山西省大同市2023届高三下学期5月质量检测数学试题（含解析）

这是一份山西省大同市2023届高三下学期5月质量检测数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

山西省大同市2023届高三下学期5月质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．复数，则（    ）
A． B． C． D．
2．集合，，则（    ）
A． B． C． D．
3．直径为4的半球形容器，装满水然后将水全部倒入底面直径和高均为4的圆柱容器．则圆柱容器中水面的高度为（    ）
A．1 B． C． D．2
4．在△ABC中，D为BC中点，M为AD中点，，则（    ）
A． B． C．1 D．
5．现有5名男生和4名女生，从中任意抽取4人，恰有m个男生的概率为，则（    ）
A．1 B．3 C．2 D．4
6．已知函数且满足，则的最小值为（    ）
A． B． C．1 D．2
7．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
8．正四棱锥内有一球与各面都相切，球的直径与边AB的比为，则PA与平面ABCD所成角的正切值为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（    ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则（    ）
A．有两个极值点 B．有两个零点
C．恒成立 D．恒成立
11．过点的直线l与相切，切点Q的纵坐标为p，过点S的直线m交抛物线于A，B两点，则（    ）
A． B．直线l的斜率为1
C．直线AQ与BQ的斜率之和为2 D．A，B两点的纵坐标之积为2
12．定义在R上的函数，满足，，，，则（    ）
A．是函数图象的一条对称轴
B．2是的一个周期
C．函数图象的一个对称中心为
D．若，且，，则n的最小值为2

三、填空题
13．在的展开式中，项的系数为________．
14．已知，，，，则的最小值为________．
15．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为________．
16．双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为________．

四、解答题
17．已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，求的值．
18．国宝大熊猫“丫丫”的回国路，牵动着十四亿中国人的心，由此掀起了热爱、保护动物的热潮．某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到部分统计数据如下表：

保护动物意识强
保护动物意识弱
合计
男性
70
30
100
女性
40
60
100
合计
110
90
200
(1)根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关？并说明原因；
(2)将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．
附：

0.10
0.05
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式：，其中．
19．如图在直三棱柱中，，，M为的中点，，平面平面．

(1)求AB，BC的长度；
(2)求平面与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
20．记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)证明：；
(2)若AD是BC边上的高，且，求的取值范围．
21．已知椭圆过点，其右顶点为，下顶点为，且．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线（斜率存在）与椭圆交于两点，点在直线上方，点在直线下方，上有点，轴，线段被平分，点到直线的距离为，求的最大值．
22．已知函数．
(1)若函数在区间上恰有两个极值点，求a的取值范围；
(2)证明：当时，在上，恒成立．

