2023届高三信息押题卷（二）全国卷理科数学试题（含解析）

2023届高三信息押题卷（二）全国卷理科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数满足（为虚数单位），是的共轭复数，则（    ）

A．5 B． C．10 D．

3．函数的大致图像为（    ）

A．     B．     C．   D．  

4．某超市对一种商品受顾客的喜爱程度进行100份问卷调查，得到了如下的列联表，从100人中随机抽取1人，抽到喜爱该商品的男顾客的概率为.

则有超过（    ）的把握认为喜爱该商品与性别有关.

下面的临界值表供参考：

A． B． C． D．

5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A．18 B．24 C．27 D．35

6．古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第日布施了子安贝（其中，），数列的前项和为.若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（    ）

A．15 B．20 C．24 D．27

7．的展开式中含的系数为（    ）

A．1872 B．792 C．495 D．

8．已知圆锥，底面的面积为，母线与底面所成角的余弦值为，点在底面圆周上，当三棱锥的体积最大时，圆锥的外接球的球心到平面的距离为（    ）

A．2 B． C． D．

9．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．不等式的解集为

D．将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上单调递增

10．已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则经过函数的图象的对称中心的直线被圆截得的最短弦长为（    ）

A．10 B．5 C． D．

11．已知是抛物线的焦点，点A，B在抛物线上，且的重心坐标为，则（    ）

A． B．6 C． D．

12．若不等式对恒成立，那么的最大整数值为（    ）

A． B．1 C．2 D．3

二、填空题

13．如图，是边长为1的正六边形的中心，A，B，C是三个顶点，则___________.

14．甲、乙、丙、丁、戊五名同学利用寒假参加社区服务，分别从为老年人服务、社会保障服务、优抚对象服务、为残病人服务、安全防范服务等五个服务项目中选择一个报名，记事件为“五名同学所选项目各不相同”，事件为“只有甲同学选安全防范服务”，则_________.

15．已知数列满足，数列的前项和为，则_____________.

16．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为_____________.

三、解答题

17．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.

(1)求角；

(2)若点在上，，，求的值.

18．学校体育节的投篮比赛中，10名学生的投中个数（每人投10个球）统计表如下：

(1)求这10名学生投中球的个数的方差；

(2)从这10名学生中随机抽取4人，记抽取投中9个或10个球的学生的人数为，求的分布列和数学期望.

19．如图，在多面体中，四边形是正方形，平面，//，.

(1)若为的中点，求证：//平面；

(2)求二面角的正弦值.

20．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线在轴上的截距为1，且与椭圆交于M、N两点，到直线的距离为，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)若，，求的最大值.

21．已知.

(1)求的最值；

(2)当，时，若恒成立，求正整数的最大值.

22．已知曲线的参数方程（为参数）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为，直线与x，y轴的交点分别为A，B.

(1)求曲线的普通方程及直线的平面直角坐标方程；

(2)若点在曲线上，求的面积的最大值.

23．已知.

(1)解不等式；

(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.

参考答案：

1．A

【分析】首先求出集合，根据补集的定义求出，再解一元二次不等式求出集合，最后根据交集的定义计算可得.

【详解】因为，所以，

由，即，解得，

所以，所以.

故选：A.

2．C

【分析】先根据复数的除法求出，再计算.

【详解】由

得，

所以，

所以.

故选：C.

3．B

【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除AD，再由可排除C，即可得到结果.

【详解】因为，其定义域为，所以，

所以为偶函数，排除选项A，D，

又因为，因为，所以，所以，排除选项C.

故选：B.

4．A

【分析】先根据喜爱该商品的男顾客的概率，计算出喜爱该商品的男顾客人数，然后根据表中数据可补充完善列联表，再根据公式计算卡方，对照临界值表可得.

【详解】因为在100人中随机抽取1人，抽到喜爱该商品的男顾客的概率为.

所以喜爱该商品的男顾客人数为，列联表补充如下：

由，

因为，所以有超过的把握认为喜爱该商品与性别有关.

故选：A.

5．C

【分析】由三视图还原几何体，得到一个正方体中的三棱锥，再求其体积即可.

【详解】由三视图知，该几何体是正方体中的三棱锥，正方体的棱长为6.

，

点到平面的距离为正方体的棱长，

所以该几何体的体积为.

故选：C.

