重庆市铜梁中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

铜梁中学2025级高一期中考试数学试卷

一、单选题

1. 已知，是坐标原点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量线性运算可得，由坐标可得结果.

【详解】

故选：

【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.

2. 若是方程的两个根，则（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】利用韦达定理和正切的两角和公式求解即可.

【详解】因为是方程两个根，

由韦达定理得，，

所以，

故选：C

3. 下列函数最小正周期不是为的函数是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出各选项中函数的最小正周期，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，令，该函数定义域为，

，作出函数的图象如下图所示：

结合图象可知，函数的最小正周期为，A选项满足；

对于B选项，令，则该函数的最小正周期为，B选项满足；

对于C选项，函数的最小正周期为，C选项满足；

对于D选项，函数的最小正周期为，D选项不满足.

故选：D.

4. 如图，在中，，点是的中点，设，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】连结，根据向量加法三角形法则有，由题意，再转化为，整理即可得结论.

【详解】解：连结，

在中，因为，点是的中点，

所以,

故选：B.

5. 在中，角，，的对边分别为，，，向量与平行．若，，则

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由向量的坐标运算和正弦定理的边角互化，求得，得到，再由

余弦定理列出方程，即可求解，得到答案．

【详解】由题意知，向量，所以，

由正弦定理可得，

又，则，即，

因为，所以，

又因为，，

由余弦定理，即，

即，解得（负根舍去），

故选D．

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，以及向量的坐标运算的应用，其中解答中熟练应用向量的坐标运算，以及合理应用正弦定理的“边角互化”，以及余弦定理列方程是解答的关键着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．

6. 设，，，则有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用二倍角公式、诱导公式、两角差的正弦公式，化简，再利用正弦函数的单调性

比较大小．

【详解】因为，

，，

函数单调递增，

所以，即.

故选：C.

【点睛】本题考查正弦函数的单调性、二倍角公式、两角和差的三角公式的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力.

7. 在，角A，B，C的边分别为a，b，c，且，则的周长为（    ）

A. 13 B. 20 C. 18 D. 15

【答案】B

【解析】

【分析】由正弦定理结合和的正弦公式化简可得，求得，由得，由余弦定理可求出，即可求出周长.

【详解】由及正弦定理得，

整理得．

∵，

∴ ，

∴，

又，∴，故，

，；

∴，∴．

由余弦定理得，

即，

解得．

∴．

故选：B．

【点睛】思路点睛：解三角形中，余弦定理和三角形的面积公式经常综合在一起应用，解题时要注意余弦定理中的变形，如，这样借助于和三角形的面积公式联系在一起．

8. 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为1，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为1的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（　　）

A. 3 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．

【详解】以为坐标原点，为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，

圆的方程为，可设，

所以．

故．

所以的最大值为

故选：B．

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于较难题.

二、多选题

9. 下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ）

A. 的虚部为

B. 在复平面内对应的点在第二象限

C. 的共轭复数为

D. 若，则的最大值是

【答案】CD

【解析】

【分析】利用复数的四则运算化简复数，利用复数的概念可判断A选项；利用复数的几何意义可判断B选项；利用共轭复数的定义可判断C选项；利用复数模的三角不等式可判断D选项.

【详解】因为，则.

对于A选项，的虚部为，A错；

对于B选项，复数在复平面内对应的点在第三象限，B错；

对于C选项，的共轭复数为，C对；

对于D选项，因为，，

由复数模的三角不等式可得，

当且仅当时，等号成立，即的最大值是，D对.

故选：CD.

10. 已知向量、、是三个非零向量，下列说法正确的有（    ）

A. 若，则与共线且反向

B. 若，，则

C. 向量、、是三个非零向量，若，则

D. 若，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断AD选项；利用平面向量共线的基本定理可判断B选项；利用平面向量垂直的数量即表示可判断C选项.

【详解】对于A选项，由可得，

即，即，

因为、都是非零向量，则，

因为，则，即与共线且反向，A对；

对于B选项，因为、、是三个非零向量，且，，

则存在非零实数、，使得，，则，故，B对；

对于C选项，向量、、是三个非零向量，

若，则，所以，或，C错；

对于D选项，因为，则，

所以，，整理可得，

因为、都是非零向量，所以，，D对.

故选：ABD.

11. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（    ）

A. 函数的图象关于点对称

B. 函数的图象最小正周期为

C. 函数的图象在上单调递增

D. 函数的图象关于直线对称

【答案】ABD

【解析】

【分析】经过变换得到，对于选项利用周期公式可以判断，对于选项，利用整体角的方法进行求解判断即可.

【详解】解：将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，

再把得到的图象向右平移个单位长度，得到，即.

对于选项：令，解得，

当时，，所以是对称中心，所以选项正确.

对于选项：因为最小正周期为：，得，

所以选项正确.

对于选项：令，解得，

所以的递增区间为，，当时，递增区间为，

选项不是子集，显然错误.

对于选项：解得，当时，，所以选项正确.

故选：.

