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    安徽省蚌埠市2022-2023学年高三数学下学期四模试题(Word版附解析)
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    安徽省蚌埠市2022-2023学年高三数学下学期四模试题(Word版附解析)

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    这是一份安徽省蚌埠市2022-2023学年高三数学下学期四模试题(Word版附解析),共24页。试卷主要包含了 已知集合,则, 已知为虚数单位,复数满足,则, 已知等差数列满足,则, 在中,已知,若,则等内容,欢迎下载使用。

    蚌埠市2023届高三年级第四次教学质量检查考试

    数学

    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

    1. 已知集合,则   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】求出集合再求即可.

    【详解】因为集合,则.

    故选:B.

    2. 已知为虚数单位,复数满足,则   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】根据给定的条件,利用复数除法运算求出即可作答.

    【详解】依题意,

    所以.

    故选:D

    3. 已知等差数列满足,则   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】利用等差中项求解即可.

    【详解】因为数列是等差数列,

    所以,即

    所以

    故选:A

    4. 已知实数满足,则下列不等关系一定正确的是(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】由不等式的性质判断AB,根据基本不等式可判断CD.

    【详解】因为,所以

    A:若,则,若,则A错误;

    BB错误;

    C:由,知C正确;

    D:当时,有,从而

    ,则D错误.

    故选:C

    5. 将顶点在原点,始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点顺时针旋转后,交单位圆于点,那么   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】根据任意角三角函数的定义,求得的正弦值与余弦值,利用正弦的和角公式,可得答案.

    【详解】由点单位圆上,则,解得

    由锐角,即,则

    所以

    .

    故选:D

    6. 如图是函数图象的一部分,设函数,则可以是(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据函数的奇偶性结合定义域分析判断.

    【详解】因为

    所以为偶函数,为奇函数.

    可知为非奇非偶函数,为奇函数,

    由图可知:为奇函数,故AC错误;

    由于,令,可得

    的定义域为.

    又因为的定义域为,所以D错误;

    故选:B.

    7. 中,已知,若,则   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】根据平面向量的线性运算利用表示可得,解出,再利用即可求解.

    【详解】由题意可得

    解得

    所以,即

    所以

    故选:A

    8. 已知双曲线的右焦点为,过点的直线分别与双曲线的渐近线平行,与渐近线的交点记为,若 为等边三角形,且面积为,则   

    A.  B.  C. 3 D. 2

    【答案】C

    【解析】

    【分析】作图,分析几何关系得到四边形OABF是菱形,利用条件即可求出 .

    【详解】

    由题意作上图,显然四边形 是平行四边形,又 是等边三角形, 是菱形,

    由于 AB边上的高 ,即

    的方程为: A上,

    故选:C.

    二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0.

    9. 某校在开展的体育节活动中,为了解学生对体育节的满意程度,组织学生给活动打分(分数为整数,满分100分),发现分数均在.从中随机抽取一个容量为300的样本,并将这些数据分成6组并作出样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图形(如图所示),则下列说法中正确的是(   

    A. 样本中分数落在的频数为60

    B. 样本的众数为75

    C. 样本的平均数为73.5

    D. 样本的80百分位数为85

    【答案】BC

    【解析】

    【分析】利用直方图求频数,分析样本众数、平均数及80百分位数判断各项正误.

    【详解】由直方图,的频率为

    所以分数落在的频数为人,A错;

    的频率为,为各组最大,故样本的众数为75分,B对;

    样本平均数为C对;

    所以80百分位数在,设为,则,可得分,D.

    故选:BC

    10. 袋中有大小相同的8个小球,其中5个红球,3个蓝球.每次从袋子中随机摸出1个球,摸出的球不再放回.第一次摸球时摸到红球为事件第一次摸球时摸到蓝球为事件第二次摸球时摸到红球为事件第二次摸球时摸到蓝球为事件,则下列说法正确的是(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】ABCD

    【解析】

    【分析】求出,根据条件概率公式计算可得答案.

    【详解】因为

    事件有两种情况,第一次摸到红球,第二次摸到红球;第一次摸到蓝球,第二次摸到红球;

    事件有两种情况,第一次摸到红球,第二次摸到蓝球;第一次摸到蓝球,第二次摸到蓝球;

    ,

    所以,故A正确;

    ,故B正确;

    ,故C正确;

    ,故D正确.

    故选:ABCD.

    11. 已知正方体的棱长为6,点分别是棱的中点,是棱上的动点,则(   

    A. 直线所成角的正切值为

    B. 直线平面

    C. 平面平面

    D. 到直线的距离为

    【答案】BCD

    【解析】

    【分析】把直线所成的角,转化为直线所成的角,在直角中,求得所成的角的正切值为,可判定A不正确;由,利用线面平行的判定定理,证得平面,可判定B正确;由 平面,得到平面,结合面面垂直的判定定理,可判定C正确;设,证得,得到即为点到直线的距离,在直角中求得,可判定D正确.

