专题06 二次函数的线段、角度与面积问题-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练（解析版）

这是一份专题06 二次函数的线段、角度与面积问题-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练（解析版），共19页。试卷主要包含了线段问题，面积问题，角度问题等内容，欢迎下载使用。
专题6 二次函数的线段、角度与面积问题（解析版）
类型一 线段问题
1．（2022秋•西华期中）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（12，0），B（52，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E．
①求直线BC的解析式；
②当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．

思路引领：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）①求出B、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
②设D坐标为（m，m2﹣3m+54），则点E坐标为（m，-12m+54），设DE的长为d，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（12，0），B（52，0）两点，
∴14+12b+c=0254+52b+c=0，
解得b=-3c=54．
故该抛物线解析式为：y＝x2﹣3x+54；

（2）令x＝0，得y=54，
∴C（0，54）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则有52k+b=0b=54，
解得k=-12b=54，
∴直线BC的解析式为y=-12x+54；
②设D坐标为（m，m2﹣3m+54），
∴点E坐标为（m，-12m+54），
设DE的长为d，
∵D是直线BC下方的一点，
∴d＝（-12m+54）﹣（m2﹣3m+54）＝﹣m2+52m＝﹣（m-54）2+2516，
∴当m=54时，线段DE的长度最长，此时D（54，-1516）．
总结提升：本题属于二次函数综合题，主要考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．
2．（2022秋•荔湾区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝5OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．

思路引领：（1）OA＝OC＝5OB＝5，即可求解；
（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x2﹣4x﹣5），即可求解；
（3）PD＝HPsin∠PFD=22（x﹣5﹣x2+4x+5），即可求解．
解：（1）OA＝OC＝5OB＝5，
故点A、C的坐标分别为（5，0）、（0，﹣5）；
（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x2﹣4x﹣5），
即﹣5a＝﹣5，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣5；
（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：y＝kx﹣5，
将点A坐标代入上式并解得：k＝1，
故直线CA的表达式为：y＝x﹣5，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，

∵OA＝OC＝5，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵PH∥y轴，
∴∠PHD＝∠OCA＝45°，
设点P（x，x2﹣4x﹣5），则点H（x，x﹣5），
PD＝HPsin∠PHD=22（x﹣5﹣x2+4x+5）=-22x2+522x，
∵-22＜0，
∴PD有最大值，当x=52时，其最大值为2528，
此时点P（52，-354）．
总结提升：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等，其中（3）中用函数关系表示PD是本题解题的关键．
3．（2021秋•鼓楼区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在过A，B，C三点的抛物线上，是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当0＜PD＜22时，请直接写出点P横坐标的取值范围．

思路引领：（1）根据题意可以求得点C和点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）根据题意作出合适的图形，然后利用分类讨论的数学思想即可求得符合条件的点P的坐标；
（3）过点P作y轴的平行线交AC于点Q，可得PQ=2PD，根据直线解析式和抛物线解析式求出线段PQ的解析式，可得当x＝﹣2时，P点坐标为（﹣2，6），此时PQ的最大值为PQ﹣4，由此得出点P横坐标的取值范围．
解：（1）∵点点B的坐标为（1，0），且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上，
∴OB＝1，OA＝OC＝4OB＝4，
∴点C的坐标为（0，4），点A的坐标为（﹣4，0），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
a+b+c=016a-4b+c=0c=4，解得a=-1b=-3c=4，
即抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4；

（2）存在，
第一种情况，当以点C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC交抛物线于点P1，过点P1作y轴的垂线，垂足为M，

∵∠ACP1＝90°，
∴∠MCP1+∠ACO＝90°，
∵∠ACO+∠OAC＝90°，
∴∠MCP1＝∠OAC，
∵OA＝OC，
∴∠MCP1＝∠OAC＝45°，
∴∠MCP1＝∠MP1C，
∴MC＝MP1，
设点P1（m，﹣m2﹣3m+4），
则﹣m+4＝﹣m2﹣3m+4，
解得，m1＝0（舍去），m2＝﹣2，
∴当m＝﹣2时，﹣m2﹣3m+4＝6，
∴点P1（﹣2，6）；
第二种情况，
当点A为直角顶点时，过点A作AP2⊥AC交抛物线于点P2，交y轴于点F，作P2N⊥y轴于点N，

