湖南省部分名校2023年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟演练试卷（Word版附答案）

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练

数 学

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．如图，在正方体中，在线段上运动，则下列直线与平面的夹角为定值的是（    ）

A． B． C． D．

3．若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小，并且随着解释变量的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和之间的关系，应使用以下回归方程中的（，为自然对数的底数）（    ）

A． B． C． D．

4．有一个沙漏如图所示，由圆柱与圆锥组合而成，上下对称，沙漏中沙子完全流下刚好填满下半部分的圆柱部分，已知沙漏总高度为，圆柱部分高度为，则初始状态的沙子高度为（    ）

A． B． C． D．

5．已知，都是锐角，且，，则，满足的关系是（    ）

A． B． C． D．

6．挪威画家爱德华·蒙克于1893年创作的《呐喊》是表现主义绘画的代表作品，刻画了一个极其痛苦的表情．画作局部如下图所示，人像的脸近似为一个椭圆，下巴近似为一个圆，圆心在椭圆的下焦点上，椭圆与圆有两个交点，，椭圆的两焦点与圆的圆心在同一直线上，记椭圆的中心为．连接直线，，，经测量发现与圆相切，圆的半径为，．记该椭圆的离心率为，为不超过的最大整数，则的值为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

7．正八边形上存在一动点（点与，不重合），已知正八边形边长为2，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

8．设函数，是公差为的等差数列，，则（    ）

A．0 B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．投掷一枚均匀的骰子8次，记录每次骰子出现的点数．根据统计结果，可以判断一定出现点数6的是（    ）

A．第25百分位数为2，极差为4 B．平均数为，第75百分位数为

C．平均数为3，方差为3  D．众数为4，平均数为

10．已知函数和分别为奇函数和偶函数，且，则（    ）

A．  B．在定义域上单调递增

C．的导函数 D．

11．已知，是自然对数的底数，则（    ）

A． B． C． D．

12．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图，若用棱长为4的正四面体作勒洛四面体，则（    ）

A．平面截勒洛四面体所得截面的面积为

B．记勒洛四面体上以，为球心的两球球面交线为弧，则其长度为

C．该勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为4

D．该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设是虚数单位，已知是关于的方程的一个根，则________．

14．平面直角坐标系中有线段，对应直观图上的线段是，若，则的斜率为________．

15．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限）．设点，分别为，的内心，则的取值范围是________．

16．设，若对于任意正实数，函数的图象与曲线都有交点，则的最小值为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）为测量地形不规则的一个区域的径长，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到，为钝角，，，．

（1）求的值；

（2）若测得，求待测径长．

18．（12分）已知数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）数列中是否存在最大项和最小项？若存在，求出相应的最大项或最小项；若不存在，说明理由．

19．（12分）如图，四棱锥内，平面，四边形为正方形，，．过的直线交平面于正方形内的点，且满足平面平面．

（1）当时，求点的轨迹长度；

（2）当二面角的余弦值为时，求二面角的余弦值．

20．（12分）一部电视连续剧共有集，某同学看了第一集后，被该电视剧的剧情所吸引，制定了如下的观看计划：从看完第一集后的第一天算起，把余下的集电视剧随机分配在天内；每天要么不看，要么看完完整的一集；每天至多看一集．已知这部电视剧最精彩的部分在第集，设该同学观看第一集后的第天观看该集．

（1）求的分布列；

（2）证明：最有可能在第天观看最精彩的第集．

21．（12分）已知抛物线：，：相交于点，在第一象限内一点处的切线交于，两点，交轴于点，在，处的切线交于点．

（1）证明：当面积最小时，为中点；

（2）过作的垂线交于另一点，连接交于另一点，当面积最小时，求点的坐标．

22．（12分）已知函数，是的导函数．

（1）判断是否为的极值点，并说明理由；

（2）若，为最小的零点，证明：当时，．

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练

数学试题参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1-5：ABDCC 6-8：BDD

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．BD 10．BD 11．BC 12．AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．38 14．0或 15． 16．

四、解答题：本题共6小题，共70分．

17．解：（1）

（2）

18．解：（1）由于，向前写一项并相除得，从而，累加可得时．

又当时亦符合该通项，因此的通项公式为，．

（2）设，数列是摆动数列，所有奇数项均为负数，所有偶数项均为正数．所以若出现最大项，一定在偶数项出现；若出现最小项，一定在奇数项出现．

（i）考察奇数项，令，解得，所以有

，

这表明数列的最小项为．

（ii）考察偶数项，令，解得，所以有

，

这表明数列的最大项为．

综上所述，存在最大项和最小项，最大项为第四项，最小项为第三项．

19．解：解：（1）作交于．

因为平面平面，且平面平面，所以平面．

又因为平面，所以．

因为平面，且平面，所以．

因为，，、平面，，所以平面．

又因为平面，所以．

因此，的轨迹为圆弧，其长度为．

（2）

20．解：（1）要在第一集后的第天中观看后集电视剧，考虑第集在时的概率则在天要看集，在天要看1集

，

，且

故的分布列是

（2）记，，要求中的最大项

考虑

由于，

，

即时，有

同理可得时，有．

中的最大项为，即最有可能在第天观看第集．

21．解：（1）将代入，，

：，：

设，处切线：

设，

，

：，：

，即

：

，点到距离

令，，所以最小时，

而为中点

当面积最小时，为中点．

（2），即，

，与轴交点

联立

，

：

联立

则

令，

所以当最小时，，故

22．解：（1）当时，无意义；

当时，

若不是极值点；

若，故不是极值点．

综上所述，不是极值点．

（2）时，，，

要证：时，，

由于，．

．

令，，．

则存在，使得在上单调增，上单调减，且．

故．只要证：

记，只需证：．

由于，，当时，．

则在上单调减，于是只需证：．

由，得证！