12. 已知内角、、所对的边分别为、、，以下结论中正确的是（    ）

A. 若，，，则该三角形有两解

B. 若，则一定为等腰三角形

C. 若，则一定为钝角三角形

D. 若，则是等边三角形

【答案】CD

【解析】

【分析】利用余弦定理可判断AC选项；利用余弦定理边角互化可判断B选项；利用余弦函数的有界性可判断D选项.

【详解】对于A选项，由余弦定理可得，即，

即，因为，解得，

此时，只有一解，A错；

对于B选项，因为，即，

整理可得，所以，或，

故为等腰三角形或直角三角形，B错；

对于C选项，因为，由正弦定理可得，

所以，，则为钝角，即为钝角三角形，C对；

对于D选项，因为、、，则，，，

所以，，，，

又因为，

则，

所以，，则，此时，为等边三角形，D对.

故选：CD.

三、填空题

13. 已知复数为纯虚数，则________

【答案】

【解析】

【分析】根据纯虚数的定义，可求得的值．

【详解】因为是纯虚数，

属于根据纯虚数定义可知且

可解得，故答案为3.

【点睛】本题考查了纯虚数的定义，注意实部为0且虚部不为0，属于基础题．

14. _____

【答案】##

【解析】

【分析】利用诱导公式结合两角差的余弦公式可求得所求代数式的值.

【详解】原式

.

故答案为：.

15. 求的最小值是_____

【答案】##0.5

【解析】

【分析】先应用换元法,再应用二次函数最值求解即得.

【详解】,

令

,

当,.

故答案为:

16. 如图，为了测量河对岸的塔高AB，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，并测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高___________.

【答案】

【解析】

【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在中，由正切函数的定义即可求得，由此解答即可.

【详解】因为在中，，，，

所以，

由正弦定理得，即，解得，

中，，所以，

故塔高.

故答案为：.

四、解答题

17. 已知向量、的夹角为，且，.

（1）求的值；

（2）求与的夹角的余弦.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先由题意求出，再由向量模的计算公式，即可得出结果；

（2）先由题意，求出，再由向量夹角公式，即可得出结果.

【小问1详解】

∵向量、的夹角为，且，，所以，

∴；

【小问2详解】

由题意，，

∴.

18. 中，已知向量，，且．

（1）求A；

（2）若，求面积的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由，可得，根据数量积的坐标表示及正弦定理将角化边，再利用余弦定理计算可得；

（2）由（1）可得且，利用基本不等式及三角形面积公式计算可得；

【小问1详解】

解：设中，角的对边分别为，

∵，∴

又，，

∴，

即，

∴由正弦定理得，

∴由余弦定理得，

又∵  ∴.

【小问2详解】

解：由（1）得，

又∵

∴即且

∴面积

又由基本不等式得即

当且仅当取等号

∴面积

故面积的最大值为

19. 已知向量，，且.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用可求，从而可得，然后可求；

（2）利用可得，结合平方关系可求.

【详解】（1）因为，，，所以，即；

因为，所以，所以.

（2）因为，，所以,

因为，所以，整理得，

因为，所以.

【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算及三角函数求值，稍具综合性，向量垂直及模长的转化是题目求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

20. 如图，在梯形中，，.

（1）求证：；

（2）若，，求的长度.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）在和中，分别利用正弦定理可得，，再由，可得，所以得，再结合已知条件可得，从而可证得结论；

（2）在中，由余弦定理可求得，， 在中，再利用余弦定理结合四边形为梯形可求出，

【小问1详解】

证明：在中，由正弦定理得，

即，

因为，所以，所以，

在中，由正弦定理得，

即，所以.

又，所以，即.

【小问2详解】

解：由（1）知.

在中，由余弦定理得

，故.

所以.

在中，由余弦定理得，

即，整理可得，解得或.

又因为为梯形，所以.

21. 在△中，角的对边分别为，，

（1）若，求的值；

（2）设，当取最大值时求A的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）利用二倍角公式，化简方程，可得，利用余弦定理，可求的值；

（2）利用二倍角、辅助角公式，化简，结合的范围，即可得取最大值时求的值．

【详解】解：（1），

，

即，

舍去），

又，，

由余弦定理，可得，

，

或，

时，，，与三角形内角和矛盾，舍去，

；

（2），

，，

，

当，

即时，．

22. 已知向量，，若函数的最小正周期为.

（1）求的单调递增区间：

（2）若关于的方程在有实数解，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求出函数的周期，得到，然后求解函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间；

（2）化简方程为：，令，原方程化为，整理，等价于在有解，利用参变量分离法可知

在上有解，利用双勾函数的单调性可求得实数取值范围.

【小问1详解】

解：因为，，

，

因为且函数的最小正周期为，则，解得，

所以，，

由可得，

所以，函数的单调递增区间为.

【小问2详解】

解：，

，

，

方程，

即方程，

因为，则，

设，

，，

原方程化为，整理，

方程等价于在在有解，

设，

当时，方程为得，故；

当时，在上有解在上有解，

问题转化为求函数上的值域，

设，则，，，

设，任取、且，

则

，

当时，，，则，

当时，，，则，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，的取值范围是，

在上有实数解或.