参考答案：
1．B
【分析】根据复数的四则运算，求出，再根据共轭复数的定义，即可得出．
【详解】．则，
故选：B．
2．D
【分析】根据已知求出，然后根据交集的运算，即可得出答案.
【详解】由可得，，所以，所以.
解可得，，所以.
所以，.
故选：D．
3．C
【分析】由球的体积公式求出水的体积，结合圆柱的体积公式求水面高度.
【详解】设水的体积为，圆柱的底面面积为，水面的高度为，
由已知，，
故水面高度．
故选：C．
4．A
【分析】根据图象及其性质，即可得出，，进而根据，即可求出的值，即可得出答案.
【详解】
因为，是的中点，所以，.
又因为是的中点，
所以，，
所以，，
所以．
故选：A．
5．C
【分析】易知.由已知推得，化简整理可得.然后代入可能的取值，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，.
又任意抽取4人，恰有m个男生的概率为，
所以，整理可得.
当时，不满足；
当时，不满足；
当时，满足；
当时，不满足；
当时，不满足.
所以．
故选：C．
6．A
【分析】由可得函数的图象关于对称，由正弦型函数的对称性列方程求的最小值.
【详解】由已知可得，
即，
所以关于对称，
故，，
所以，又，
所以时，取最小值为．
故选：A．
7．D
【分析】通过构造函数，利用导数求函数的单调性，比较各式的大小.
【详解】，
设，函数定义域为，
则，
故在上为增函数，有，即，
所以，故.
设，函数定义域为，则，
，解得；，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，取最大值，所以，即，时等号成立，
所以，即，
又，所以.
故选：D．
8．D
【分析】根据正棱锥的性质得出球心的位置，进而构造相似三角形，根据相似三角形得出球的半径，以及四棱锥的高，即可得出答案.
【详解】
根据正棱锥的性质，易知球心在正棱锥的高线上，
设球心为O，在平面ABCD内的射影为H，，
取M为BC中点，则，且.
作于E，设球的半径为r，
则，，，.
因为，，
所以，
所以，
即，整理可得.
连接，则，
所以.
因为平面，所以即为直线PA与平面ABCD所成的角，
所以，PA与平面ABCD所成角的正切值为.
故选：D．
【点睛】思路点睛：根据正棱锥的性质得出球心的位置以及棱锥的高，过球心向棱锥的斜高作垂线，构造相似三角形，根据比例关系，即可得出半径与高的关系.
9．BCD
【分析】由已知可得，逐个验证选项即可.
【详解】根据题意可得是首项为，公比为的等差数列，则，
，故A错误；，故B正确；
，，则，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD．
10．AD
【分析】求函数的导函数，设，利用导数研究的单调性，最值，判断C，再确定的极值判断A，利用证明由此判断BD.
【详解】函数的定义域为，
，
设，则，
当时，，函数，即在上单调递减，
当时，，函数，即在上单调递增，
又，所以C错误；
又，所以存在，使得，又，
所以当，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取极大值，当时，函数取极小值，
所以函数有两个极值点，故A正确；
设，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，
所以当时，，当且仅当时取等号，
所以当时，，当且仅当时取等号，
所以函数只有一个零点，恒成立，B错误；D正确；
故选：AD．
11．BC
【分析】设，与抛物线方程联立可得.根据已知可得，推得，代入抛物线方程可得，结合已知即可求出的值，判断A、B；设直线方程为，与抛物线方程联立可得.根据韦达定理可得，即可判断D项.表示出直线AQ与BQ的斜率，求和化简，即可得出C项.
【详解】对于A项，设，
联立直线以及抛物线的方程，可得.
因为直线与抛物线相切，
所以，所以，
所以，即，解得.
由已知可得，，所以，解得，，故A错误；
对于B项，因为，所以直线的方程为，斜率为1，故B项正确；
对于C项，由B可得，，抛物线方程为，
设直线方程为，设，，
联立直线以及抛物线的方程，可得.
，所以或，
由韦达定理可得，，.
则，故C正确；
对于D项，由C知，，故D错误．
故选：BC．
12．ABC
【分析】由已知可推得关于直线对称，.又有.进而得出，即有，即可得出B项；根据的周期可得出的周期为4，结合的对称性，即可得出A项；由的对称中心，即可得出关于点对称，结合的性质，即可得出C项；根据的周期性以及对称性可得，，然后分讨论求解，即可判断D项.
【详解】由可得，所以关于直线对称，
所以关于直线对称，即关于直线对称，
所以关于直线对称，所以关于直线对称，
所以有，所以有，所以.
又由可得，，所以关于点对称，
所以.
对于B项，因为，，
所以，，所以，
所以，的周期为，故B项正确；
对于A项，由已知周期为2，所以的周期为4.
因为关于直线对称，所以是函数图象的一条对称轴，故A项正确；
对于C项，关于点对称，所以关于点对称，
所以关于点对称，所以.
又关于直线对称，所以，
所以，所以有，
所以函数图象的一个对称中心为，故C项正确；
对于D项，由C知，关于点对称，关于点对称，
所以，，，所以.
又的周期为4，所以对，.
因为，
则当时，有.
因为，所以，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，满足题意.
故n的最小值为3，D错误．
故选：ABC．
【点睛】关键点睛：根据已知关系式可得出的对称轴，进而根据的关系，即可推得的对称轴，结合的对称中心，即可得出的周期.
13．32
【分析】由变形可得，利用二项式定理求的展开式中项的系数即可.
【详解】因为，
所以的展开式中含项的系数即展开式中项的系数，
又，
其中的展开式中不存在含的项，
又的展开式中含的项为，
所以在的展开式中，项的系数为.
故答案为：.
14．
【分析】由已知可得，结合基本不等式求的最小值，再求的最小值.
【详解】因为，，
所以，又，，
所以，当且仅当时取等号．
所以，当且仅当时取等号．
所以的最小值为.
故答案为：.
15．
【分析】问题转化为对任意恒成立即可求解.
【详解】，
即，对恒成立，令，
当时，
，
，故符合题意，
当时，，，在上，不合题意，故．
故答案为：
16．/
【分析】由圆的切线性质及双曲线定义，可得关系式，
，从而解出、，利用勾股定理可解.
【详解】内切圆Q分别与，，，轴切于点S，T，N，P
则四边形、都为正方形，
设内切圆半径为，由圆的切线性质，
则，则 ，①
又因为，②
且双曲线定义得，，③
由①、②、③得，
所以，
从而，
由勾股定理，，所以，解得．

