数学（北京卷）2023年中考考前最后一卷（考试版）A4

2023年中考考前最后一卷

数  学

（考试时间：120分钟  试卷满分：100分）

考生须知：

1．本试卷共两部分，28道题。满分100分。考试时间120分钟。

2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

第一部分  选择题

一．选择题（共16分，每题2分）

第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．下列立体图形中，左视图是圆的是　　

A． B． 

C． D．

2．我国成功发射北斗系统第55颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星，该卫星距离地面约36000千米．将36000用科学记数法表示应为　　

A． B． C． D．

3．如图，，点在直线上，若，，则的度数为　　

A． B． C． D．

4．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

5．十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是　　

A． B． C． D．

6．若一元二次方程有两个不相同的实数根，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

7．平面直角坐标系中，若点，和，在反比例函数图象上，则下列关系式正确的是　　

A． B． C． D．

8．下面的三个问题中都有两个变量：

①矩形的面积一定，一边长与它的邻边长；

②某村的耕地面积一定，人均耕地面积与全村总人口；

③汽车的行驶速度一定，行驶路程与行驶时间．

其中，两个变量之间的函数关系可以用形如为常数，的式子表示的是　　

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

第二部分  非选择题

二．填空题（共16分，每题2分）

9．若代数式有意义，则实数的取值范围是　　．

10．因式分解：　　．

11．方程的解为 　　．

12．如图，在中，，分别为，的中点，点在线段上，且．若，，则的长为 　　．

13．如图，是的直径，点，在上．若，则　　．

14．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 　　．

15．为了了解某县初三学生的身高发育情况，随机抽取了该地区500名初三学生进行调查，整理样本数据，得到下表：

根据抽样调查结果，估计该区10000名初三学生身高不低于的人数是 　　．

16．某学习兴趣小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：

（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；

（ⅱ）女学生人数多于教师人数；

（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数，

①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 　　；

②该小组人数的最小值为 　　．

三．解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．计算：．

18．解不等式组：．

19．已知，求代数式的值．

20．下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

21．如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，，求和的长．

22．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数平移得到，且过点．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求的取值范围．

23．2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某中学为普及共青团知识，举行了一次知识竞赛（百分制）．为了解七、八年级学生的答题情况，从中各随机抽取了20名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出部分信息．

．七年级学生竞赛成绩的频数分布表及八年级学生竞赛成绩的扇形统计图：

．七年级学生竞赛成绩数据在这一组的是：

80  80  82  85  85  85  89

．七、八两年级竞赛成绩数据的平均数、中位数、众数以及方差如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中，的值：　　，　　；八年级学生竞赛成绩扇形统计图中，表示这组数据的扇形圆心角的度数是 　　；

（2）在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是 　　（填“七”或“八” 年级，理由为 　　；

（3）竞赛成绩90分及以上记为优秀，该校七、八年级各有200名学生，估计这两个年级成绩优秀的学生共约 　　人．

24．如图，是的直径，为的切线，切点为，交的延长线于点，点是上的一点，且点是弧的中点，连接并延长交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的半径．

25．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为，距地面的高度为．测量得到如表数值：

小腾根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；

（2）结合函数图象，出水口距地面的高度为 　　，水达到最高点时与池中心的水平距离约为 　　（结果保留小数点后两位）；

（3）为了使水柱落地点与池中心的距离不超过，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要 　　（填“升高”或“降低” 　　（结果保留小数点后两位）．

26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．

（1）求的值；

（2）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）；

（3）点，，在抛物线上，若，求的取值范围．

27．在中，，过点作射线，使（点与点在直线的异侧）点是射线上一动点（不与点重合），点在线段上，且．

（1）如图1，当点与点重合时，与的位置关系是 　　，若，则的长为 　　；（用含的式子表示）

（2）如图2，当点与点不重合时，连接．

①用等式表示与之间的数量关系，并证明；

②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

28．在平面直角坐标系中，的半径为1，，且，两点中至少有一点在外．给出如下定义：平移线段，得到线段，分别为点，的对应点），若线段上所有的点都在的内部或上，则线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．

（1）如图1，点，的坐标分别为，，线段到的“平移距离”为 　　，点，的坐标分别为，，，，线段到的“平移距离”为 　　；

（2）若点，都在直线上，记线段到的“平移距离”为，求的最小值；

（3）如图2，若点坐标为，线段到的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点形成的图形（不需证明）．