∴P2N∥x轴，
∵∠CAO＝45°，
∴∠FP2N＝∠FAO＝45°，
∴∠P2FN＝45°，
∴∠AFO＝45°，P2N＝NF，
∴OF＝OA，
设P2（n，﹣n2﹣3n+4），则n+4＝﹣（﹣n2﹣3n+4），解得，n1＝﹣4（舍去），n2＝2，
∴当n＝2时，﹣n2﹣3n+4＝﹣6，即P2（2，﹣6），
由上可得，点P的坐标是（2，﹣6）或（﹣2，6）；

（3）∵点A坐标为（﹣4，0）点C坐标为（0，4），
∴直线AC的解析式为y＝x+4，
过点P作y轴的平行线交AC于点Q，

设点P坐标为（x．﹣x2﹣3x+4），其中﹣4＜x＜0，则点Q坐标为（x，x+4），
∵点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，
∴PQ＝（﹣x2﹣3x+4）﹣（x+4）＝﹣x2﹣4x，
∴PQ＝﹣（x+2）2+4，即当x＝﹣2时，P点坐标为（﹣2，6），此时PQ的最大值为PQ＝4，
又∵∠CAO＝∠OCA＝45°，PQ∥y轴，
∴∠PQD＝∠OCA＝45°，
∴△PQD是等腰直角三角形，
∴PQ=2PD，
又∵0＜PD＜22，
∴0＜PQ＜4，即：0＜﹣x2﹣4x＜4，
∴当x＝﹣2时，PQ的最大值为PQ＝4，此时PD＝22．
当0＜PD＜22时，点P横坐标的取值范围为：﹣4＜x＜0且x≠﹣2．
总结提升：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，以及等腰直角三角形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．其中（3）得出PQ=2PD，并用函数关系表示PQ是本题解题的关键，
类型二 面积问题
4．（2022秋•五华区校级期中）已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．
（1）求抛物线对应的函数解析式和直线AB对应的函数解析式．
（2）在抛物线上A，M两点之间的部分（不包含A，M两点），是否存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

思路引领：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+9，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣1，即可求解二次函数的解析式，进而求得点B的坐标，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）S△DAC＝2S△DCM，则HN＝2GH，即1﹣k﹣（3k﹣7）＝2（9﹣k﹣1+k），即可求解．
解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+9，
将点A的坐标代入得﹣7＝a（﹣3﹣1）2+9，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8，
将点B（3，m）代入得，m＝﹣9+6+8＝5，
∴点B（3，5）；
设直线AB为y＝kx+n，
∴-3k+n=-73k+n=5，
解得k=2n=-1，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣1．
（2）过点M、C、A分别作三条相互平移的平行线，分别交y轴于点G、H、N，直线l与抛物线交于点D，

设直线m的表达式为：y＝kx+t，将点M的坐标代入得9＝k+t，
∴t＝9﹣k，
∴直线m的表达式为：y＝kx+9﹣k，
当x＝0时，y＝9﹣k，
∴点G（0，9﹣k），
同理直线l的表达式为：y＝kx+1﹣k，故点H（0，1﹣k），
同理直线n的表达式为：y＝kx+3k﹣7，故点N（3k﹣7），
∵S△DAC＝2S△DCM，
∴HN＝2GH，
∴1﹣k﹣（3k﹣7）＝2（9﹣k﹣1+k），
解得：k＝﹣2，
∴直线l的表达式为：y＝﹣2x+3…②，
由y=-2x+3y=-x2+2x+8解得x=5y=-7或x=-1y=5，
∴点D（﹣1，5）．
总结提升：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
5．（2022秋•抚远市期末）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+n与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），点D与点C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）P是抛物线上的一点，当△ABP的面积是8时，直接写出点P的坐标．

思路引领：（1）根据点C的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出抛物线的解析式，由抛物线的解析式利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，结合点C的坐标可得出点D的坐标；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标及AB的长，设点P的坐标为（a，b），由三角形的面积公式结合△ABP的面积是8，可求出b值，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝（x﹣1）2+n与y轴交于点C（0，﹣3），
∴﹣3＝（0﹣1）2+n，
∴m＝﹣4，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵点D与C关于抛物线的对称轴对称，
∴点D的坐标为（2，﹣3）；
（2）当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），AB＝3﹣（﹣1）＝4．
设点P的坐标为（a，b），
∵△ABP的面积是8，
∴12AB•|b|＝8，即12×4|b|＝8，
∴b＝±4．
当b＝4时，（a﹣1）2﹣4＝4，
解得：a1＝1﹣22，a2＝1+22，
∴点P的坐标为（1﹣22，4）或（1+22，4）；
当b＝﹣4时，（a﹣1）2﹣4＝﹣4，
解得：a3＝a4＝1，
∴点P的坐标为（1，﹣4）．
∴当△ABP的面积是8，点P的坐标为（1﹣22，4）或（1+22，4）或（1，﹣4）．
总结提升：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征求出n值；（2）利用三角形的面积公式，求出点P的纵坐标．
类型三 角度问题
6．（道里区一模）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，直线y=12x+1与抛物线y=12x2+bx+c交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线y=12x2+bx+c交x轴正半轴于点C，横坐标为t的点P在第四象限的抛物线上，过点P作AB的垂线交x轴于点E，点Q为垂足，设CE的长为d，求d与t之间的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围：
（3）在（2）的条件下，过点B作y轴的平行线交x轴于点D，连接DQ．当∠AQD＝3∠PQD时，求点P坐标．

