初中数学人教八下第十七章达标检测卷

第十七章达标检测卷

一、选择题(每题3分，共30分)

1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是(　　)

A．3，4，5   B．6，8，10   C.，2，   D．5，12，13

2．在平面直角坐标系中，点P(3，4)到原点的距离是(　　)

A．3  B．4  C．5  D．±5

3．如图，数轴上点A，B表示的数分别为1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是(　　)

A.  B.  C.＋1  D.＋1

4．下列命题中，其逆命题成立的是(　　)

A．对顶角相等

B．等边三角形是等腰三角形

C．如果a＞0，b＞0，那么ab＞0

D．如果三角形的三边长a，b，c(其中a＜c，b＜c)满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形

5．已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为(　　)

A．12  B．7＋  C．12或7＋  D．以上都不对

6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E是垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是(　　)

A．2  B．2  C．4  D．4

7．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋|a2＋b2－c2|＝0，则△ABC的形状是(　　)

A．等腰三角形  B．直角三角形  C．等腰直角三角形  D．无法确定

8．如图为某楼梯的示意图，测得楼梯的长为5 m，高为3 m，计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要(　　)

A．5 m  B．7 m  C．8 m  D．12 m

9．如图，长方体的底面邻边长分别是5 cm和7 cm，高为20 cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B(点B为棱的中点)，那么所用细线最短为(　　)

A．20 cm  B．24 cm  C．26 cm  D．28 cm

10．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，)，点C的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，则PA＋PC的最小值为(　　)

A.  B.  C.  D．2

二、填空题(每题3分，共30分)

11．如图，已知正方形ABCD的面积为8，则对角线BD的长为________．

12．如图，一棵树在离地面9 m处断裂，树的顶部落在离底部12 m处，则树折断之前高________ m.

13．若一个三角形的三边之比为3:4:5，且周长为24 cm，则它的面积为________cm2.

14．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是________．

15．若三角形的三边长满足关系式|a－5|＋(a＋b－17)2＋＝0，则这个三角形的形状为____________________________________________．

16．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为________．

17．如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为__________．

18．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为________．

19．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是________．

20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，若点P是边AB上的一个动点，以每秒3个单位长度的速度从A→B→A运动，同时点Q从B→C以每秒1个单位长度的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t秒，若△BPQ为直角三角形，则t的值为________．

三、解答题(26，27题每题10分，其余每题8分，共60分)

21．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AB＝AC＝13，BD＝1.

(1)求CD的长；

(2)求BC的长．

22．如图，某港口A有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到达M岛，乙船到达P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？

23．若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，判断△ABC的形状．

24．我们把满足方程x2＋y2＝z2的正整数(x，y，z)叫做勾股数，如(3，4，5)就是一组勾股数．

(1)请你再写出两组勾股数：(________，________，________)，(________，________，________)；

(2)在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2－1，z＝n2＋1，那么以x，y，z为三边长的三角形为直角三角形(即x，y，z为勾股数)，请你加以证明．

25．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠BAC与∠ADC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸(单位：cm)为：AD＝8，AC＝10，CD＝6，AB＝24，BC＝26，请你判断这个零件是否符合要求，并说明理由．

26．如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝30°，折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF＝CF＝8.求AB的长．

27．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C＝90°，如图①，则有a2＋b2＝c2；若△ABC为锐角三角形，小明猜想：a2＋b2＞c2.理由如下：

如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x.

在Rt△ADC中，AD2＝b2－x2；

在Rt△ADB中，AD2＝c2－(a－x)2.

∴b2－x2＝c2－(a－x)2，即a2＋b2＝c2＋2ax.

∵a＞0，x＞0，

∴2ax＞0，

∴a2＋b2＞c2.

故当△ABC为锐角三角形时，a2＋b2＞c2.

∴小明的猜想是正确的．

请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，如图③，a2＋b2与c2的大小关系，并证明你猜想的结论．

答案

一、1.C　2.C　3.C　4.D　5.C　6.A

7．C　8.B　9.C　10.B

二、11.4　12.24　13.24　14.10

15．直角三角形　16.3　17.(10，3)

18．()n－1

19.　点拨：在网格中求三角形的高，应借助三角形的面积求解．以AC，AB，BC为斜边的三个直角三角形的面积分别为1，1，，因此△ABC的面积为2×2－1－1－＝；用勾股定理计算出BC的长为，因此BC 边上的高为.

20.，或

点拨：(1)如图①，当∠BQP＝90°时，易得∠BPQ＝30°，则BP＝2BQ.

∵BP＝12－3t，BQ＝t，

∴12－3t＝2t，解得t＝.

(2)如图②，当∠QPB＝90°时，易知∠B＝60°，∴∠BQP＝30°.

∴BQ＝2BP.

若0＜t≤4，则t＝2(12－3t)，

解得t＝；

若4＜t≤6，则t＝2(3t－12)，

解得t＝.

三、21.解：(1)∵AB＝13，BD＝1，

∴AD＝13－1＝12.

在Rt△ACD中，CD＝＝＝5.

(2)在Rt△BCD中，BC＝＝＝.

22．解：由题意知，AM＝8×2＝16(n mile)，

AP＝15×2＝30(n mile)．

∵两岛相距34 n mile，

∴MP＝34 n mile.

∵162＋302＝342，

∴AM2＋AP2＝MP2.

∴∠MAP＝90°.

又∵∠NAM＝60°，

∴∠PAS＝30°.

∴乙船航行的方向是南偏东30°.

23．解：∵a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，

∴a2＋b2＋c2－6a－8b－10c＋50＝0，

即(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0.

∴a＝3，b＝4，c＝5.

∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，

∴根据勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形．

点拨：本题利用配方法，先求出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理进行判断．

24．(1)6；8；10；9；12；15(答案不唯一)

(2)证明：x2＋y2＝(2n)2＋(n2－1)2＝4n2＋n4－2n2＋1＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝z2，

即以x，y，z为三边长的三角形为直角三角形．

25．解：这个零件符合要求．理由如下：

在△ACD中，∵AD2＋CD2＝82＋62＝64＋36＝100，且AC2＝102＝100，

∴AD2＋CD2＝AC2，

∴∠ADC＝90°.

在△ABC中，∵AC2＋AB2＝102＋242＝100＋576＝676，且BC2＝262＝676，∴AC2＋AB2＝BC2，

∴∠BAC＝90°.

因此，这个零件符合要求．

26．解：∵BF＝CF＝8，∠C＝30°，

∴∠FBC＝∠C＝30°.

∴∠DFB＝60°.

由题易知BE与BC关于直线BF对称，

∴∠DBF＝∠FBC＝30°.

∴∠BDC＝90°.

∴DF＝BF＝4.

∴BD＝＝＝4.

∵∠A＝90°，AD∥BC，

∴∠ABC＝90°.

∴∠ABD＝30°.

∴AD＝BD＝2.

∴AB＝＝＝6.

27．解：当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2与c2的大小关系为：a2＋b2＜c2.

证明：如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.

设CD＝x.

在Rt△ADC中，由勾股定理得AD2＝AC2－DC2＝b2－x2；

在Rt△ADB中，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝c2－(a＋x)2.

∴b2－x2＝c2－(a＋x)2，

整理，得a2＋b2＝c2－2ax.

∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0.

∴a2＋b2＝c2－2ax＜c2.

∴当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2＜c2.

点拨：阅读理解探究题的解题思路：(1)遵循题目范例或给定提示进行理解；(2)联想学习过的相关定义、性质、法则等进行探究分析．本题中，通过作高将钝角三角形转化为直角三角形是解题的关键．