    【详解】对于A中,在正方体中,可得

    所以异面直线所成的角,即为直线所成的角,设

    的中点,连接

    在直角中,,即异面直线所成的角的正切值为,所以A不正确;

    对于B中,因为点分别是棱的中点,可得

    又因为平面平面,所以直线平面

    所以B正确;

    对于C中,在正方体中,可得平面

    因为,所以平面

    又因为平面,所以平面平面,所以C正确;

    对于D中,设,因为平面,且平面

    可得,所以即为点到直线的距离,

    在直角中,,所以

    到直线的距离为,所以D正确.

    故选:BCD.

    12. 设定义在R上的函数的导数分别为,已知,且的图象关于直线对称,则下列结论一定成立的是(   

    A. 函数的图象关于点对称

    B. 函数的图象关于直线对称

    C. 函数的一个周期为8

    D. 函数为奇函数

    【答案】AC

    【解析】

    【分析】,可得,由的图象关于直线对称,则,据此可判断各选项正误.

    【详解】,两边求导可得.的图象关于直线对称,则.

    A选项,由可得

    可得

    即函数的图象关于点对称,故A正确;

    B选项,若函数的图象关于直线对称,则.

    ,则.

    是常函数,但不一定是常函数,故B错误;

    C选项,由可得.

    可得,又

    ,则函数的一个周期为8,故C正确;

    D选项,若函数为奇函数,则.

    可得.

    ,得的一个周期为4,但题目条件不足以说明的周期情况,故D错误.

    故选:AC

    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20.

    13. 已知向量,则上的投影向量为___________.(用坐标表示)

    【答案】

    【解析】

    【分析】根据给定条件,结合投影向量的意义求解作答.

    【详解】因为,则有

    所以上的投影向量为

    故答案为:

    14. 如今中国被誉为基建狂魔,可谓逢山开路,遇水架桥.公路里程高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型,中间最大球为正四面体的内切球,中等球与最大球和正四面体三个面均相切,最小球与中等球和正四面体三个面均相切.,则该模型中最小小球的半径为___________.

    【答案】##

    【解析】

    【分析】E为底面的中心,FCD的中点,O为大球的球心,大正四面体的棱长为a,高为h,利用,求得正四面体内切球的半径为正四面体的高为四分之一求解.

    【详解】解:如图所示:

    O为大球的球心,大正四面体的底面中心为ECD的中点为F,棱长为a,高为h,连接OAOBOCOD

    大球所对应的正四面体的高为

    因为

    所以

    所以

    因为大正四面体的棱长为12

    所以

    故答案为:

    15. 已知抛物线的焦点为,准线为,点上,点上,若三点共线,且的外接圆交于点的外接圆交于点,则___________.

    【答案】1

    【解析】

    【分析】根据,得到外接圆的直径,外接圆的直径,,从而有,再结合抛物线得到求解.

    【详解】解:如图所示:

    因为,所以外接圆的直径,外接圆的直径,

    所以

    由抛物线的定义得

    所以

    所以

    所以

    故答案为:1

    16. 函数的部分图象如图所示,若,且,则______________________.

    【答案】    ①. ##    ②. ##

    【解析】

    【分析】根据函数图象求得,由关于函数图象中y轴右侧第一个零点对称确定,再,应用平方关系、诱导公式即倍角余弦公式求值即可.

    【详解】由题设,又,则

    ,则,故

    y轴左侧第一个零点,故,即,则

    由图知:关于函数图象中y轴右侧第一个零点对称,即对称,

    所以

    ,且

    所以

    ,则

    .

    故答案为:

    四、解答题:本题共6个小题,共70.解答应写出说明文字、演算式、证明步骤.

    17. 已知的内角所对的边分别为且满足.

    1求角

    2的面积为,点在边上,的角平分线,且,求的周长.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)由题中等式和二倍角公式,正弦定理,余弦定理整理可得.

    2)利用三角形面积公式,先求,再利用余弦定理求即可.

    【小问1详解】

    由正弦定理得

    .

    【小问2详解】

    由题意知

    ,故.

    的周长为.

    18. 已知数列.

    1求数列的通项公式;

    2求数列的前项和.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)通过题中关系,可构造出数列为等比数列,进而求.

    2,可利用分组求和和错位相减求和法解题.

    【小问1详解】

    整理得,而

    所以数列是以为首项,公比为的等比数列,

    所以

    .

    【小问2详解】

    两式相减得,从而

    .

    19. 某省高考改革新方案,不分文理科,高考成绩实行的构成模式,第一个“3”是语文、数学、外语,每门满分150分,第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试,每门满分100分,高考录取成绩卷面总分满分750.为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况,将某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生记作学生群体,从学生群体中随机抽取100名学生进行调查,他们选考物理,化学,生物的科目数及人数统计如表:

    选考物理、化学、生物的科目数

    1

    2

    3

    人数

    10

    40

    50

     

    1从这100名学生中任选2名,求他们选考物理、化学、生物科目数量相等的概率;

    2从这100名学生中任选2名,记表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值,求随机变量的数学期望;

    3用频率估计概率,现从学生群体中随机抽取4名学生,将其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作,求事件的概率.

