新教材高一下学期期中数学试卷三（原卷版+答案详解）

新教材高一（下）期中

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z满足（2+i）z＝2﹣4i，则z的虚部为（　　）

A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2

2．已知，，，则（　　）

A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线 

C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线

3．如果复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是纯虚数，则实数m的值为（　　）

A．2或3 B．0或3 C．0 D．2

4．在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别是a、b、c，且3b＝asinB，cosA＝cosC，则△ABC的形状是（　　）

A．直角三角形 B．等腰三角形 

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

5．如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有12行、122字铭文．铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载．“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的深度约为30cm，上口的内径约为20cm，圆柱的深度和底面内径分别约为20cm，16cm，则“何尊”的容积大约为（　　）

A．5500cm3 B．6000cm3 C．6500cm3 D．7000cm3

6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD⊥BC，CD∥AB，AB＝2BC＝2CD＝2PD，则异面直线PA与BC所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

7．已知某长方体的上底面周长为16，与该长方体等体积的一个圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则该长方体高的取值范围是（　　）

A．（0，π] B．（0，4π] C．[π，+∞） D．[4π，+∞）

8．平行于圆锥底面的截面将圆锥分为体积相等的两部分，则圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为（　　）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知表示两条不重合的直线，表示三个不重合的平面，则下列推理不正确的是（　　）

A．    B． 

C．  D．

10．如图，在△ABC中，若点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，设AD，BE，CF交于一点O，则下列结论中成立的是（　　）

A． B． 

C． D．

11．下列说法正确的是（　　）

A．若，且，则 B．若为复数，则

C．设是非零向量，若，则 

D．设为复数，若，则

12．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱DD1的中点，点F是正方形A1B1C1D1内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（　　）

A．直线BC1与直线AC夹角为60° 

B．平面BC1E截正方体所得截面为等腰梯形 

C．若EF＝，则动点F的轨迹长度为2π 

D．若AF∥平面BC1E，则动点F的轨迹长度为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．长方体中由一个顶点出发的三个侧面的面积分别为，则该长方体的体积为______________.

14．如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB＝1，BC＝2，分别以A、D为圆心，1为半径作圆弧、（E在线段AD上）．由两圆弧、及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的表面积为 　          　．

15．若复数z满足zi2021＝2﹣i，则      　．

16．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与的夹角为60°，则的值为 　     　．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知非零向量夹角为θ，且．

（1）当时，求θ；

（2）若θ＝60°，且，求．

18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm．

（1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V．

（2）求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积．

19．已知△ABC的三内角A，B，C，与共线．

（1）求角A的大小；

（2）若a＝2，△ABC的周长为6，求△ABC面积S

20．已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（a，4）、B（0，b）、C（c，0）．

（1）若a＝3，b＝0，c＝5，求sinA的值；

（2）若虚数x＝2+ai（a＞0）是实系数方程x2﹣cx+5＝0的根，且∠A是钝角，求b的取值范围．

21．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中点．

（Ⅰ）求证：AM=CM；

（Ⅱ）N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC．

22．某学校为落实双减政策，丰富学生的课外活动，计划在校园内增加室外活动区域（如图所示△ABC），如图，已知两教学楼以直线l1，l2表示，且l1∥l2，ED是过道，A是l1，l2之间的一定点路口，并且点A到l1，l2的距离分别为2，6，B是直线l2上的动点，连接AB，过点A作∠BAC＝120°，且使得AC交直线l1于点C（点B，C分别在DE的右侧），设∠ABD＝α

（1）写出活动区域△ABC面积S关于角α的函数解析式S（α）；

（2）求函数S（α）的最小值．

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．【解答】解：（2+i）z＝2﹣4i，则z＝＝＝﹣2i，其虚部为﹣2．

