湖北省孝感、荆州部分中学2022-2023年高三下学期5月联考数学试题 附答案

这是一份湖北省孝感、荆州部分中学2022-2023年高三下学期5月联考数学试题 附答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖北省孝感、荆州部分中学2022-2023年高三下学期5月联考数学试卷一、单选题1.若集合，，则（    ）A.  B.C.  D.2.已知复数满足，则的虚部为（    ）A.2 B. C. D.3.在的展开式中，的系数为（    ）A. B. C.5 D.104.己知平面直角坐标系内直线的方向向量，点和在上的射影分别是和，设，则（    ）A. B. C. D.25.已知，是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，过点向轴作垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（    ）A. B. C. D.6.已知矩形，，，沿折起成，若点在平面上的射影落在的内部（包括边界），则四面体的体积的取值范围是（    ）A. B. C. D.7.为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余欯作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为元（参考数据：，）（    ）A.35200 B.43200 C.30000 D.320008.已知函数存在零点，则实数的值为（    ）A. B. C. D.二、单选题9.下列命题中，正确的是（    ）A.夹在两个平行平面间的平行线段相等B.三个两两垂直的平面的交线也两两垂直C.如果直线平面，，那么过点且平行于直线的直线有无数条，且一定在内D.已知m，n为异面直线，平面，平面，若直线满足，，，，则与相交，且交线平行于10.已知函数的图象相邻两个对称中心之间的距离是，将的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若是奇函数，则下列结论错误的是（    ）A.的最小正周期是 B.在上单调递增C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称11.记函数与的定义域的交集为.若存在，使得对任意，不等式恒成立，则称构成“函数对”.下列所给的两个函数能构成“函数对”的有（    ）A.， B.，C.， D.，12.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线平面，E，F分别是PA，PC的中点，记平面与平面的交线为，直线与圆O的另一个交点为D，且点满足.记直线PQ与平面所成的角为，异面直线PQ与EF所成的角为，二面角的大小为，则下列说法不一定正确的是（    ）A.  B.C.  D.三、填空题13.若两个锐角，满足，则______.14.已知随机变量服从，则当______时，概率最大.15.椭圆与抛物线有公共点，则的取值范围是______.16.我校为了支援山区教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，新闻记者采访其中某位队员时询问了本团队的人员构成情况。该队员回答问题的结果如下：①支教团队有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教团队中教师的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上五个条件都成立。据此，我们可以推测该队员的职称是______.（从下列四个选项中选出正确的数字代号填空：（1）小学中级；（2）小学高级；（3）中学中级；（4）中学高级）四、解答题17.如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，，在底面的射影为BC的中点N，M为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.（1）求角A的大小；（2）若的外接圆半径为1，且的外心满足，求的最大值.19.已知数列满足，且的前100项和.（1）求的首项；（2）记，数列的前项和为，求证：.20.已知椭圆C的方程为，在椭圆上，离心率，左、右焦点分别为、.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线与椭圆C交于A，B两点，连接，并延长交椭圆C于D、E两点，连接DE，试探索直线AB与直线DE的斜率之比是否为定值，并说明理由.21.为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有，，的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为.（1）现从三个班中随机抽取一位同学：（i）求该同学有购买意向的概率；（ii）如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；（2）对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率（精确到0.01）.22.已知：函数，且，.（1）求证：；（2）设，试比较，，，的大小. 湖北省孝感、荆州部分中学2022-2023年高三下学期5月联考数学试卷参考答案1.【答案】C【分析】本题考查并集及其运算，考查了对数不等式及一元二次不等式的解法，是基础题.【解答】解：由题意得，故.2.【答案】B【分析】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了计算能力，属于基础题.【解答】解：，∴.则复数的虚部为-2.3.【答案】A【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于2，求得的值，即可求得含的项的系数.本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题.【解答】解：的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的系数是，故选A.4.【答案】D【分析】本题主要考查平面向量的坐标运算和投影向量，属于基础题.【解答】解：∵和∴则在上的投影有：又由与的方向相反，故由得故选：D.5.【答案】A【分析】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查离心率的求法，是中档题.【解答】解：设，由题意知是直角三角形，以为直径的圆的方程为，由，消去，得，由于在第一象限，，故，即，∴（负值舍去）.6.【答案】C【分析】点在平面上的射影落在的内部（包括边界），所以当在面上的投影在上时，四面体的体积最大；当在面上的投影在上时，四面体的体积最小，本题考查四面体体积求解，属中档题.