四川省阆中中学2023届高三理科数学全景模拟卷（一）试题（Word版附解析）

四川省阆中中学校高2020级全景模拟卷（一）

理 科 数 学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集，集合，则 （     ）

A． B． C． D．

2．若．则 （     ）

A． B． C． D．

3．某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：

用该样本估计总体，以下四个说法错误的是 （     ）

A．57周岁以上参保人数最少

B．18～30周岁人群参保总费用最少

C．C险种更受参保人青睐

D．31周岁以上的人群约占参保人群80％

4．正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线与所成的角是（     ）

A． B． C． D．

5．记不等式组表示的平面区域为，命题；命题.给出了四个命题：① ；② ；③ ；④ ，这四个命题中，所有真命题的编号是（     ）

A．② ③ B．① ② C．① ③ D．③ ④

6．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点．若，则（     ）

A．9 B．6 C．4 D．3

7．已知函数的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（     ）

A． B．

C． D．

8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，是以O为圆心，为半径的圆弧，C是的中点，D在上，.“会圆术”给出后的弧长的近似值s的计算公式：，记实际弧长为.当，时，的值约为（     ）（参考数据：，）

A．0.53 B．0.13 C．0.05 D．0.01

9．已知函数且，若在区间上有最大值，无最小值，则的最大值为（    ）

A．               B．              C．              D．

10．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（     ）

A． B． C． D．

11．已知函数 在区间内有两个极值点 且，则（     ）

A．   B． 在区间上单调递增

C．   D．

12．在长方体中，，，点M为平面内一动点，且平面，则当取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为（     ）

A． B． C． D．

二、填空题（20分，每小题5分）

13．已知向量满足，且，则__________.

14．已知集合，在集合A中可重复的依次取出三个数，则这3个数能够成为一个三角形三条边的概率是__________.

15．设为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别是，若双曲线的离心率为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，则__________．

16．《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多·达·芬奇创作的油画，现收藏于法国卢浮宫博物馆．该油画规格为纵，横．油画挂在墙壁上时，其最低点处离地面（如图所示）．有一身高为的游客从正面观赏它（该游客头顶到眼睛的距离为），设该游客与墙的距离为，视角为，为使观赏视角最大，则应为________．

16.已知函数.若恒成立，则            

三、解答题（共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．(本小题12分)某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为，标准差为．

(1)求和；

(2)已知这批零件的内径（单位：）服从正态分布，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．

参考数据：若，则：

，，

，．

18．(本小题12分）

设数列的前项之积为，且满足．

(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(2)记，证明：．

19．(本小题12分)

如图，四棱锥的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，，，M，N分别为CD，PD的中点，K为PA上一点，.

(1)证明：B，M，N，K四点共面；

(2)若PC与平面ABCD所成的角为，求平面BMNK与平面PAD所成的锐二面角的余弦值.

20．(本小题12分)

已知函数.

(1)若恒成立，求a的值；

(2)求证：对任意正整数，都有（其中e为自然对数的底数）.

21．已知函数，其中．

(1)若有两个零点，求的取值范围；(2)若，求的取值范围．

21．(本小题12分)已知动圆经过定点，且与圆：内切.

(1)求动圆圆心的轨迹的方程；

(2)设轨迹与轴从左到右的交点为点，点为轨迹上异于的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线､的斜率分别为､.

（i）求证：为定值；

（ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.

选做题（22-23题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）

22．(本小题10分)有一种灯泡截面类似“梨形”曲线，如图所示，它是由圆弧、圆弧和线段四部分组成，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知，弧、弧所在圆的圆心分别是、，曲线是弧，曲线是弧．

(1)分别写出的极坐标方程；

(2)直线的参数方程为（为参数），若与曲线有且仅有两个公共点，求的取值范围．

23．(本小题10分)已知，函数.

（1）若，，求不等式的解集﹔

（2）设函数，求的最小值，并求出取得最值时的值．

阆中中学校高2020级全景模拟卷（一）

理科数学参考答案

1．A；2．D；

3．B

【详解】A选项，57周岁以上参保人数所占比例是，是最少的，A选项正确.

B选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，

而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍，

所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B选项错误.

C选项，C险种参保比例，是最多的，所以C选项正确.

D选项，31周岁以上的人群约占参保人群，D选项正确.故选：B

4．B

【详解】连接，则，故为与所成的角．

在中，，

，，

在和中，得，

是等边三角形，．故选：B．

5．C

【详解】如图，平面区域D为阴影部分，由得

即A（2，4），直线与直线均过区域D，

则p真q假，有假真，所以①③真②④假．故选C．

6．B

【详解】解：设点的坐标分别为．

又，则，，

．

由抛物线的定义可得：，，

故选：B

7．B

【详解】观察函数图象可得该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，由图象可得，对于函数，

因为，

所以函数为偶函数，A错，

对于函数，，

所以函数为奇函数，又，与图象不符，故C错误，

对于函数，，

所以函数为奇函数，又，与图象不符，故D错误，

对于函数，因为，

所以函数为奇函数，且，与图象基本相符，B正确，故选：B.

8．C

【详解】因为，所以，因为是的中点，在上，，所以延长可得在上，，

所以，

，所以.故选：C

9．D

【详解】函数且，

直线为的图像的一条对称轴，

，.

