浙江省杭州市六县九校联考2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附答案）

2022-2023学年浙江省杭州市六县九校联盟高一（下）

期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  设，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.  如图，一个水平放置平面图形的直观图是边长为的菱形，且，则原平面图形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列命题中正确的是(    )

A. 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行
B. 平面内有不共线的三个点，，到平面的距离相等，则
C. ，，则
D. ，，，则

6.  圣索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点三点共线处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度为(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  正方体的棱长为，点，，分别是棱，，中点，则过点，，三点的截面面积是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知，且，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列命题为真命题的是(    )

A. 复数的虚部为
B. 若为虚数单位，则
C. 复数在复平面内对应的点在第三象限
D. 复数的共轭复数为

10.  在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，，，则有两解
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则为等腰三角形或直角三角形

11.  已知向量，，，，则(    )

A. 若，则在方向上的投影向量为
B. 与共线的单位向量为
C. 若，则
D. 的最小值为

12.  如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是(    )

A. 圆锥 的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为
 

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  复数，为虚数单位，则 ______ ．

14.  如图，在单位圆中，，、分别在单位圆的第一、二象限内运动，若，为等边三角形，则 ______ ．

15.  已知菱形的边长为，，点，分在边，上，，若，则的最小值为______．

16.  已知圆锥底面圆的直径为，高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知，，与的夹角是．
计算：；
当为何值时，

18.  本小题分
已知向量，，
若，求的值；
记，若对于任意，，恒成立，求实数的最小值．

19.  本小题分
如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径：一种是从处沿直线步行到处；另一种是先从处沿索道乘缆车到处，然后从处沿直线步行到处，现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为，在甲出发
后，乙从处乘缆车到处，再从处匀速步行到处，假设缆车的速度为，山路长为，经测量，．
从处到处，乙乘坐缆车的时间是多少？
乙出发多长时间后，乙在缆车上与甲的距离最短？

20.  本小题分
如图，斜三棱柱中，，分别为，上的点．
当时，求证平面；
若平面平面，求的值，并说明理由．

21.  本小题分
在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知在中，角，，的对边分别是，，，_____．
求角的值；
若角的平分线交于点，且，求的最小值．

22.  本小题分
已知．
当时，解不等式；
若，且函数的图像与直线有个不同的交点，求实数的取值范围；
在的条件下，假设个交点的横坐标分别为，，，且，若恒成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题设．
故选：．
利用集合的交运算即可求解．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以，，
所以．
故选：．
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由，得，
由，得，即，
，
“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
分别求解一元二次不等式与绝对值的不等式，再结合充分必要条件的判定可得答案．
本题主要考查了一元二次不等式与绝对值不等式的解法，考查充分必要条件的判断，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，把直观图还原出原平面图形为平行四边形，如图所示：
其中，，
所以原平面图形的面积为．
故选：．
把直观图还原出原平面图形，是平行四边形，计算原平面图形的面积即可．
本题考查了直观图与原平面图形的关系应用问题，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：对于：若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内的无数条直线平行，但不是任意一条，A错误；
对于：由题意可得：或与相交，B错误；
对于：根据题意可得：或，C错误；
对于：，则，使得，则，
，，，
，D正确；
故选：．
根据线面平行的判断和性质理解辨析．
本题主要考查空间直线、平面位置关系的判定，命题真假的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意知：，所以，
在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，．
故选：．
由正弦得出，再结合正弦定理得到，进而能求．
本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理的应用，考查数学运算和直观想象的核心素养，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，设的中点为，连接并延长，交延长线于，交延长线于，连接交于，
连接交于，连接，，则六边形为过点，、三点的截面，

由题意可知，≌，则，
故≌，可知，即为的中点，
同理可证为的中点，故可知六边形为正六边形，
且边长为，
故其面积为，即过点、三点的截面面积是，
故选：．
作图作出过点、，三点的截面，说明截面为正六边形，求得边长即可求得截面面积．
本题考查了正方体的结构特征，考查了平面被正方体截得的图形问题，主要考查空间想象能力和计算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，，
设，，则，
则，，
在单调递减，在上单调递增，
，时，；时，，
的取值范围为：．
故选：．
可得出，根据条件得出，设，，，从而得出，，然后根据函数的单调性可得出的取值范围，进而得出的取值范围．
本题考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，对勾函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：复数的虚部为，故A错误；
，故B正确；
复数在复平面内对应的点在第三象限，故C正确；
，其共轭复数为，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数虚部，共轭复数的定义，复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数虚部，共轭复数的定义，复数的几何意义，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，，
，根据同角三角函数基本关系式可知，故A正确；
对于，由正弦定理可得：，
，
此时无解，故B错误；
对于，，
，可知，，均为锐角，故为锐角三角形，故C正确；
对于：，，
，，，或，故D正确．
故选：．
利用正、余弦定理对每项逐一判断即可得解．
本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：时，，，
在方向上的投影向量为：，A正确；
B.与共线的单位向量为：或，B错误；
C.，，
，，C错误；
D.，
，
的最小值为：，D正确．
故选：．
A.时，，得出，然后根据投影向量的计算公式即可求出在方向上的投影向量，从而判断出的正误；
B.与共线的单位向量为，从而判断的正误；
C.根据得出，进而得出，然后即可判断的正误；
D.可求出，然后配方即可判断的正误．
本题考查了投影向量的计算公式，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，单位向量的定义及求法，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查旋转体及其特征，考查剪展问题中最值的求法，考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力及思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
由已知求出圆锥侧面积判断；求出三棱锥体积的最大值判断；由极限观点求解的取值范围判断；利用剪展问题求得的最小值判断．

