2023年湖南新高考教学教研联盟高二5月联考数学试题及参考答案

2023年湖南新高考教学教研联盟高二5月联考

数 学

命题、审题学校：长沙市六中     审校：炎德文化

时量120分钟，满分150分

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个页中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，则下列结论中正确的是

A .                       B.

    C.                            D .

2．已知随机变量服从正态分布，且，则

 A .  0.84           B .  0.66          C . 0.34             D . 0.16

3． 2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利团幕，某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由 A , B , C , D , E 共5名成员组成，现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生 A 被抽到的条件下，学生 B 也被抽到的概率为

A .               B.              C.               D .

4．函数的部分图象如图所示，则函数 f ( x)的解析式为

A .              B.             

C.                 D .

5．已知，随机变量，其中，则

A .               B.             C.              D .

6．若，则的最小值为

A .              B.         C.           D .

7．已知函数，函数 g ( x )= f ( x -2）的零点均在区间（m , n）内，其中 m < n ，且 m , n 都是整数．当取最小值时，若复数 ，则

A .               B.              C.           D .

8．2022年卡塔尔足球世界杯吸引了全世界许多球迷的关注，足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们蹴鞠的场景．已知某“鞠”的表面上有四个点 A , B , C , D ，连接这四点构成三棱锥 A - BCD 如图所示，顶点 A 在底面的射影落在△ BCD 内，它的体积为cm3，其中△BCD 和△ABC 都是边长为18 cm 的正三角形，则该“鞠”的表面积为

A .        B.         C.         D .

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．下列有关说法正确的是

    A．用决定系数R2来刻画回归的效果时，R2的值越小，说明模型拟合的效果越好

    B．已知回归模型为，则样本 (2, 4.25)的残差为0.05

C．数据2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 14的第80百分位数为13

D． 一组样本数据的平均数是3，则的平均数是7

10．如图，已知在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧面△PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面 ABCD，AD =2，AB =4， O，N 分别为 BD , PC 的中点，则下列说法中正确的是

A .  ON//平面 PAD

 B．三棱锥 C - PBD 的体积为

C．二面角 P - AB - D 的大小为30°

     D．直线 PB 与平面 ABCD 所成角的余弦值为

11．已知定义在 R 上的可导函数 f (x)，记为f (x)的导函数，若且 ，又 f (1)=2023，则下列说法正确的是

    A .  f ( x )的图象关于 x =2对称        B.  g ( x)为偶函数

C .  g (2018)=0                       D .  f (2023)=2023

12．已知点 C 为抛物线 的焦点，O为坐标原点，以 C 为圆心，半径为5的圆 C 与抛物线 E 交于 M , N 两点．在圆 C 的劣弧上有异于 M , N 的动点 A ，过点 A 作垂直于 y 轴的直线 与抛物线 E 相交于点 B ，则下列说法中正确的是

    A．过点 N 且与抛物线 C 仅有一个公共点的直线只有1条

B . ∠ MON =90°

    C．点 A 横坐标的取值范围是（4, 6)

    D．若不经过原点 O ，则△ ABC 周长的取值范围是（10, 12)

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．某冰淇淋工厂的制冷设备使用年限与产生的维修费用关系如下表：

    根据上表可得y关于x的经验回归方程为，据此模型预测，若使用年限为10年，估计维修费约为_____________万元.

13．我们定义为数列的“特别数”. 现已知数列的“特别数”为，则 ___________.

15．如果10个篮球中有7个已打足气，3个没有打足气．已知小明任拿一个篮球投篮，命中的概率为0.72，若小明用打足气的篮球投篮，命中率为0.9，现小明用没有打足气的篮球投篮，则不能命中的概率为_________.

16．已知函数，曲线 y = f (x)在点（1, 0）处的切线斜率为2，当关于的方程| 有解时，则实数 t 的最大值为__________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

已知△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ，向量 , ，且4sin Acos C = ，若△ ABC 的外接圆直径为2.

(1) 求角 C ;

(2) 请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分．

① 求△ ABC 周长的最大值．  ② 求△ ABC 面积的最大值．

18.（本小题满分12分）

苏迪曼杯，又称世界羽毛球混合团体锦标赛，它是代表羽毛球最重要的世界大赛．1989年开始举办，两年一届，在奇数年举行，2023年苏迪曼杯于5月14日至21日在中国苏州举行．为了研究人们喜爱羽毛球是否与性别有关，从某高校全体学生中随机抽取100人进行问卷调查，根据统计结果得到如下2×2列联表：

(1) 根据小概率值 a =0.05的独立性检验，是否认为“人们喜欢羽毛球与性别有关”?

(2) 按性别采用分层随机抽样的方法从该校接受问卷调查且不喜爱羽毛球的学生中，随机抽取5人开设羽毛球选修课，若从这5人中随机选取3人赠送羽毛球球拍，记选中的3人中女生人数为 X ，求随机变量 X 的分布列与数学期望．

附：，其中 n = a + b + c + d

19.（本小题满分12分）

已知在递增数列中，分别为直线在 x 轴、 y 轴的截距，数列是公比为2的等比数列．

(1) 求数列的通项公式；

    (2) 设  是数列的前 n 项和，求.

20.（本小题满分12分）

如图，在正方体 ABCD – A1B1C1D1中， E为A1B1的中点， F为棱DD1上异于D 点的动点．

(1) 求证：平面 ACF ⊥平面BDF ;

(2) 若正方体的棱长为2，求点 A 到平面BEF 距离的最大值．

21.（本小题满分12分）

对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆 ，它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍．

(1) 求椭圆 C 伴随双曲线的方程；

(2) 如图，点 E , F 分别为的下顶点和上焦点，过 F 的直线与上支交于 A , B 两点，设△ ABO的面积S，（其中 O 为坐标原点）．若△ABE 的面积为，求.

22.（本小题满分12分）

已知函数 .

(1) 若 恒成立，求 a的取值范围；

(2) 设函数 ，若关于 x 的方程 g ( x )=0有两个不同的解，且，当时，证明：.