，.又，且在区间上有最大值，无最小值，

，，

，当时，为最大值.故选：D

10．A

【详解】为奇函数，，所以关于对称，所以①，且，

又为偶函数，，则关于对称，所以②，

由①②可得，即，所以，

于是可得，所以的周期，

则，所以为偶函数

则，所以，所以

所以，解得，所以当时，

所以.故选：A.

11．D

【详解】由题意函数在区间内有两个极值点，

则,即，故，

当时，，当时，，

当时，，即为在内的极大值点，

为在内的极小值点，所以，A错误；

由时，，故，所以在区间上单调递减，B错误；

又，

由于时R上的增函数，故，所以，C错误；

，因为，故，故，D 正确，故选：D．

12．A

【详解】根据题意易知，，且平面，平面，所以平面，同理可得平面；

又，平面，所以平面平面；

又因为点M在平面内且平面，所以点M在平面与平面的交线上，易知，所以当取最小值时，为线段的中点，如下图所示：

取的中点为，交于点，连接；

则，所以，而，

所以即为三棱锥的外接球球心，半径，

则表面积.故选：A

13．

【详解】由得，所以，

故答案为：

14．或0.625

【详解】集合，在中可重复的依次取出三个数，，，

基本事件有共有8个，

“以，，为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数，

分别为：

所以 “以，，为边长恰好构成三角形”的概率：．

15．

【详解】双曲线的离心率，，，

双曲线渐近线为：，不妨设在上，如下图所示，

，，则，

在中，，

在中，由余弦定理得：，

，.

16．cm

【详解】如图，作垂直于的延长线，垂足为D,则 ，

 设,则,

,即，解得，

因为 当且仅当即时取等号，

所以，此时观赏视角最大，此时cm,

17．【详解】（1）,……………3分

，故；………………6分

（2）由题意得：，        ………………………………………………7分

，即，    ………………9分

所以五个零件的内径中恰有1个不在的概率为，        ………………………………………………11分

又试产的5个零件中内径出现了1个不在内，所以小概率事件出现了，根据原则，这台设备需要进一步调试.        ………………………………………………12分

18．【详解】（1）方法一：当，得，

当时，①    ②  ……………………………1分

两式相除可得：即，又，

故，变形为：，  ……………………………4分

因为，所以是以为首项，1为公差的等比数列．   ………………5分

所以化简可得  ………………………………………………6分

法二：因为，，所以    …………1分

即令，则，

所以以3为首项，以2为公差的等差数列，          ……………………………3分

所以，即，所以． 

又因为满足上式，所以，          ………………………………4分

所以，故，故数列是等差数列．

所以化简可得  ………………………………………………6分（2）   …………………………………………7分

      …………………………………………9分

  …………11分

因为，所以             …………………………………………12分

19．【详解】（1）证明：连接AC交BM于E，连接KE，

∵四边形ABCD是矩形，M为CD的中点，

且，，…………………………………………2分

，，，，  …………………………4分

∵M，N分别是CD，PD的中点，，，

K，E，M，N四点共面，，B，M，N，K四点共面. …………………6分

（2），，∴，

平面ABCD，∴ PC与平面ABCD所成的角为，

在中，，∴，  …………………………………………8分

以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，如图

，，，，

，，

设平面BMNK的一个法向量为，则，

令，得平面BMNK的一个法向量为，………………………………10分

又平面PAD的一个法向量为，

设平面BMNK与平面PAD所成的锐二面角的大小为，，

平面BMNK与平面PAD所成的锐二面角的余弦值为.  …………………………12分

20．【详解】（1）由，得对恒成立.

记，， ……………………………………1分

1°若，则恒成立，在上单调递减，

当时，，不符合题意.    …………………………………………2分

2°若，令，得，

当时，；当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴.            …………………………………………4分

记，.令得，

当时，；当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增.

∴，即（当且仅当时取等号），

∴.又因为，故.         …………………………………………6分

（2）由（1）可知：，（当且仅当时等号成立）.

令，则，（，3，4…，n）.…………8分

∴

，

即，……………………………10分

也即，所以，

故对任意正整数，都有. ……………12分

21．【详解】（1）设动圆的半径为，由题意得圆的圆心为，半径；

所以，，则.………………………3分

所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.

因此轨迹方程为.              …………………………………………4分

（2）（i）设，，.由题可知，，如下图所示：

则，，

而，于是，

所以， ………………………………6分

又，则，因此为定值.……………8分

（ii）设直线的方程为，，.

由，得，所以.……………9分

由（i）可知，，即，………10分

化简得，解得或（舍去），              ……………11分

所以直线的方程为，因此直线经过定点.            ……………12分

22．【详解】（1）由题意知，弧、弧所在的圆的直角坐标方程分别为，        ………………………………………………………2分

所以弧、弧所在的圆的极坐标方程分别为，，…………………3分

所以；           …………………5分

（2）依题意直线恒过定点，且斜率为．        …………………………6分

因为平面直角标系下，所以．  ………………8分

因为直线与曲线有且仅有两个公共点，由图知，

所以，即，所以的取值范围为.    …………………10分

23．【解析】（1）由，可得，则即  …2分

所以或，

解得：或，故不等式的解集为或． ………4分

（2）因为，………6分

因为，所以，所以，  ………………7分

所以， ……………………8分

当且仅当即，时，等号成立，     …………………………9分

所以当，时，函数取得最小值4.       …………………………10分