    【答案】1   

    2   

    3

    【解析】

    【分析】1)由题,可知总情况数为2人选考科目数量分别为123的情况数,据此可得答案;

    2)由题意可知的可能取值分别为,分别求得时概率即可得答案;

    3)由题可得随机抽取1人,选考科目数为2的概率为,又,即4人中有2人,3人,4人选考科目数为2,即可得答案.

    【小问1详解】

    所选取的2名学生选考物理化学生物科目数量相等为事件A,则

    两人选考物理化学生物科目数量(以下用科目数或选考科目数指代)为1的情况数为,数目为2的为,数目为3的有,则.

    【小问2详解】

    由题意可知的可能取值分别为.

    0时对应概率为(1)中所求概率:

    1时,1人选考科目数为1,另一人为21人为21人为3

    2时,1人为11人为3.

    则分布列如图所示:

    0

    1

    2

    的期望为

    【小问3详解】

    所调查的100名学生中物理化学生物选考两科目的学生有40名,相应的频率为,则4人中随机1人选考2科的概率为.

    ,当时,相应概率为;当时,相应概率为,相应概率为.

    20. 已知三棱柱中,侧面是正方形,底面是等腰直角三角形,且为线段中点,.

    1求证:平面平面

    2在线段上是否存在点,使得平面与平面夹角为,且满足?若不存在,请说明理由;若存在,求出的长度.

    【答案】1证明见解析   

    2存在,

    【解析】

    【分析】1)由,证得平面,得到,再由,证得平面,进而证得平面平面.

    2)假设存在点满足题意,取中点,以方向分别为轴,轴,轴正方向建立空间直角坐标系,,分别求得平面的一个法向量,结合向量的夹角公式,即可求解.

    【小问1详解】

    证明:因为侧面是正方形,底面是等腰直角三角形,所以

    又因为,且平面,所以平面

    因为平面,所以

    由平行四边形,且,可得四边形为菱形,且

    可得是等边三角形,

    因为中点,可得

    又因为,且平面,所以平面

    因为平面,所以平面平面.

    【小问2详解】

    解:假设存在点满足题意,则由(1)知平面

    中点,以方向分别为轴,轴,轴正方向建立空间直角坐标系,

    如图所示,则

    可得

    ,则

    设平面法向量为,则

    ,可得

    设平面的法向量为,则

    取取,可得.

    整理得,解得(舍去).

    故存在满足题意.

    21. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上、下顶点,且.

    1求椭圆方程;

    2若直线与椭圆交于两点(异于点),且的面积为,过点A作直线,交椭圆于点,求证:.

    【答案】1   

    2证明见解析.

    【解析】

    【分析】1)根据条件列出关于的方程,求得它们的值,即得答案.

    2)联立直线和椭圆方程,设,可得到根与系数的关系式,根据三角形面积可得到,继而计算以及,推出,即可证明结论.

    【小问1详解】

    由题意得:,解得,

    故椭圆的方程为.

    【小问2详解】

    证明:直线的方程为,代入

    ,需满足

    ,点O到直线l的距离为

    所以

    ,得,满足

    所以

    ,则,即

    因为,所以,即.

    【点睛】难点点睛:有关直线和圆锥曲线的位置关系的题目,解题的思路一般并不难想到,即要联立直线和圆锥曲线方程,化简得到根与系数的关系式,结合条件进行化简,但难点在于计算的复杂性,计算量较大,且基本上都是相关参数的运算,因此要求计算十分细心才可.

    22. 已知函数.

    1证明:

    2证明:函数上有唯一零点,且.

    【答案】1证明见解析;   

    2证明见解析

    【解析】

    【分析】1)根据给定条件,构造函数,利用导数探讨单调性,求出最小值作答.

    2)利用导数结合零点存在性定理推理判断唯一零点,再借助单调性把不等式转化为证,然后构造函数推理作答.

    【小问1详解】

    ,求导得,令,则

    即函数R上单调递增,而,由,由

    因此函数上单调递增,在上单调递减,有

    所以.

    【小问2详解】

    ,求导得,令

    于是,即函上单调递减,

    由零点存在性定理知,存在唯一实数,使得

    则当单调递增,单调递减,而,则

    恒成立,又

    因此存唯一,使得

    下面证明,由,即

    则只需证,即证

    由(1)知:,只需证:

    ,而

    故只需证,其中

    ,函数上单调递增,

    因此,即时,

    所以.

    【点睛】思路点睛:函数不等式证明问题,将所证不等式等价转化,构造新函数,再借助函数的单调性、极()值问题处理.


     

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