2023届江苏省淮安市盱眙中学高三下学期四模数学试题含解析

2023届江苏省淮安市盱眙中学高三下学期四模数学试题

一、单选题

1．已知．若p为假命题，则a的取值范围为(   )

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据命题为假，则命题的否定为真，转化为恒成立问题，列不等式求参.

【详解】因为p为假命题，所以，为真命题，

故当时，恒成立．

因为当时，的最小值为，

所以，即a的取值范围为．

故选：A.

2．已知复数(为虚数单位)在复平面内对应的点在直线上，则(   )

A． B． C．6 D．

【答案】D

【分析】先化简复数，再由复数对应的坐标在直线上可得参数.

【详解】由题意，得，

其在复平面内对应的点的坐标为．

因为z在复平面内对应的点在直线上，所以，

解得．

故选:D．

3．在数列中，，且，则的通项为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】依题意可得，即可得到是以2为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；

【详解】解：∵，∴，

由，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即．

故选：A

4．已知平面α内有一点A(2，－1,2)，它的一个法向量为，则下列点P中，在平面α内的是（　　）

A．(1，－1,1) B．(1,3，)

C．(1，－3，) D．(－1,3，－)

【答案】B

【分析】要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量是否垂直，即判断是否为0即可.

【详解】对于选项A，，则，故排除A；

对于选项B，，则

对于选项C，，则，故排除C；

对于选项D，，则，故排除D；

故选:B

5．若在是减函数，则的最大值是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先根据辅助角公式化简，再结合余弦函数单调性性质列不等式，解得结果.

【详解】.

当x∈时，∈，

所以结合题意可知，，即，故所求a的最大值是·

故选C.

【点睛】本题考查辅助角公式、余弦函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题.

6．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是(　　)

A．恰有1件一等品 B．至少有一件一等品

C．至多有一件一等品 D．都不是一等品

【答案】C

【分析】将件一等品编号为，件二等品的编号为，列举出从中任取件的所有基本事件的总数，分别计算选项的概率，即可得到答案．

【详解】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为P2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－＝.

【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中明确古典概型的基本概念，以及古典的概型及概率的计算公式，合理作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

7．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于M，N两点（），作，垂足为K，则外接圆的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，列出直线的方程，联立直线与抛物线的方程，求出点，利用两点间距离公式与抛物线的性质，得到为等边三角形，且边长，再利用正弦定理求出外接圆的半径，进而得到外接圆的面积.

【详解】由题得焦点，，则直线MN的方程为，联立解得，作，则点K的坐标为，，同理可得.

由抛物线定义可知，所以为等边三角形，所以外接圆的半径，所以外接圆的面积

故选：D

8．已知函数，若的最小值为m，其中是函数的导函数，则在处的切线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义即可求解.

【详解】由题得

，则的最小值．

，，函数在处的切线方程是：

，即.

故选：B．

二、多选题

9．设函数，则（    ）

A．的最小值为，其周期为

B．的最小值为，其周期为

C．在单调递增，其图象关于直线对称

D．在单调递减，其图象关于直线对称

【答案】AD

【分析】首先化简函数，再判断函数的性质.

【详解】，函数的最小值是，周期，故A正确，B错误；

时，，所以在单调递减，令，得，其中一条对称轴是，故C错误，D正确.

故选：AD

10．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.

【详解】

设，因为平面，，则，

，连接交于点，连接，易得，

又平面，平面，则，又，平面，则平面，

又，过作于，易得四边形为矩形，则，

则，，

，则，，，

则，则，，，故A、B错误；C、D正确.

故选：CD.

