2021届河北省保定市高三下学期3月第一次模拟考试（一模）数学试题 PDF版

2021年高三一模数学试题答案

一、选择题：DBCA   CBCD

二、选择题：  ABD     BC      AB    ACD

三、填空题：13.      14. 12      15. 1；      16.

四、解答题：

17.证明：（1）因为，..................2分

所以是以 为首项，以为公比的等比数列

所以数列是等比数列..................4分

解：（2）由（1）得 ，..................5分

所以..................6分

因为

，...........8分

所以，所以单调递减，..........9分

所以的最大值为.................10分

18.解：（1）法1：根据题意，

由得.................2分

由正弦定理得：，..................3分

化简得..................4分

联立      解得， ..................5分

 所以 ..................6分

法2：根据题意，，得...........2分

由正弦定理可得，即

得：，.................4分

.................5分

角A 为三角形内角，

所以..................6分

（2）由，得，又，，..................8分

由余弦定理可得：，解得：，，..................10分

所以，...................12分

19.解：（1）法1：

取AM中点为H，连结HS，HB,

因为= 且AB=BM=1，所以 为等腰直角三角形，同理也为等腰直角三角形，HS，HB均垂直AM于H，所以

所以二面角的平面角为= ，.................2分

因为SH=BH=，所以三角形SHB为正三角形，

取BH的中点Q，连结SQ，则SQ垂直与BH，得SQ= ，..................3分

因为所以AM垂直于SQ，又

所以SQ垂直于底面ABCD，

连结AQ，为AS与平面ABCD所成角.................5分

因为AS=1，

所以AS与平面ABCD所成角的正弦值为..................6分

法2：取中点为，连接，因为和均为等腰直角三角形，所以均垂直于，所以平面.................1分

以为坐标原点，分别为x轴，y轴建系如图：则点在坐标平面xOz内，设其坐标为，由为等腰直角三角形且，

得,，则.................2分

因为，所以①，          .................3分

设平面的法向量为，

则，所以

取设平面的法向量为，

因为二面角的大小为，

所以     ②         ................4分

由①②得，                       .................5分

所以

设与平面所成的角的正弦值为

所以AS与平面ABCD所成角的正弦值为.        .................6分

（2）

法1：在平面SAM内作连结BH，DH，则

又因为，..................7分

所以，又因为.都在平面ABCD内

所以B，H，D三点共线.             ..................9分

因为矩形ABCD中，BC=2AB=2

相似，解得..................11分

所以MC=BC-BM=.               .................12分

法2：

作于H，则所以平面.................7分

以为坐标原点，分别为x轴，y轴建系如图：则点在坐标平面xOz内，设其坐标为，设，则

取的方向向量为

因为所以，得，

即在x轴上， 所以三点共线           ..................9分

以下解法同法一.

20.解：（Ⅰ）由题意知收入提高的有260户，未种植A作物的有100户，得列联表

 .....................2分

经计算得，

所以有的把握认为收入提高与种植A作物有关． .....................4分

（2）设表示第i次种植作物A,B,C的事件，其中i=1,2,3，由已知条件得：

.....................5分

因为第一次必种植A，则随机变量X的取值为1,2.....................6分

....................8分

....................10分

所以X的分布列为

....................11分

 ....................12分

21.解：（1）因为曲线：的焦点恰好也是，所以椭圆中c=1，2c=2.............1分

因为的面积为3,所以|MN|=3                   ...................2分

所以得，所以椭圆方程为，...................4分

（2）因为O为的中点，所以O到的距离为到距离的一半，

又因为与的面积相等，所以，..................5分

，设的方程为，则： 

得：..................6分

得：，由两点间距离公式可得

所以；.........8分

又因为得：..................9分

得：，所以；..................10分

因为，所以..................12分

22.解：(1)当时，，定义域为，

                 ...................1分

令，得；令，得.

因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；..................2分

所以.               .................3分

（2）令，

          ..................4分

，与恒成立矛盾，

所以必有，                       ..................5分

，方程的，所以方程必有一正根记

所以函数在单调递增，在单调递减，

若满足条件必有，注意到..................6分

则有，代入式，解得.   所以    ..................7分

（3）因为，设两切点为，，

不妨设在的右边，则因为，..................8分

所以，两点处的切线方程分别为，，

令，解得，..................10分

因为，所以，      

要证明

即证明，因为     即证

设，则，

所以在上是增函数，所以，则， ..................11分

所以，

故点P一定落在第一象限...................12分