故选：C．

2．【解答】解：＝＝+5＝，

∴M，N，Q三点共线．故选：B．

3．【解答】解：若复数 （m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i 是纯虚数，

则，即，

则m＝2．故选：D．

4．【解答】解：因为3b＝2asinB，cosB＝cosC，所以3sinB＝2sinAsinB，

因为sinB＞0，所以sinA＝，由A为三角形内角得A＝60°，

因为cosB＝cosC，所以B＝C，故A＝B＝C＝60°，所以△ABC为等边三角形．

故选：C．

5．【解答】解：由题意可知圆台的高为30﹣20＝10（cm），故组合体的体积大约为

（cm3）．

故选：C．

6．【解答】解：取AB的中点E，PB的中点F，连接DE，EF，DF，DB，如图所示：

∵CD∥AB，且CD＝，∴CD∥BE，CD＝BE，又CD⊥BC，CD＝BC

∴四边形CDEB为正方形，∴DE∥BC，

∵E，F分别为AB，PB的中点，∴EF∥PA，

∴异面直线PA与BC所成的角为∠DEF，

设AB＝2BC＝2CD＝2PD＝2，∴DE＝BC＝1，

又∵PD⊥平面ABCD，CD⊥BC，

∴PA＝＝，PB＝＝，

∴EF＝PA＝，DF＝＝，

在△DEF中，cos∠DEF＝＝＝．故选：A．

7．【解答】解：不妨设该长方体底面的长和宽分别为a，b，高为h，则a+b＝8，

轴截面是面积为16的正方形的圆柱，其底面圆的半径为2，高为4，

体积为4×22π＝16π＝abh，则h＝，又因为0＜ab≤（）2＝16，

所以≥，故h≥16π×＝π．

故选：C．

8．【解答】解：设原来的圆锥体积为V，底面半径为R，高为H，侧面积为S，母线长为L，被截面分截后，上面小圆锥的体积为v，底面半径为r，高为h，侧面积为s，母线长为l，因为，即有＝2，又因为，所以，即有，且，

而S＝πRL，s＝πrl，则＝．故选：D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）

9．【解答】选：ABC．

10．【解答】解；由题意可得，A正确；

因为点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，所以，B正确；

由题意知O是△ABC的重心，则AO＝，

所以＝＝，C错误；

由题意得，

所以＝（）＝﹣﹣＝﹣（）﹣＝，D错误．

故选：AB．

11．【解答】选：BC．

12．【解答】解：对A，连接A1C1，A1B，BC1，AC，可得正△A1BC1，根据正方体的性质，A1C1∥AC，

故直线BC1与直线AC夹角为直线BC与直线A1C1的夹角为60°，故A正确；

对B，根据面面平行的性质可得平面BC1E截ADD1A1的交线EP∥CC1，

故平面BC1E截AD的交点P为AD的中点，故，

故截面为等腰梯形EPBC1，故B正确；

对C，若，则，

故动点F的轨迹为以D1为圆心的四分之一圆弧A1C1上，其长度为，故C错误；

对D，取B1C1中点Q，连接如图，

由B，截面为等腰梯形EPBC1，易得AD1∥BC1，D1Q∥PB，

故平面D1QA∥平面BEC1，故F的轨迹为线段D1Q，其长度为，故D正确；

故选：ABD．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．【解答】答案为：．

14．【解答】解：图中阴影部分绕AD旋转一周所形成的几何体为圆柱去掉两个半径为1的半球，两个半球的表面积为：．

圆柱的底面半径为1，高为2，

∴圆柱的侧面积为，∴该几何体的表面积为．

故答案为：

15．【解答】解：因为i4＝1，i2021＝i2020•i＝i，

则由zi2021＝2﹣i得，z＝＝﹣1﹣2i．∴

16．【解答】解：因为，所以，

所以

＝，

即，故答案为：﹣3．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【解答】解：（1）当时，

，，

，

∵0≤θ≤π，∴．

（2）∵，

∴，

∴，

∴＝＝．

18．【解答】

（1）解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为2cm，

底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，

∴△ABC是直角边长为3cm，4cm的直角三角形，

∴cm3．                 

设圆柱底面圆的半径为r，

则，cm3．

所以cm3．

（2）外接球表面积：cm2；内切球体积：cm3

19．【解答】解：（1）∵共线，∴，

即，

∴s，又A∈（0，π），∴，

∴，解得：．

（2）∵a＝2，△ABC的周长为6，∴b+c＝4，

由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc＝16﹣3bc＝4，

解得：bc＝4，

∴△ABC的面积．

20．【解答】解：（1）∵，，（2分）

，且0＜A＜π，（4分）

∴．（6分）

（2）由题意可得，虚数x＝2﹣ai也是实系数方程x2﹣cx+5＝0的根，

由韦达定理得求得 a＝1，c＝4．（8分）

∴，，（10分）

∵∠A是钝角，由，解得 ．（12分）

又共线时，．

故b的取值范围为 {b|且}．（14分）

21．【解答】．

22．【解答】解：（1）依题意得：

点A到l1，l2的距离分别为2，6，即AD＝6，AE＝2

在Rt△ABD中，AD＝6，∠ABD＝α，

∴即，∴，

∵∠BAC＝120°，∴∠EAC＝180°﹣∠BAD﹣∠BAC＝α﹣30°，

在Rt△AEC中，AE＝2，∠EAC＝α﹣30°，即，，

∴＝＝，

即．

（2）由（1）知，

设f（α）＝sinα⋅cos（α﹣30°）（30°＜α＜90°），

f（α）＝sinα⋅cos（α﹣30°）＝

＝＝

＝＝

＝，

∵30°＜α＜90°，

∴30°＜2α﹣30°＜150°，

∴，

∴，

∴，

∴函数S（α）的最小值．