【解答】解：点在平面上的射影落在的内部（包括边界）所以当在面上的投影在上时，四面体的体积最大，由，设到面的距离为，则所以四面体的体积最大为：；当在面上的投影在上时，四面体的体积最小，设到面的距离为，在中可得，所以四面体的体积最小为，所以四面体的体积的取值范围为.故答案为C.7.【答案】D【分析】本题主要考查等比数列的实际应用，属于中档题.【解答】解：设2022年6月底小王手中有现款为元，设2022年6月底为第一个月，以此类推，设第个月底小王手中有现款为，第个月月底小王手中有现款为，则，即，所以数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，∴，即，年所得收入为元.故选：D.8.【答案】B【分析】本题考查导函数中的零点问题，属于拔高题.将问题转化为有实数根，构造函数，，利用导数求解的最值，利用基本不等式求解的最值，即可求解.【解答】解：有零点，则有实数根，即有实数根，，，则有实数根，由于，，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取极大值也是最大值，所以，对于，所以，当且仅当时取等号，所以要使得有实数根，此时且，即.9.【答案】ABD【分析】本题考查线面的位置关系，属基础题.【解答】解：A显然正确；B选项，如下图所示，设平面、、两两垂直，它们的交线分别为a、b、c，平面、内的直线m、n分别满足，，∵，，，，∴同理可得，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∵b、，∴，，同理可证，B选项正确；C选项，只有一条；D选项，用反证法，若与平行，由平面以及平面得，这与m，n为异面直线矛盾，故假设不成立，故与相交，由平面、以及得，又，由直线与平面平行的性质定理得平行于与的交线，故选项D正确.10.【答案】ACD【分析】本题主要考查了余弦函数的图象和性质的应用，考查了图象的平移变换，诱导公式等，属于中档题.【解答】解：由题可知，即，解得.则.∴，由函数是奇函数可得，，且，即.∵∴时，满足题意.即.则最小正周期为，故A错误；∵，∴，则可知函数单调递增，故B正确；，故C错误；由C可知函数关于点对称，故D错误.11.【答案】AC【分析】本题主要考查了新定义函数，考查函数的定义域和值域，考查不等式恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调性，属于较难题.【解答】解：A选项中，易知，设，易知在上单调递增，且，∴存在，使得，∴当时，，即；当时，.故当时，对任意的恒成立，故A正确；B选项中，易知，设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.故，故不存在，使得对任意，不等式恒成立，故B不正确；C选项中，易知，由得，即，故当时，对任意的恒成立，故C正确；D选项中，，若存在，使得对任意，不等式恒成立，则即无解，故D不正确.故选AC.12.【答案】BCD【分析】本题考查线线夹角、线面夹角、面面夹角问题，属难题.【解答】解：由，作，且.连接PQ，EF，BE，BF，BD，可知交线l即为直线BD.以点为原点，向量，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，则有，，，，，，.于是，，，∴，从而，又取平面的一个法向量为，可得，设平面的一个法向量为，所以由可得取，于是，从而.故，即.13.【答案】【分析】本题主要考查三角恒等变换综合应用，属于中档题.【解答】解：由题意可得左边，右边，由左边右边，可得，即，又，可得，即，则.14.【答案】5或6【分析】本题考查独立重复试验的概率的计算，属于基础题.【解答】解：，，1，2，3，……，9由，解得，又，可得当或6时概率最大15.【答案】【分析】本题考查椭圆与抛物线的位置关系，属中档题.【解答】解：联立椭圆方程和抛物线方程，消得，，由题意即满足方程在上有根，得.16.【答案】（1）【分析】本题主要考查学生的逻辑推理能力，先设出未知数，再根据题列出对应不等关系，即可求解。属于较难题.【解答】解：设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a，b，c，d，则.，，，，所以，所以，，若，则，因为，所以.因为，所以，矛盾.队长为小学中级时，去掉队长，则，，，.满足.，，；队长为小学高级时，去掉队长则，，，.不满足；队长为中学中级时.去掉队长则，.，，不满足；队长为中学高级时：去掉队长则，，，，不满足.综上可得队长为小学中级.17.【答案】解：（1）∵面，连，则，又，∴，又，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，，以点为坐标原点，分别以NA，NB，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，可取，同理可得平面的一个法向量故平面与平面夹角的余弦值为.【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面夹角的向量求法，属于中档题.18.【答案】解：（1）由及正弦定理，得即，化简，得，即.由于，所以，.（2）∵， ∴.由，得平方，得，∴解得（当且仅当时取“”，此时为正三角形）故为正三角形时，取最大值2.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，平面向量的数量积运算，属中档题.19.【答案】解：（1）当为奇数时，；当为偶数时，.所以又，所以解得，.（2）由（1）得，，，当时，∴综上，知.【点睛】本题主要考查裂项相消法求和分组求和，注意分类讨论，属于中档题.20.【答案】解：（1）由在椭圆上，可得，又由离心率，可得，且，解得，，，所以椭圆的方程为.（2）设，则，直线，代入，得，因为，代入化简得，设，，则，所以，，直线BE：，同理可得，化简得，故，即， ，所以，又， ，所以.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系及其应用，椭圆中的定值问题，属于较难题.21.【答案】解：（1）（i）设事件“该同学有购买意向”，事件“该同学来自班”（，2，3）.由全概率公式可得：.（ii）由条件概率可得.（2）由题意可得每次叫价增加1元的概率为，每次叫价增加2元的概率为.设叫价为元的概率为，叫价出现元的情况只有下列两种：①叫价为元，且骰子点数大于2，其概率为；②叫价为元，且骰子点数小于3，其概率为.于是得到，易得，.由于，于是是以首项为，公比为的等比数列，故.于是. 于是，甲同学能誃获得笔记本购买资格的概率约为0.75.【点睛】本题考查全概率公式，条件概率，等比数列求和，属难题.22.【答案】解：（1）由对称性，不妨设，，则由于，欲证，即证：， 设，，由切线不等式（未证不扣分），得，故，单调递增，，得证.（2）由，得在上单调递减，且，在上单调递增，且.；由（1）知.①当时，在上单调递增，故，即.②当时，由（1）的结论，得时，有，即.由在上单调递增，故，即.综上，得.∵， ∴∵，关于单调递减，∴，.综上，得.【点睛】本题主要考查利用导数恒明不等式和利用导数比较大小，属于难题.