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人教版中考数学复习第四章几何初步知识与三角形第14课时三角形与全等三角形教学课件
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这是一份人教版中考数学复习第四章几何初步知识与三角形第14课时三角形与全等三角形教学课件，共26页。PPT课件主要包含了内容索引等内容，欢迎下载使用。
考点一 三角形的有关概念1.三角形:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形.2.分类
考点二 三角形的性质1.三角形的三边关系:三角形两边的和大于第三边;三角形两边的差小于第三边.2.三角形的外角及其外角和(1)外角:三角形的一边与另一边的延长线组成的角.(2)外角和:三角形的外角和是360°.
3.三角形的内角和定理及推理(1)三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.(2)推论:①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和;②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角;③直角三角形的两锐角互余.4.三角形具有稳定性.
考点三 三角形中的重要线段1.三角形的角平分线三角形一个角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.特性:三角形的三条角平分线交于一点,这个点叫做三角形的内心.2.三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称高.特性:三角形的三条高所在的直线相交于一点,这个点叫做三角形的垂心.
3.三角形的中线在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.特性:三角形的三条中线交于一点,这个点叫三角形的重心.4.三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
考点四 全等三角形的性质与判定1.概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.性质全等三角形的对应边、对应角分别相等.
3.判定(1)三边分别相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”.(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等,简写为“边角边”或“SAS”.(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,简写为“角边角”或“ASA”.(4)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写为“角角边”或“AAS”.(5)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写为“斜边、直角边”或“HL”.
考点五 定义、命题、定理、公理1.定义对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义.2.命题判断一件事情的语句叫做命题.(1)命题由题设和结论两部分组成.命题通常写成“如果……那么……”的形式,“如果”后接的部分是题设,“那么”后接的部分是结论.
(2)真命题与假命题:如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫做真命题;题设成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命题.
3.定理经过证明的真命题叫做定理.因为定理的逆命题不一定都是真命题,所以不是所有的定理都有逆定理.4.公理有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真伪的依据,这样的真命题叫公理.
(3)互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题称为互逆命题.每一个命题都有逆命题.
考点六 证明1.证明在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理,才能作出判断,这个推理过程叫做证明.2.证明的一般步骤(1)审题,找出命题的题设和结论;(2)由题意画出图形,具有一般性;(3)用数学语言写出已知、求证;(4)分析证明的思路;(5)写出证明过程,每一步应有根据,要推理严密.3.反证法假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.
【例1】 若三角形三边长分别为3,4,x-1,则x的取值范围是( )A.0
分析:(1)根据中线的定义得到AM=MC,然后将△ABM和△BCM的周长分别表示出来再求差;(2)分别以AM和MC为底,作出它们的高,分别表示出来△ABM和△BCM的面积再求比值.
解:(1)∵AM=MC,∴△ABM与△BCM的周长之差=AB+AM+BM-(BM+BC+MC)=AB-BC=5-3=2(cm).(2)如图,过点B作BH⊥AC,交AC的延长线于点H.∵AM=MC,
变式训练1已知在△ABC中,AB=AC,且周长为16 cm,AD是底边BC上的中线,AD∶AB=4∶5,且△ABD的周长为12 cm,求△ABC各边的长及AD的长.解:AB=AC=5 cm,BC=6 cm,AD=4 cm.
【例3】 如图,C是线段AB的中点,CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,CD=CE.(1)求证:△ACD≌△BCE;(2)若∠D=50°,求∠B的度数.
分析:本题综合考查三角形的全等及性质,利用“SAS”判定△ACD≌△BCE后,再利用性质可得到∠E=50°,从而求出∠B.
(1)证明:∵C是线段AB的中点,∴AC=BC.∵CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,∴∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3.又CD=CE,∴△ACD≌△BCE(SAS).(2)解:∵∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠2=∠3.∴∠3=60°.由△ACD≌△BCE,得∠D=∠E.∵∠D=50°,∴∠E=50°.则∠B=180°-∠E-∠3=180°-50°-60°=70°.
变式训练2如图,已知D是AC上一点,AB=DA,DE∥AB,∠B=∠DAE.求证:BC=AE.
证明:∵DE∥AB,∴∠CAB=∠ADE.在△ABC与△DAE中,
∴△BAC≌△ADE(ASA),∴BC=AE.