思路引领：（1）先求得点A和点B的坐标，将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得b、c的值可得到抛物线的解析式；
（2）先求得点C的坐标，设点P的坐标为（t，12t2-12t﹣3），EP的解析式为y＝﹣2x+b，将点P的坐标代入可求得b的值，得到直线EP的解析式为y＝﹣2x+12t2+32t﹣3，接下来，求得点E的坐标，依据d＝EC可得到d与t的函数关系是；
（3）过点D作CF⊥AB，垂足为F．先证明△QFD为等腰直角三角形，可得到QF＝DF，由AB的解析式可知tan∠FAD=12，z则Q为AF的中点，故此E为AD的中点，则可得到EC的长，由d和t的函数关系是可得到t的值．
解：（1）令y＝0得：12x+1＝0，解得：x＝﹣2，
∴点A（﹣2，0）．
将x＝4代入得：y=12×4+1＝3，
∴B（4，3）．
将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：2-2b+c=08+4b+c=3，
解得：b=-12c=-3，
∴抛物线的解析式为y=12x2-12x-3．
（2）如图1所示：

令y＝0得：0=12x2-12x-3，解得：x1＝﹣2，x2＝3，
∴点C的坐标为（3，0）．
设点P的坐标为（t，12t2-12t﹣3）．
∵EC⊥AB，
∴设EP的解析式为y＝﹣2x+b．
将点P的坐标代入得：﹣2t+b=12t2-12t﹣3，解得b=12t2+32t﹣3．
设直线EP的解析式为y＝﹣2x+12t2+32t﹣3．
令y＝0，得：2x+12t2+32t﹣3＝0，解得：x=14t2+34t-32．
∴点E（14t2+34t-32，0）．
∴EC＝3﹣（14t2+34t-32）=-14t2-34t+92．
∴d=-14t2-34t+92．
∵点P在第四象限，
∴0＜t＜3．
（3）如图2所示：过点d作CF⊥AB，垂足为F．

∵∠AQD＝3∠PQD，∠AQP＝90°，
∴∠PQD＝45°．
∴∠DQF＝45°．
∴QF＝DF．
∵AB的解析式为y=12x+1，
∴tan∠FAD=12，即DF=12AF．
∴Q为AF的中点．
∵QP∥DF，
∴E为AD的中点．
∴E（1，0）．
∴EC＝2，即2=-14t2-34t+92，解得t＝2或t＝﹣5．
∵点P在第四象限，
∴t＝2，
当x＝2时，y＝﹣2．
∴点P的坐标为（2，﹣2）．
总结提升：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、等腰直角三角形的判定、平行线分线段成比例定理，求得点E的坐标是解题的关键．
7．（2019•崇川区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于O（0，0），A（8，0）两点，顶点B的纵坐标为4．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）若点C是抛物线上异于原点O的一点，且满足2BC2＝OA2+2OC2，试判断△OBC的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若抛物线上存在一点D，使得∠OCD＝∠AOC﹣∠OCA，求点D的坐标．
思路引领：（1）根据抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于O（0，0），A（8，0）两点，顶点B的纵坐标为4，根据待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）设C（x，y），由勾股定理得点C（12，﹣12），则∠AOB＝∠AOC＝45°，∠BOC＝90°，因此△OBC是直角三角形；
（3）作CE⊥x轴于E，根据三角函数可得直线与抛物线的交点即为所求点D．△OBC中，tan∠OCB=42122=13，可得直线上方的点D即为点B（4，4），由点B关于点O的对称点B'（﹣4，﹣4），且OB⊥OC，可得∠OCB＝∠OCB'，将直线B'C解析式为y=-12x﹣6代入抛物线y=-14x2+2x，可得点D的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于O（0，0），A（8，0）两点，顶点B的纵坐标为4，
∴c=064a+8b+c=016a+4b+c=0，
解得a=-14b=2c=0．
故抛物线的解析式是y=-14x2+2x；

