10＝10∶20，比例成立。

故答案为：√。

【点睛】本题主要考查比例的基本性质的应用。

20．×

【分析】根据比例的基本性质，内项积等于外项积，据此找到A与B的比。

【详解】因为A×9＝B×6，所以A∶B＝6∶9＝（6÷3）∶（9÷3）＝2∶3，所以原题干说法错误。

故答案为：×

【点睛】本题考查比例的基本性质，明确内项积等于外项积是解题的关键。

21．＝30；＝1.6

＝12；＝5

【分析】（1）先根据比例的基本性质将比例方程改写成＝0.4×60，然后方程两边同时除以，求出方程的解；

（2）先根据比例的基本性质将比例方程改写成4.5＝9×0.8，然后方程两边同时除以4.5，求出方程的解；

（3）先根据比例的基本性质将比例方程改写成＝21×，然后方程两边同时除以，求出方程的解；

（4）先根据比例的基本性质将比例方程改写成6（2＋）＝2×21，然后方程两边先同时除以6，再同时减去2，求出方程的解。

【详解】（1）0.4∶＝∶60

解：＝0.4×60

＝24

÷＝24÷

＝24×

＝30

（2）＝

解：4.5＝9×0.8

4.5＝7.2

4.5÷4.5＝7.2÷4.5

＝1.6

（3）∶＝21∶

解：＝21×

＝

÷＝÷

＝×

＝12

（4）（2＋）∶2＝21∶6

解：6（2＋）＝2×21

6（2＋）＝42

6（2＋）÷6＝42÷6

2＋＝7

2＋－2＝7－2

＝5

22．24人

【分析】设乙车间原来有x人，根据甲、乙两个车间原来人数比为7∶3，找出关系式，列出方程：，解答即可。

【详解】解：设乙车间原来有x人。

答：乙车间原来有24人。

【点睛】解答此题的关键是先求出甲车间的人数，根据甲、乙两个车间原来人数比为7∶3，进而列比例求解。

23．9∶6∶4

【分析】a∶b＝3∶2，b∶c＝3∶2，要想写出a，b，c三者的连比，两个比中b必须相等，根据比的基本性质，3∶2的前、后项都乘3就是9∶6，3∶2的前、后项都乘2就是6∶4，这样两个比中b都是6，据此即可写出a，b，c三者的连比。

【详解】a∶b＝3∶2＝9∶6

b∶c＝3∶2＝6∶4

即a∶b∶c＝9∶6∶4

【点睛】两个比都与b有关，因此，两个比中只有b相等，才能写出出a，b，c三者的连比。

24．x∶12＝12∶18，x＝8；12∶18＝18∶y，y＝27（比例不唯一）

【分析】长方形按比例放大或缩小后，与原图形对应边的比相等，可以组成比例。据此列比例解答求出缩小后长方形的宽、放大后长方形的长。

【详解】x∶12＝12∶18（比例不唯一）

解：18x＝12×12

18x＝144

x＝8

12∶18＝18∶y（比例不唯一）

解：12y＝18×18

12y＝324

y＝27

答：可以写出比例x∶12＝12∶18和12∶18＝18∶y。x是8 cm，y是27cm。

【点睛】根据图形放大或缩小的特征或意义，放大或缩小后的图形与原图形形状相同，对应边成比例。

25．24∶6＝6∶

【分析】根据“一个比例的两个内项都是6，且两个比的比值都是4”，可知这个比例的前一个比不知道前项，用比值乘比的后项即可求得；后一个比不知道后项，用比的前项除以比值即可求得；进而写出此比例。

【详解】前一个比的前项：4×6＝24，

后一个比的后项：6÷4＝，

这个比例是：24∶6＝6∶。

【点睛】此题考查比例的意义和比各部分之间的关系：比的前项＝比值×比的后项，比的后项＝比的前项÷比值。

26．5∶8和20∶24不能组成比例

∶和∶能组成比例；∶＝∶

【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此解答。

【详解】5∶8和20∶24

5×24＝120

8×20＝160

120≠160，所以5∶8和20∶24不能组成比例。

∶和∶

×＝

×＝

＝，所以∶和∶能组成比例。

∶＝∶

【点睛】熟练掌握比例的基本性质是解答本题的关键。

27．45dm3

【分析】根据相等质量的水和冰的体积之比是9∶10，设50dm3的冰化成水后的体积是xdm3，列出比例式，解答即可。

【详解】解：设化成水后的体积是xdm3，

9∶10＝x∶50

10x＝9×50

10x＝450

x＝45

答：化成水后的体积是45dm3。

【点睛】本题主要考查了学生根据比例的基本性质列出比例，再进行解方程的能力。

28．6000千克

【分析】由于营养液和水的质量最佳配比是1∶200，由于购买了营养液30千克，可以设加水x千克，由于营养液∶水＝1∶200，由此即可列出比例，再根据比例的基本性质即可列出方程，再解答即可。

【详解】解：设配成这种营养液需要加水x千克

1∶200＝30∶x

x＝30×200

x＝6000

答：配成这种营养液需要加水6000千克。

【点睛】本题主要考查用比例解决应用题，同时要熟练掌握比例的基本性质。

29．12500毫升

【分析】根据用“84”消毒液配制成消毒水，给公共场所消毒时比例一般为1∶50，比值不变，据此设用250毫升的“84”消毒液需添加x毫升水，列出比例式解答即可。

【详解】解：设用250毫升的“84”消毒液需添加x毫升水，

1∶50＝250∶x

x＝50×250

x＝12500

答：用250毫升的“84”消毒液需添加12500毫升水。

【点睛】明确给公共场所消毒时比例一般为1∶50，比值不变，据此设未知数列比例即可解答。

30．18米

【分析】影长与树高成正比，设旗杆的高度是x米，先表示出小明影长和小明身高的比，再表示出旗杆影长旗杆的高度的比，组成比例，依据比例基本性质解答。

【详解】解：设旗杆的高度是x米。

0.8∶1.5＝9.6∶x

0.8x＝9.6×1.5

x＝9.6×1.5÷0.8

x＝18

答：旗杆的高度是18米。

【点睛】本题考查了正反比例应用题，解答此题的关键是：表示出影长与物体实际高度的比。