故答案为：
17．(1)
(2)

【分析】（1）由已知条件求数列的通项，再用累加法求数列的通项公式；
（2）由数列的通项，利用裂项相消法求前n项和为.
【详解】（1）根据题意可得，    
则
；
又符合上式，所以；
（2）∵，                                
∴.
18．(1)认为保护动物意识的强弱与性别有关，理由见解析
(2)分布列见解析，．

【分析】（1）根据公式计算，与临界值进行比较，可得结论；
                
（2）根据X的可能取值，计算相应的概率，列出分布列，由公式计算数学期望.
【详解】（1）零假设为：保护动物意识的强弱与性别相互独立，即保护动物意识的强弱与性别无关，
由题意，．            
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立．
即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.010；
（2）由题意可知：在女性的市民中抽到1人“保护动物意识强”的概率为，
所以，X的所有可能取值为0，1，2，3，                                
，                                                    
，                                                
，                                        
，                                                
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P





．
19．(1)
(2)

【分析】（1）作于N，作于O，连接NO，可由平行四边形证明为中位线，得出为中点，可知，利用余弦定理求解即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】（1）作于N，作于O，连接NO，如图,

在直三棱柱中，平面平面，为交线，平面，
则平面，
又平面平面，是交线，平面，
则平面，
故．                
在直三棱柱中平面，平面平面，
平面，则，
故四边形为平行四边形，
故且，
故O，N分别为，中点，
所以，，
故可设，
在中，，
即；
（2）以B为原点，、、方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，

则，
平面ABC的法向量为，
设平面的法向量为
则                    
取，则，
，    
所以平面与平面ABC所成锐二面角的余弦值为.
20．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换，将已知条件化为，根据正余弦边角关系证明结论；
（2）设，，则，根据（1）结论有，利用余弦定理及锐角三角形的性质求范围，进而求范围.
【详解】（1）由题意得
，
即，
由正弦定理得.
（2）设，，则，
由（1）知：，
∴，
由，又，
对于函数且，有，则在上，递减；在上，递增，
所以，故，
则.

21．(1)
(2)

【分析】（1）根据和点在椭圆上可构造方程组求得，进而得到椭圆方程；
（2）利用可得点横坐标，利用中点坐标公式可得中点坐标，并代入直线方程中得到等量关系；将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，代入等式整理可求得直线恒过的定点，由此可得所求距离的最大值.
【详解】（1）由题意得：，解得：或，
，，，
椭圆的标准方程为：.
（2）
设，直线方程为，
由得：，则，
设的中点为，
则，，
将代入直线方程中，
整理得：，
将代入，整理得：，
，，代入式整理得：，
化简得：，
故直线方程为，则直线恒过定点，
则点到直线的距离，当且仅当l斜率为时取等号．
的最大值为．
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用问题，求解点到直线距离最值的关键是能够利用已知中的等量关系确定直线方程中的变量之间满足的等量关系式，从而化简整理得到直线所经过的定点.
22．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）求出导函数可得.构造，根据导函数得出在上的图象，结合图象研究解的情况，进而结合图象得出的符号，即可得出答案；
（2）构造函数，证明时，成立，进而根据的范围推得.构造函数，根据导函数得出，即可得出；在上，根据的范围推得.构造，根据导函数得出，
即可得出.
【详解】（1）由已知可得，，
由可得，.
令，则，
当时，有，所以，所以在上单调递减.
又，
所以在上的值域为；
当时，有，所以，所以在上单调递增.
又，所以在上的值域为.
作出函数在的图象如下图所示，

由图象可知，当时，有两解，
设为，且，.
由图象可知，当时，有，即；
当时，有，即；
当时，有，即.
所以，在处取得极大值，在处取得极小值.
综上所述，的取值范围为.
（2）构造函数，，则，
令，则在时恒成立，
所以，，即在上单调递增，所以，
所以，在上单调递增，所以，
所以，当时，.  
因为，故在上，.
令，则，
令，，
故，即为增函数，所以，
所以为增函数，所以，
即，即，
所以，.
又，
所以，当时，有；   
在上，
因为，，                                          
所以.
令，在上恒成立，
所以，在上单调递增，所以，
所以，当时，有，所以.
又，所以.
综上所述，在上，恒成立．
【点睛】关键点睛：先证明在上，.在上，.然后只需证明在上成立，以及在上成立.通过构造函数，根据导函数分别证明即可.