（2）△OBC是直角三角形．
如图1，设C（x，y），
由勾股定理得：OB2＝42+42，OC2＝x2+y2，BC2＝（x﹣4）2+（y﹣4）2，
∵2BC2＝OA2+2OC2，
∴化简得x＝﹣y，
代入y=-14x2+2x，
解得x＝12，y＝﹣12，
即点C（12，﹣12），
则∠AOB＝∠AOC＝45°，∠BOC＝90°，
因此△OBC是直角三角形．

（3）如图2，作CE⊥x轴于E，则tan∠ACE=13．
∵∠AOC＝∠OCE＝45°，
∴∠AOC﹣∠OCA＝∠OCE﹣∠OCA＝∠ACE，
∵∠OCD＝∠AOC﹣∠OCA，
∴tan∠OCD=13，
只要经过点C，在CO的上方与下方各作一条直线，使所作直线与CO所成锐角的正切值为13，则直线与抛物线的交点即为所求点D．
∵△OBC中，tan∠OCB=42122=13，
∴直线上方的点D即为点B（4，4），
∵点B关于点O的对称点B'（﹣4，﹣4），且OB⊥OC，
∴∠OCB＝∠OCB'
∵直线B'C解析式为y=-12x﹣6
∴代入抛物线y=-14x2+2x，
解得x1＝﹣2，x2＝10（舍去），
当x＝﹣2时，y＝﹣5．
则D（﹣2，﹣5）．
综上所述，点D的坐标为（4，4）或（﹣2，﹣5）．

总结提升：本题主要考查了二次函数综合题，涉及运用待定系数法求抛物线解析式、直角三角形的判定、三角函数、勾股定理等知识，运用图形结合的思想是解题的关键．
8．（2020秋•衢州期中）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果一个圆经过点O、点B、点C三点，并交于抛物线AC段于点E，求∠OEB的度数．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形，如果存在，直接写出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使∠APB＝∠OCB？若存在，求出PB2的值；若不存在，请说明理由．

思路引领：（1）根据直线求得点B与点C坐标，利用待定系数法求解抛物线表达式；
（2）首先判断△OBC形状，再利用圆周角定理求解；
（3）借助直角坐标系内两点间距离公式，分情况讨论求解；
（4）假设存在点P，根据∠APB＝∠OCB，构造直角三角形，利用勾股定理求解．
解：（1）令x＝0，可得C点坐标（0，3），令y＝0，可得B点坐标（3，0），
将点B，C代入抛物线得，
c=3-9+3b+c=0，解得b=2c=3，
∴抛物线解析式y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，

∵∠COB＝90°，OC＝OB＝3，
∴△OBC等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
根据圆周角定理可得∠OEB＝∠OCB＝45°；
（3）存在点P（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，4+2）、（1，4-2）时，△PCD为等腰三角形；
理由如下：如图，

由（1）可知抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线对称轴x＝1，顶点D坐标（1，4），
设P点坐标为（1，m），
∴PC2＝（1﹣0）2+（m﹣3）2＝m2﹣6m+10，PD2＝（m﹣4）2＝m2﹣8m+16，CD2＝（0﹣1）2+（3﹣4）2＝2，
①当PC＝PD时，m2﹣6m+10＝m2﹣8m+16，解得m＝3；
②当PC＝CD时，m2﹣6m+10＝2，解得m1＝2，m2＝4（舍弃）；
③当PD＝CD时，m2﹣8m+16＝2，解得m1＝4+2，m2＝4-2；
综上所述，当点P（1，2）、（1，3）、（1，4+2）、（1，4-2）时，△PCD为等腰三角形；
（4）存在满足条件的点P，PB2＝16+82．
理由如下：如图，

作BF⊥PA，垂足为F，
∵∠APB＝∠OCB＝45°，
在Rt△BFP中，设BF＝a，则PF＝a，
∴PB=a2+a2=2a，
∵点A与点B关于对称轴对称，点P在对称轴上，
∴PA＝PB=2a，
∴AF=2a﹣a，
令抛物线y＝0，可解得点A坐标（﹣1，0），
在Rt△AFB中，AB＝4，AF=2a﹣a，BF＝a，
∴（2a﹣a）2+a2＝16，
解得a2＝8+42，
∴PB2＝（2）2•a2＝16+82．
总结提升：本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，圆周角定理、等腰三角形的性质，勾股定理，解题关键是平面直角坐标系内两点间距离公式表示出对应线段的长度进行求解．