安徽省马鞍山市2023届高三下学期第三次教学质量监测（三模）数学答案
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数 学
本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则
A． B． C． D．
【答案】B．
2．若复数满足，则
A． B． C． D．
【答案】D．
3．已知向量，，若，则
A． B． C． D．
【答案】A．
4．据史书的记载，最晚在春秋末年，人们已经掌握了完备的十进位制记数法，普遍使用了 算筹这种先进的计算工具．算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再 用纵式，千位再用横式，以此类推，遇零则置空．如下图所示：
如：10记为，26记为，71记为．现有4根算筹，可表示出两位数的个数为
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】C．
5．记函数的最小正周期为，若，且， 则
A． B． C． D．
【答案】C．
6．函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的 最小值为
A． B． C． D．
【答案】B．
7．某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从 两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为，方 差为；高三（2）班答对题目的平均数为，方差为，则这10人答对题目的方 差为
A． B． C． D．
【答案】D．
8．已知分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上， ，圆，直线与圆相交于两点，直线与 圆相交于两点，若四边形的面积为，则的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知抛物线：的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线上， 直线与抛物线交于点，则
A．的准线方程为 B．
C．直线的斜率为 D．
【答案】CD．
10．在正三棱锥中，分别为棱的中点，分别在线段上， 且满足，则下列说法一定正确的是
A．直线与平面平行
B．直线与垂直
C．直线与异面
D．直线与所成角为
【答案】AB．
11．已知函数（），
若函数的部分图象如图所示，则关于函数
，下列结论正确的是
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．在区间上的单调递增区间为
D．的图象可由的图象向左平移个单位得到
【答案】ABC．
12．已知函数的零点为，下列判断正确的是
A． B．
C． D．
【答案】ABD．
【解析】易知函数在上单调递增，
因为，所以，A正确；
因为，所以，B正确；
因为，所以，又，所以，C错误；
因为，，D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则函数在处的切线方程为 ．
【答案】．
14．甲、乙等6名同学报名参加4个社区的服务工作，每人只能选一个社区，则甲、乙选到 同一个社区的概率为 ．
【答案】．
【命题意图】，难度：简单题．
15．设数列满足，，且，则 ．
【答案】．
16．如图，在矩形中，，点分别
为边的中点．将沿折起，在翻折过程中，
直线被三棱锥的外接球截得的线段长的取值范围
为 ．
【答案】．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知数列中，，是数列的前项和，数列是公差为1的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：．
【解析】
（1）因为数列是首项为2，公差为的等差数列，
所以，则， ………2分
所以（）
两式相减得：，则 ………3分
（），
又适合上式，故． ………5分
另解：由得（），故为常数列，
则，故．
（2）由（1）得，所以， ………8分
则．……10分
18．（12分）
如图，在圆台中，分别为上、下底面圆的直径，且，，为异于的一条母线，点在线段上，且．
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
【解析】
（1）证明：如图延长交于点，
再连接，则三点共线，又，………2分
所以在中，，则，
又平面，平面，
故平面． ………5分
（2）解：以为坐标原点，在底面内，以所在直线分别轴，过作垂直于的直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，
则
因为，所以
所以，所以，………7分
设平面的法向量为
由，则
所以平面的一个法向量为，………9分
又，设平面的法向量为
由，则
所以平面的一个法向量为， ………11分
则，设二面角的大小为，
则． ………12分
19．（12分）
记的三个内角的对边分别为，已知，，是上的一点．
（1）若，且平分，求；
（2）若，求的长．
【解析】
（1）由题意知，，由得， ………3分
联立可得，故． ………5分
（2）在中，由正弦定理得，则；
在中，由正弦定理得，则，………8分
， ………11分
． ………12分
20．（12分）
强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域，由有关高校结合自身办学特色，合理安排招生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试才能进入面试环节．
（1）某研究机构为了更好地服务于高三学生，随机抽取了某校5名高三学生，对其记忆力测试指标和分析判断力测试指标进行统计分析，得到下表数据：
7 | 9 | 10 | 11 | 13 | |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
请用线性相关系数判断该组数据中与之间的关系是否可用线性回归模型进行拟合；（精确到）
（2）现有甲、乙两所高校的笔试环节都设有三门考试科目，某考生参加每门科目考试是否通过相互独立．若该考生报考甲高校，每门笔试科目通过的概率均为；该考生报考乙高校，每门笔试科目通过的概率依次为，其中．若该考生只能报考甲、乙两所高校中的一所，以笔试中通过的科目数的数学期望为依据作出决策，得知该考生更有希望通过乙大学的笔试，求的取值范围．
参考数据：，，；
参考公式：线性相关系数：．一般地，时，认为两个变量之间存在较强的线性相关关系．
【解析】
（1）由题意，可得：，，
，，， ………2分
因为，
将上述数值代入，得， ………4分
所以与之间的线性相关性较强，可用线性回归模型进行拟合． ………5分
（2）通过甲高校的考试科目数，则， ………7分
设通过乙高校的考试科目数为，则的可能取值为，则：
，
，
，
，
则， ………10分
由题意知，，即，解得，
又因为，综上，的取值范围为． ………12分
21．（12分）
已知为椭圆：上两点，点满足，过点与点的直线与直线交于点．
（1）当轴且在轴上方时，求直线的斜率；
（2）已知，记的面积为，的面积为，求的取值范围．
【解析】
（1）设（），则，直线的方程为：，
令，得， ………3分
所以直线的斜率为． ………5分
（2）当直线斜率不存在时，由（1）知，则，
当直线斜率存在时，设直线的方程为：（），
联立与得：，
则， ………6分
直线的方程为：，令，得，………7分
因为， ………10分
所以，故，，则，
因为，所以，则． ………12分
法二：设，由得，
则①，， ………7分
由得，
则②，联立①②得， ………9分
所以，
因为，所以，则． ………12分
22．（12分）
已知函数
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】
（1）当时，， ………2分
则在上单调递增，因为，
所以在上单调递减，在上单调递增， ………4分
的极小值为，无极大值． ………5分
（2）令，则即，因为
即在时恒成立， ………8分
令，
，故单调递增， ………10分
所以，故． ………12分
注：其他解法酌情给分．
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