6．D

【分析】根据题意可得，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，从而得到，然后将分离出来，再结合基本不等式即可得到结果.

【详解】由题意可知，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

故，所以2.

由，得，

整理得对任意，且恒成立，

又，

当且仅当，即时等号成立，

所以，即实数的最大值为27.

故选：D.

7．D

【分析】根据二项展开式的通项，先计算中含的项和常数项，再分别和， 相乘即可.

【详解】的通项为

，，

令得；

令得.

所以的展开式中含的系数为.

故选:D.

8．B

【分析】根据题意可得要使三棱锥的体积最大，则点到的距离最大，由余弦定理可得，再由正弦定理可得的外接圆半径，再由勾股定理即可得到结果.

【详解】  

因为圆的面积为，所以圆的半径，因为母线与底面所成角的余弦值为，所以，所以圆锥的高，

因为点在底面圆周上，所以，要使三棱锥的体积最大，则点到的距离最大，即，此时.

在中，由余弦定理得，所以，

由正弦定理得的外接圆半径，设的外接圆的圆心为，即，设圆锥的外接球的球心为，半径为，连接，依题意，在上，在中，，解得，即，

在中，，所以，所以当三棱锥的体积最大时，圆锥的外接球的球心到平面的距离为.

故选：B.

9．C

【分析】由图象求出的表达式后逐一验证选项即可.

【详解】由函数图象可知，最小正周期为，所以，

将点代入，得，

又，所以，故，故A错误；

所以，故B错误；

令，则，所以，，解得，，

所以不等式的解集为，故C正确；

将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，令，，

解得，，

令得，因为，故D错误.

故选：C.

10．D

【分析】先用导数求出和，从而求出的表达式，可得的对称中心，然后转化为点到圆心的距离.

【详解】因为，所以，因为，所以，

即在上单调递增，所以，，

所以，所以，

因为是奇函数，关于原点对称，所以关于中心对称，

易知点在圆的内部，因为点到坐标原点的距离为，

所以所求最短弦长为.

故选：D.

11．D

【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，设出点的坐标，利用三角形重心坐标公式结合斜率坐标公式求出弦AB长的表达式，再利用抛物线定义求解作答.

【详解】抛物线：的焦点，准线方程为，设点，

由的重心为，得，，解得，，

直线的斜率，则，

又，所以.

故选：D

12．C

【分析】根据题意分析可得：在恒成立，取特值可得，当时，再利用导数和基本不等式可得，进而可得结果.

【详解】因为对恒成立，

即在恒成立，

构建，，

则对恒成立，

则，即，解得.

下面证明当时，对恒成立，

①因为的定义域为，且，

构建，则有，且，

所以在上单调递减，且，可得：

当时，，即在上单调递增；

当时，，即，在上单调递减；

所以.

②因为当时，则，当且仅当，即时，等号成立，

所以；

又因为，所以，所以在恒成立，

整理得在恒成立，

且，则在上恒成立；

综上所述：当且仅当时，对恒成立，

即对恒成立，所以的最大整数值为2.

故选：C.

【点睛】关键点睛：

1.根据恒成立问题，先取特值得到参数的取值范围，再证明其充分性；

2.证明不等式时，可以利用中间值法说明，即证.

13．/

【分析】直接应用数量积公求解.

【详解】因为，由正六边形的性质知，，即，易知与的夹角为，

所以.

故答案为：##

14．

【分析】直接用条件概率公式求解.

【详解】事件：甲同学选安全防范服务且五名同学所选项目各不相同，所以其它4名同学排列在其它4个项目，且互不相同，为，事件：甲同学选安全防范服务，所以其它4名同学排列在其它4个项目，可以安排在相同项目，为，.

故答案为：.

15．

【分析】根据所给递推关系可得，，与原式作差即可求解，注意验证首项，再结合裂项相消法求和即可..

【详解】因为，

所以，

两式相减，可得，即，

又当时，，不满足，所以

所以当时，，

当时，,

所以.

故答案为：.

16．

【分析】先根据渐近线的倾斜角算出，然后联立直线和双曲线，结合题目条件和韦达定理找到的关系，从而得到定点.

【详解】因为双曲线方程为一条渐近线的倾斜角的正切值为.所以，解得，所以双曲线方程为.

设，，联立得， .

由韦达定理得，.

因为，所以.