【例4】 下列命题正确的是( )A.如果|a|=|b|,那么a=bB.等腰梯形的对角线互相垂直C.顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形D.相等的圆周角所对的弧相等解析:A项错误,例如:|-2|=|2|,但-2≠2;B项错误,等腰梯形的对角线可能垂直,但并不是所有的等腰梯形的对角线都垂直;C项正确,可以根据三角形中位线定理和平行四边形的判定得到;D项错误,相等的圆周角所对的弧相等,必须是在同圆或等圆中.答案:C
考点一 三角形的有关概念1.三角形:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形.2.分类
考点二 三角形的性质1.三角形的三边关系:三角形两边的和大于第三边;三角形两边的差小于第三边.2.三角形的外角及其外角和(1)外角:三角形的一边与另一边的延长线组成的角.(2)外角和:三角形的外角和是360°.
3.三角形的内角和定理及推理(1)三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.(2)推论:①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和;②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角;③直角三角形的两锐角互余.4.三角形具有稳定性.
考点三 三角形中的重要线段1.三角形的角平分线三角形一个角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.特性:三角形的三条角平分线交于一点,这个点叫做三角形的内心.2.三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称高.特性:三角形的三条高所在的直线相交于一点,这个点叫做三角形的垂心.
3.三角形的中线在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.特性:三角形的三条中线交于一点,这个点叫三角形的重心.4.三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
考点四 全等三角形的性质与判定1.概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.性质全等三角形的对应边、对应角分别相等.
3.判定(1)三边分别相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”.(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等,简写为“边角边”或“SAS”.(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,简写为“角边角”或“ASA”.(4)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写为“角角边”或“AAS”.(5)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写为“斜边、直角边”或“HL”.
考点五 定义、命题、定理、公理1.定义对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义.2.命题判断一件事情的语句叫做命题.(1)命题由题设和结论两部分组成.命题通常写成“如果……那么……”的形式,“如果”后接的部分是题设,“那么”后接的部分是结论.
(2)真命题与假命题:如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫做真命题;题设成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命题.
3.定理经过证明的真命题叫做定理.因为定理的逆命题不一定都是真命题,所以不是所有的定理都有逆定理.4.公理有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真伪的依据,这样的真命题叫公理.
(3)互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题称为互逆命题.每一个命题都有逆命题.
考点六 证明1.证明在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理,才能作出判断,这个推理过程叫做证明.2.证明的一般步骤(1)审题,找出命题的题设和结论;(2)由题意画出图形,具有一般性;(3)用数学语言写出已知、求证;(4)分析证明的思路;(5)写出证明过程,每一步应有根据,要推理严密.3.反证法假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.
【例1】 若三角形三边长分别为3,4,x-1,则x的取值范围是( )A.0
分析:(1)根据中线的定义得到AM=MC,然后将△ABM和△BCM的周长分别表示出来再求差;(2)分别以AM和MC为底,作出它们的高,分别表示出来△ABM和△BCM的面积再求比值.
解:(1)∵AM=MC,∴△ABM与△BCM的周长之差=AB+AM+BM-(BM+BC+MC)=AB-BC=5-3=2(cm).(2)如图,过点B作BH⊥AC,交AC的延长线于点H.∵AM=MC,
变式训练1已知在△ABC中,AB=AC,且周长为16 cm,AD是底边BC上的中线,AD∶AB=4∶5,且△ABD的周长为12 cm,求△ABC各边的长及AD的长.解:AB=AC=5 cm,BC=6 cm,AD=4 cm.
【例3】 如图,C是线段AB的中点,CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,CD=CE.(1)求证:△ACD≌△BCE;(2)若∠D=50°,求∠B的度数.
分析:本题综合考查三角形的全等及性质,利用“SAS”判定△ACD≌△BCE后,再利用性质可得到∠E=50°,从而求出∠B.
(1)证明:∵C是线段AB的中点,∴AC=BC.∵CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,∴∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3.又CD=CE,∴△ACD≌△BCE(SAS).(2)解:∵∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠2=∠3.∴∠3=60°.由△ACD≌△BCE,得∠D=∠E.∵∠D=50°,∴∠E=50°.则∠B=180°-∠E-∠3=180°-50°-60°=70°.
变式训练2如图,已知D是AC上一点,AB=DA,DE∥AB,∠B=∠DAE.求证:BC=AE.
证明:∵DE∥AB,∴∠CAB=∠ADE.在△ABC与△DAE中,
∴△BAC≌△ADE(ASA),∴BC=AE.
【例4】 下列命题正确的是( )A.如果|a|=|b|,那么a=bB.等腰梯形的对角线互相垂直C.顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形D.相等的圆周角所对的弧相等解析:A项错误,例如:|-2|=|2|,但-2≠2;B项错误,等腰梯形的对角线可能垂直,但并不是所有的等腰梯形的对角线都垂直;C项正确,可以根据三角形中位线定理和平行四边形的判定得到;D项错误,相等的圆周角所对的弧相等,必须是在同圆或等圆中.答案:C
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