11．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线交双曲线C的右支于A，B两点，I为的内心，O为坐标原点，则下列结论成立的是（    ）

A．若C的离心率，则的取值范围是

B．若且，则C的离心率

C．若C的离心率，则

D．过作，垂足为P，若I的横坐标为m，则

【答案】BCD

【分析】对于选项A，根据离心率求得渐近线方程，数形结合即可判断；

对于选项B，根据已知条件并结合双曲线的定义可以求得相关线段长度，利用余弦定理可建立a，c之间的关系，即可求得离心率；

对于选项C，设的内切圆半径为r，结合三角形的面积公式和双曲线的定义可以判断；

对于选项D，运用双曲线的定义以及平面几何中圆的切线长定理，即可判断．

【详解】对于选项A，当时，双曲线的渐近线方程为，其倾斜角分别为，，因为过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，所以的取值范围是，故A错误．

对于选项B，由双曲线的定义可知，又，故，，由，得，所以，连接 ，则，由得，在中，

由余弦定理得，

得，故，故B正确．

对于选项C，因为C的离心率，所以，设的内切圆I的半径为r，

则，故C正确．

对于选项D，设，因为，AP为的平分线，所以为等腰三角形，，，则，在中，OP为中位线，所以．设的内切圆I与，，相切的切点分别为D，N，M，则，

又所以，，故D正确．

故选：BCD．

12．已知，给出下列不等式：①；②；③；④；其中正确的有（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】ABD

【分析】根据已知条件，结合作差法和特殊值依次判断，即可求解．

【详解】解：对于①：，

因为，

所以，，

所以，即，故①正确，

对于②：，

因为，

所以，，

所以，即，故②正确，

对于③：当，时，，，

所以，故③错误，

对于④：，

因为，

所以，，

所以，即，故④正确，

综上所述，正确的有①②④．

故选：ABD．

三、填空题

13．已知向量的夹角为，，则__________．

【答案】

【分析】利用条件，根据向量数量积的定义及模长的定义即可求出结果.

【详解】因为向量的夹角为，，

所以

所以，

故答案为：.

14．设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．

【答案】

【分析】根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值.

【详解】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，

所以，

因为，所以当时，取最小值为.

【点睛】函数的性质

（1）.

（2）周期

（3）由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，

（4）由求增区间；由求减区间.

15．已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据题意得到幂函数的定义域和单调性，得到不等式的等价不等式组，即可求解.

【详解】由幂函数，可得函数的定义域为，且是递减函数，

因为，可得，解得，

即实数的取值范围为.

故答案为：.

16．已知函数，，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为_________.

【答案】

【分析】由题知，进而将问题转化为函数与函数的图象恰有2个公共点，再结合导数几何意义求解切线，数形结合求解即可.

【详解】解：由得，

由题意得，函数与函数的图象恰有2个公共点，

作出函数的图象，如图，

再作出直线，它始终过原点，

设直线与相切，切点为，

由知，切线斜率为，切线方程为，

把代入得，

所以切线斜率为，

设与相切，则，

所以，，解得舍去），

由图可得实数m的取值范围是或.

故答案为：

四、解答题

17．的内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若，面积为2，求．

【答案】（1）；（2）2．

【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出.

试题解析：（1），∴，∵，

∴，∴，∴；

（2）由（1）可知，

∵，∴，

∴，

∴．

18．已知等差数列满足，成等比数列，且公差，数列的前n项和为．

(1)求；

(2)若数列满足，且，设数列的前n项和为，若对任意的，都有，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据成等比数列，列出方程，求出公差，得到答案；

（2）由题干条件得到，推导出，求出，列出不等式，得到，作差法求出的单调性，得到最值，求出答案.

【详解】（1）因为数列为等差数列，，成等比数列，

所以，

因为，所以，

所以．

（2）因为，

所以，

两式相减得，所以．

所以，

所以，

所以．

因为对任意的，都有，

所以，所以．

令，

则，

所以当时，递增，

而，所以，

所以．

19．如图，在平面五边形ABCDE中是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是直角梯形，其中．将沿AD折起，使得点E到达点M的位置，且使．

(1)求证：平面平面ABCD；

(2)设点P为棱CM上靠近点C的三等分点，求平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)正弦值为

【分析】（1）取AD的中点N，连接MN，BN．通过证明，，得平面MAD．再根据面面垂直的判定可得平面平面ABCD；

（2）以N为坐标原点，直线NA为x轴、NB为y轴、NM为z轴建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用法向量求出二面角的余弦值，再根据同角公式求出其正弦值.