所以，由题意知，此时.

所以直线方程为，恒经过的定点为.

故答案为：

17．(1)

(2)

【分析】（1）应用诱导公式和余弦的二倍角公式即可求解；

（2）分别在，，中用余弦定理建立方程，再利用，即可求解.

【详解】（1）因为，

所以，解得或（舍去），

所以，即，

因为，所以.

（2）如图，因为，，设，，

在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

因为，所以，

即，所以，

所以，

因为，所以，

所以.

18．(1)

(2)分布列见解析，1.6

【分析】（1）先求均值，再按照公式求方差.

（2）服从超几何分布，利用公式可得.

【详解】（1）这10名学生的投中个数的均值为，

这10名学生投中球的个数的方差为

（2）由题意10名学生中投中9个或10个球的学生的人数共有4人，

故随机选取一人为投中9个或10个球的学生的概率，

由题意可能取值为0，1，2，3，4，服从超几何分布，

，

，

，

，

，

故的分布列为：

19．(1)证明见解析

(2)1

【分析】（1）利用线面平行的判定进行证明；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角.

【详解】（1）连接因为为的中点，//，，

所以，，

所以四边形是平行四边形，

所以.

因为平面，平面，

所以//平面.

（2）因为四边形是正方形，平面，

所以，，两两垂直.

以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，

因为//，.

所以，，，，

从而，，.

设平面的法向量为，则

令，得，，即，

设平面的法向量为，则

令，得，，即，

所以，

所以二面角的正弦值为1.

20．(1)

(2)

【分析】（1）求出直线的方程后根据距离公式可求，再根据离心率可求，故可求椭圆方程.

（2）联立直线的方程和椭圆方程，消元后结合韦达定理和向量的数量积的坐标运算可求，结合题设条件可得关于的不等式，从而可求其取值范围，故可求的最大值.

【详解】（1）

设，因为过点的直线在轴上的截距为1，

所以直线的方程为，即.

因为到直线的距离为，所以，解得，

因为，所以，所以，因为，

所以椭圆的方程为.

（2）设，，

由（1）知直线的方程为，

由消去得，

由韦达定理得，，

所以，.

因为，所以

，

因为，所以，即，

解得，因为构成三角形，故.

由弦长公式得，

由点到直线的距离公式得到直线的距离，

所以，

所以的最大值是.

21．(1)答案见解析

(2)3

【分析】（1）对函数求导，然后分类讨论确定函数的单调性，从而得最值；

（2）先根据题意把恒成立问题转化成求函数的最小值问题，然后利用导数确定函数的最小值即可.

【详解】（1）因为，

所以.

当时，，所以在上单调递增，无最大值，也无最小值；

当时，令，即，所以，

令，即，所以；

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以时取得极小值，也是最小值，，无最大值.

综上，当时，在上无最大值，也无最小值；

当时，在上有最小值，无最大值.

（2）因为，时，，

恒成立，即恒成立.

设，，

.

设，则，所以在上单调递减，

又，，

所以存在唯一的，使得，即，

当时，，当时，，

所以当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

，显然，

由得，

设，在时恒成立，

在上单调递减，，

，所以，

所以，

则满足的最大的正整数的值为3.

【点睛】恒成立问题解题策略

方法1：分离参数法求最值

(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

(2)恒成立⇔；

恒成立⇔；

方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．

22．(1)，

(2)

【分析】（1）利用三角消参得到曲线的普通方程；由得直线的直角坐标方程；

（2）求出，利用距离公式求点到直线的最大值，即可得到结果.

【详解】（1）由得，即为曲线的普通方程；

由得，

因为得，即为直线的平面直角坐标方程.

（2）由（1）知直线的平面直角坐标方程为，

由直线与x，y轴交点分别为A，B得，，所以，

因为曲线的参数方程

设，

则到直线的距离为，

由时，即.

取最大值.

所以此时的面积最大值为.

23．(1)

(2)

【分析】（1）分类讨论去掉绝对值的符号进行求解；

（2）参变分离，不等式转化为，根据绝对值不等式的性质求出左边的最大值即可.

【详解】（1）由可得，

即，解得，

或，，

或，解得.

综上可知，不等式的解集为：

（2）因为对，不等式恒成立，

所以恒成立.

根据绝对值三角不等式：，

所以，解得或，

所以的取值范围是.