【解答】

解：在中，，，
则圆锥 的侧面积为，故A错误；
当位于中点时，面积取最大值，为，
此时三棱锥体积的最大值为，故B正确；
当点与点重合时，，为最小角，当点与点重合时，，为最大角，
又因为点与，不重合，
故，
又，
可得的取值范围是，故C错误；
若，以为轴把平面旋转至与平面共面，连接，交于，如图所示，

在此平面图中，易得为等边三角形，，且，
则，在中，，
由余弦定理可得，
，即的最小值为，故D正确．
故选：．

13.【答案】 

【解析】解：由题意，，
则．
故答案为：．
先化简复数，再由复数的模长公式计算即可．
本题考查复数的运算，考查复数的模长公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，解得，
而点在第二象限，
则，
，
．
故答案为：．
根据三角形面积公式求出，然后结合两角和与差的正弦公式，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，以及正弦函数的两角差公式，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，

，且，



，
由题意可得，，，
，
，则，
当且仅当时等号成立，
的最小值为．
故答案为：．
由题意画出图形，把用表示，最后转化为含有，的代数式，再结合 及基本不等式求得的最小值．
本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，
设球心为，球的半径为，下底面半径为，轴截面上球与圆锥母线的切点为，圆锥的轴截面如图：
则，，．
三角形为等边三角形，故是的中心，
连接，则平分，．
，即，
即四面体的外接球的半径为．
另正四面体可以从正方体中截得，如图：
从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为，
而正四面体的四个顶点都在正方体上，
故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，
，
即的最大值为．
故答案为：．
根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，然后利用分割补形法求得的最大值．
本题考查正四面体的外接球，考查化归与转化思想，训练了分割补形法的应用，是中档题．
 

17.【答案】解：．
，
，
，即，解得，
故当时，成立． 

【解析】，再结合数量积的运算公式，即可求解．
根据已知条件，结合数量积的运算公式，即可求解．
本题主要考查数量积的运算公式，属于基础题．
 

18.【答案】解：由，
则，
即，
即，
又，
则；
，
又，
则，
则，
又对于任意，，而恒成立，
则，
故实数的最小值为． 

【解析】由，则，再求解即可；
由，又，则，又对于任意，，恒成立，等价于，得解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数恒等变换及三角函数最值的求法，属中档题．
 

19.【答案】解：在中，因为，所以，，
从而，
由正弦定理，得，乙乘缆车的时间是；
假设乙出发分钟后，甲、乙距离为，此时，甲行走了，
乙距离处，所以由余弦定理得，
因为，故当时，甲、乙两游客距离最短． 

【解析】先利用两角和的正弦公式求得，再根据正弦定理求出的长，从而可求乙乘坐缆车的时间；
设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，由余弦定理可求，进而可求的最小值；
本题考查了正余弦定理的应用，锐角三角函数定义，属中档题．
 

20.【答案】解：证明：如图，当时，为线段的中点，
连接交于点，连接．
由棱柱的性质，知四边形为平行四边形，所以点为的中点．
在中，点、分别为B、的中点，
．
又平面，平面，
平面．
由已知，平面平面，
且平面平面，
平面平面
因此，同理．
，．
又，
，即． 

【解析】欲证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行，当时，为线段的中点，连接交于点，连接，，平面，平面，满足定理所需条件；
根据平面与平面平行的性质定理可知，同理，根据比例关系即可求出所求．
本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的性质，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
 

21.【答案】解：选择条件：，
由正弦定理得，
，，
，
，即，
，，
，；
选择条件：，
，
，．
，；
选择条件：
，，
，
，
，即，．
，；
在中，在中，，
在中，，，，，
当且仅当，时等号成立，
的最小值为． 

【解析】选择条件：根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的恒等变换公式和角的取值范围，即可求解；选择条件：根据已知条件，结合余弦定理，以及角的取值范围，即可求解；选择条件：根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解；
由，可得，，进而利用均值不等式可求的最小值．
本题考查了解三角形，重点考查了正弦定理及余弦定理，考查三角形的面积公式，属中档题．
 

22.【答案】解：当时，，
又，
或，
不等式的解集为，；
由题设得，
可得函数的大致图象，

所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
要使函数的图像与直线有个不同的交点，
则，
所以，
解得，又，
所以的取值范围为；
由可知，当时，，为方程的两根，
则，即，
又在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在单调递增，，
(ⅰ)当，即时，是方程的较小根，，
在上单调递减，则，
；
(ⅱ)当，即时，是方程的正根，
，
，则，
综上，的取值范围为． 

【解析】由题可得或，进而即得；
根据分类讨论可得函数的解析式，然后利用数形结合即得；
由题可得，分，讨论，结合条件求的取值范围即得．
本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查函数性质的综合运用，考查分类讨论思想，数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．