四川省凉山彝族自治州2023届高三第三次诊断性检测数学（文）试题（含答案）

四川省凉山彝族自治州2023届高三第三次诊断性检测数学（文）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知，则（    ）．

A． B． C． D．

2．设集合，，则（    ）．

A． B．

C． D．

3．在等差数列中，，，则（    ）．

A．3 B．5 C．7 D．9

4．在区间内任取两个实数a，b，则的概率为（    ）．

A． B． C． D．

5．样本数据的平均数，方差，则样本数据的平均数，方差分别为（    ）．

A．9，4 B．9，2 C．4，1 D．2，1

6．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若点是角终边上一点，则（    ）．

A． B． C． D．

7．在正方体中，点M是棱的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为（    ）．

A． B． C． D．

8．已知以直线为渐近线的双曲线，经过直线与直线的交点，则双曲线的实轴长为（    ）．

A．6 B． C． D．8

9．已知函数的导函数，若1不是函数的极值点，则实数a的值为（    ）．

A．－1 B．0 C．1 D．2

10．在中，，，，点D在直线BC上，满足，则（    ）．

A． B． C． D．3

11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M是椭圆上任意一点．当点M不在x轴上时，设的内切圆半径为m，外接圆半径为n，则的最大值为（    ）．

A． B． C． D．1

12．设函数，若，则a的最小值为（    ）．

A．e B． C． D．

二、填空题

13．若，则______．

14．数列的前n项和为，若，，则______．

15．在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为______．

16．若函数有两个零点，则实数a的取值范围为______．

三、解答题

17．4月23日世界读书日全称“世界图书与版权日”，又称“世界图书日”．最初的创意来自于国际出版商协会．由西班牙转交方案给了联合国教育、科学及文化组织．1995年11月15日正式确定每年4月23日为“世界图书日”．其设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．每年的这一天，世界一百多个国家都会举办各种各样的庆祝和图书宣传活动．在2023年世界读书日来临之际，某中学读书协会为研究课外读书时长对语文成绩的影响，随机调查了高三年级50名学生每人每天课外阅读的平均时长（单位：分钟）及他们的语文成绩，得到如下的统计表：

(1)试估算该中学高三年级学生每天课外阅读时间的平均数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）

(2)若从统计表中在的学生中随机选取3名学生的语文成绩进行研究，求这3名学生的语文成绩都优秀的概率．

18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，，且直线PD与底面ABCD所成的角为．

(1)求证：平面平面PAC；

(2)求点C到平面PBD的距离．

19．设的内角的对边分别为，已知的面积为．

(1)求；

(2)延长至,使，若，求的最小值．

20．已知双曲线T：的离心率为，且过点．若抛物线C：的焦点F与双曲线T的右焦点相同．

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点且斜率为正的直线l与抛物线C相交于A，B两点（A在M，B之间），点N满足：，求与面积之和的最小值．

21．已知函数．

(1)若，求函数的单调区间；

(2)当，若两个不相等的正数m，n，满足，证明：．

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线的直角坐标方程；

(2)若直线与曲线交于点A，B，且，求的值．

23．已知函数

(1)求不等式的解集；

(2)若函数的最小值为m，且正数a，b，c满足，求证：．

参考答案：

1．C

2．B

3．C

4．A

5．A

6．C

7．C

8．C

9．D

10．B

11．C

12．D

13．/

14．

15．

16．

17．(1)平均数为46；中位数为

(2)

18．(1)证明见解析

(2)

19．(1)

(2)．

20．(1)

(2)

21．(1)递减区间为，递增区间为

(2)证明见解析

22．(1)

(2)

23．(1)

(2)证明见解析