2023年郑州市高中毕业年级第三次质量预测理科数学试卷及参考答案

2023年高中毕业年级第三次质量预测

理科数学  评分参考

一、选择题：本题共小题，每小题分，共分.

二、填空题：本题共小题，每小题分，共分.

. ；        .              .②③④ ；           .

三、解答题：

17.（12分）解：（1）设等差数列的首项为，公差为，

又是和的等比中项，得，即，

即--------------------------------------------------------------------------------------------------①--------------2分

又，取时，，即-----------------②--------------4分

将①②联立解得，，

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分

（2）由题意可知，，-------------------------------------------------------------7分

-----------------------------------------------------------------------------------------------12分

18.解：（1）由题意完善列联表如图

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2分

故

故没有的把握认为方案的选择与性别有关.-------------------------------------------------------------------5分

（2）设选择方案一的得分为X，则X的所有可能取值为，

则,,

,，

,

,

故X的数学期望.------------------------8分

设选择方案二的得分为Y,则Y的可能取值为，

则,,

,

故,----------------------------------------------------------------------------------11分

因为,故为了获取更好的得分,我会选择方案一.------------------------------------------------------12分

19．（12分）

解：（1）证明：在三棱柱中，，，，

，，

又为的中点，，

在中，，，，

，、平面，平面，

又平面，．----------------------------------------------------------------------------------5分

（2）平面，，，

为二面角的平面角，即，

为等边三角形，即，

过点作于点，则，

又平面平面，平面平面，

平面，

故直线与平面所成角为，即，

设，则，即，--------------------------------------7分

，

，.

取 为中点，，

，平面平面，

平面，

以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，3，，，

，, , ，

设平面与平面的一个法向量分别为，，

由取，得；

同理．-----------------------------------------------------------------------------------------------------10分

．

二面角的余弦值．----------------------------------------------------------------------------12分

20.（12分）

解（1）由题意可知，，

又到圆上距离最大值为，.

又解得，.

故椭圆方程为------------------------------------------------------------------------------------------------4分

（2）若点与点重合，则不存在----------------------------------------------------------------------------1分

若点与点不重合

点到直线和的距离相等，且在直线上，

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------5分

设，由题意可知直线，的斜率均存在且不为，

设直线的方程为

由得，.

设，，

则，------------------------------------------------7分

又，，

，

设直线的方程为，

同理可得-----------------------------------------------------------------------------11分

又，，   故.

所以存在这样的，使得---------------------------------------------------------12分

21.（12分）

解：（1）函数的定义域为，，

设，，，

当时，即，在单调递减，

当时，即，，，得，，

若，，，由即，得出.

由即，得出.

当时，，由即，得出.

由即，得出.

综上所述：当时，函数在上单调递减，

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，函数在上单调递减，

在上单调递增；在上单调递减.------------------------------------5分

（2）由（1）可知：当时，

，是函数两个极值点，

有,,此时，

要证明，只要证明，

------------------------9分

设，，

，

令，当时，，

所以当时，，单调递减，

所以有，即证---------------------------------------------------------------------12分

二选考题:共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

解：（1）曲线的方程可化为，

又所以的极坐标方程为.

曲线中，，即.

所以的极坐标方程为---------------------------------------------------------------------------5分

（2）由题意可知：，     ，

所以.

当时，的最大值为---------------------------------------------------------------------------10分

23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）

 解：（1）由柯西不等式易知，，

因为，，都为正数，所以，

当且仅当时，等号成立.---------------------------------------------------------------------------------------5分

（2）为正数，所以

由（1）可得

，当且仅当时,等号成立.

所以的最小值为.-----------------------------------------------------------------------------10分