湖南省长沙市明德中学2023届高三下学期高考仿真模拟考试数学试题（含答案）

湖南省长沙市明德中学2023届高三下学期高考仿真模拟考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，设全集，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数满足，则（    ）

A． B． C．2 D．4

3．已知平面向量满足，，且与的夹角为，则（    ）

A． B． C． D．

4．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，通过统计相关数据后，发现坐公交车用时和骑自行车用时都近似服从正态分布. 绘制了概率分布密度曲线，如图所示，则下列哪种情况下，应选择骑自行车（    ）

A．有26 min可用 B．有30 min可用

C．有34 min可用 D．有38 min可用

5．已知角的终边在直线上，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知抛物线的焦点为 ，准线为，为上一点，，垂足为，与轴交点为，若，且的面积为，则的方程为（    ）

A． B． C． D．

7．如图，一个由四根细铁杆、、、组成的支架（、、、按照逆时针排布），若，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是（    ）

A． B． C．2 D．

8．已知实数满足： ，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．6个数据构成的散点图，如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程，若在6个数据中去掉后，下列说法正确的是（    ）

A．解释变量x与预报变量y的相关性变强 B．样本相关系数r变大

C．残差平方和变小 D．决定系数变小

10．若，且，则（    ）

A． B．

C． D．

11．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．为钝角三角形

C．若，则的面积是

D．若外接圆半径是，内切圆半径为，则

12．如图，圆柱的底面半径和母线长均为是底面直径，点在圆上且，点在母线，点是上底面的一个动点，则（    ）

A．的最小值为

B．若，则点的轨迹长为4

C．若，则四面体的外接球的表面积为

D．若，则点的轨迹长为

三、填空题

13．的展开式中二项式系数最大的项是________.

14．中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.” 则此人在第六天行走的路程是__________里（用数字作答）.

四、双空题

15．直线与椭圆(m>0)有且仅有一个公共点P，则m＝_______，点P的坐标是________.

五、填空题

16．若，则的取值范围是____________.

六、解答题

17．已知等差数列前项和为，，.

(1)求的通项公式；

(2)若数列满足，求和：.

18．已知函数在区间单调，其中ω为正整数，|φ|＜，且.

(1)求图像的一个对称中心；

(2)若，求.

19．如图，三棱台，，，平面平面，， ，与相交于点，，且∥平面.

(1)求三棱锥的体积；

(2)平面与平面所成角为，与平面所成角为，求证：.

20．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若有三个零点，且在处的切线经过点，，求证：.

21．甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜. 已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率为.

(1)若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望；

(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即.

(i)求的取值范围；

(ii)证明数列单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义.

22．如图，已知直线，，是平面内一个动点，∥且与相交于点（位于第一象限），∥，且与相交于点（位于第四象限），若四边形（为原点）的面积为.

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)过点的直线与相交于两点，是否存在定直线，使以为直径的圆与直线相交于两点，且为定值，若存在，求出的方程，若不存在，请说明理由.

参考答案：

1．B

2．A

3．D

4．D

5．A

6．B

7．B

8．A

9．AC

10．ABD

11．BD

12．ACD

13．/

14．6

15．         

16．

17．(1)

(2)

18．(1)

(2)

19．(1)2

(2)证明见解析

20．(1)答案见解析

(2)证明见解析

21．(1)分布列见解析，

(2)（i）；（ii）证明见解析，比赛局数越多，对实力较强者越有利

22．(1)

(2)存在，