【详解】（1）如图，取AD的中点N，连接MN，BN．

因为是等边三角形，所以，且，

在直角梯形ABCD中，因为，

所以四边形BCDN是矩形，所以，且，

所以，即，

又，平面MAD．平面MAD．所以平面MAD．

因为平面ABCD，

所以平面平面ABCD．

（2）由（1）知NA，NB，NM两两互相垂直，

以N为坐标原点，直线NA为x轴、NB为y轴、NM为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

根据题意，，

由P是棱CM的靠近点C的三等分点得，

，

设平面PBD的一个法向量为，

则，即，

令，则，故平面BDP的一个法向量为．

而平面MAD的一个法向量为，

设平面PBD与平面MAD所成的二面角的平面角为，

则，

所以，

所以平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值为．

20．自2020年初以来，由于新冠疫情的冲击，人们日常购物的方式发生了较大的变化，各种便民的团购群异常活跃，据某微信公众号消息，参团进行团购已逐渐成为一大常规的购物形式，因此外卖员的收入明显提高.为调查某市外卖员的收入，现随机抽取500名外卖员，按照他们投送的距离分类统计得到如图所示的频率分布直方图.将上述调查所得到的频率视为概率.

(1)估计该市外卖员的平均运送距离；

(2)假设外卖平台给外卖员的运送距离与外卖员的收入有关，其中甲平台规定：1000米以内每份2元，1000米至3000米每份5元，3000米以上每份13元.乙平台规定：2000米以内每份3元，2000米至3000米每份6元，3000米至4000米每份12元，4000米以上每份18元，若你暑期打工去送外卖，每天能送50份，并且只考虑每天的平均收入，你会选择哪一家平台？为什么？

【答案】(1)2.8千米

(2)会选择乙平台，因为每天平均收入会高一些

【分析】（1）由分布直方图直接求解平均数即可.

（2）首先根据题意写出的所有可能，列出分布列,然后比较两个平台收入的大小即可.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，平均运送距离为(千米)，

所以估计该市外卖员的平均运送距离为2.8千米.

（2）设外卖员在甲平台每份外卖的收入为X元，在乙平台每份外卖的收入为Y元，则可得到X，Y的分布列分别为

则(元)，

(元)，即选择甲平台每天的平均收入为402.5元.

则(元)，

(元)，即选择乙平台每天的平均收入为427.5元.因为

故会选择乙平台，因为每天平均收入会高一些.

21．①离心率为；②经过点；③，请在上述三个条件中选择一个作为已知条件，回答下列问题．

已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆经过点，_________．

(1)求椭圆的方程；

(2)过的斜率为的直线与椭圆交于点(异于点)，过与直线垂直的直线交椭圆于点，，记中点为，记的中点为，求满足的直线的斜率．

【答案】(1)

(2)或1

【分析】（1）根据所选条件得到关于、、的方程组，解得、，即可得到椭圆方程；

（2）由题意得直线的方程为，点，联立直线与椭圆方程，求出，表示直线的方程，设，，联立方程，消元、列出韦达定理，即可表示出，根据得到方程，解得即可.

【详解】（1）若选①，离心率为，由题意得，

解得，所以椭圆方程为．

若选②，经过点．

将点、代入椭圆方程得，解得，

所以椭圆方程为．

若选③，．

由题意得，解得，

所以椭圆方程为．

（2）由题意得直线的方程为，点，

联立直线方程与椭圆方程，

消去并整理得，

由

，则，

所以，则，

由（1）知，

所以直线的方程为，即，

设点，，

联立直线方程与椭圆方程，

消去并整理得，

因为，所以，

因为是中点，所以，

所以，

因为，所以，

化简得，则，解得或（舍去），

所以满足条件的斜率的值为或．

22．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若关于的方程有个不等实根，求证：.

【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增

(2)证明见解析

【分析】（1）求导后，根据的正负可得的单调性；

（2）根据（1）中的单调性可求得的极值，进而确定的图象，采用数形结合的方式可求得的范围，根据范围可知只需证明即可；为此可构造函数，利用导数可求得的单调性，得到，代入，结合函数单调性可证得，由此可得结论.

【详解】（1）定义域为，，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知：极小值为，极大值为，

又当时，恒成立，可得图象如下图所示，

若有三个不等实根，则与有三个不同交点，

由图象可知：，，，

设，

则，

当时，，，，，，

在上单调递减，，

，又，，

又，，

，，在上单调递减，，即，

又，.