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    2023届河南省豫南名校毕业班高三仿真测试三模数学(理)试题含解析

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    这是一份2023届河南省豫南名校毕业班高三仿真测试三模数学(理)试题含解析,共18页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2023届河南省豫南名校毕业班高三仿真测试三模数学(理)试题

     

    一、单选题

    1.已知集合,则    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】根据集合的交运算即可化简求解.

    【详解】由题意可知,则.

    故选:B

    2.设,则    

    A B C1 D0

    【答案】A

    【分析】先把化简为的形式,求出,再相减即可.

    【详解】由题意可得,则

    所以.

    故选:A

    3.若xy满足约束条件的最大值为(    

    A2 B5 C8 D10

    【答案】C

    【分析】由约束条件作出可行域,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.

    【详解】画出可行域如图所示,

    联立,解得,即

    由图可知当直线过点时,z取得最大值,最大值为8

    故选:C.

    4.某企业对目前销售的四种产品进行改造升级,经过改造升级后,企业营收实现翻番,现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比,得到如下饼图:

    下列说法不正确的是(    

    A.产品升级后,产品的营收是升级前的4

    B.产品升级后,产品的营收是升级前的2

    C.产品升级后,产品的营收减少

    D.产品升级后,产品营收的总和占总营收的比例不变

    【答案】C

    【分析】设产品升级前的营收为,升级后的营收为.然后对升级前后的各类产品进行逐项分析即可.

    【详解】设产品升级前的营收为,升级后的营收为

    对于产品,产品升级前的营收为,升级后的营收为

    故升级后的产品的营收是升级前的4倍,A正确.

    对于产品,产品升级前的营收为,升级后的营收为

    故升级后的产品的营收是升级前的2倍,B正确.

    对于产品,产品升级前的营收为,升级后的营收为

    故升级后的产品的营收增加了,C不正确.

    产品升级后,由两个图形可知产品营收的总和占总营收的比例不变,故D正确.

    故选:C.

    5.已知抛物线的焦点为,准线与坐标轴交于点是抛物线上一点,若,则的面积为(    

    A4 B C D2

    【答案】D

    【分析】根据抛物线的定义和标准方程即可求解.

    【详解】

    根据抛物线的定义知2

    解得

    代入

    所以的面积为.

    故选:D.

    6.已知函数处取得极大值4,则    

    A8 B C2 D

    【答案】B

    【分析】先求函数的导数,把极值点代入导数则可等于0,再把极值点代入原函数则可得到极值,解方程组即可得到,从而算出的值.

    【详解】因为,所以

    所以,解得

    经检验,符合题意,所以.

    故选:B

    7.已知等差数列的前n项和为,则    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】根据条件求出的通项公式,再运用裂项相消法求和.

    【详解】设等差数列的公差为d,因为,所以…①

    ,即 ,代入,解得

    所以

    故选:A.

    8.第19届亚运会将于2023923日至108日在杭州举行,甲、乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务,每名志愿者只去一个场地,每个场地至少一名志愿者,若甲不去游泳场地,则不同的安排方法共有(    

    A12 B18 C24 D36

    【答案】C

    【分析】本题只需考虑游泳场有2名志愿者和1名志愿者两种情况即可.

    【详解】游泳场地安排2人,则不同的安排方法有种,

     

    游泳场地只安排1人,则不同的安排方法有种,

    所以不同的安排方法有.

    故选:C

    9.如图,这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形,已知是平面四边形内一点,则的取值范围是(    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】由数量积的几何意义,先求上的投影的取值范围,再乘以,则可得到的取值范围.

    【详解】如图,延长,过点的延长线于点.

    因为,所以.

    由图可知当点处时,上的投影有最大值1

    点处时,上的投影有最小值

    又因为,所以的取值范围是.

    故选:D

    10.已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点(不重合),的垂直平分线过点,则双曲线的离心率为(    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】首先求出的垂直平分线的方程,即可求出的中点坐标,设,利用点差法得到,最后利用离心率公式计算可得.

    【详解】因为直线,所以

    由题可知的垂直平分线的方程为

    联立可得,即的中点坐标为

    ,则,且

    两式作差可得

    ,所以

    则双曲线的离心率为

    故选:D

    11.如图,在棱长为1的正方体中,E的中点,M是截面上的一个动点(不包含边界),,则的最小值为(    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】先判断出点的轨迹,然后根据平面中,两点的距离求得的最小值.

    【详解】连接,如下图所示,

    由于,所以在平面上的投影在上,

    在平面上的投影为,所以M的轨迹为

    将平面翻折到与平面重合,如图所示,

    所以,所以(翻折后),

    所以的最小值为

    故选:C

    12.现有下列四个不等式:

    其中所有正确结论的编号是(    

    A①④ B②③ C①②④ D②③④

    【答案】B

    【分析】构造,求导得到单调区间,确定,得到错误,确定,再构造,求导得到函数的单调区间,代入数据计算得到答案.

    【详解】,则

    时,单调递减;

    时,单调递增.

    所以,当且仅当时,等号成立,即,所以,故错误.

    从而,所以

    综上所述:

    ,则

    ,则

    时,单调递减,所以

    从而可得,所以上单调递减,

    所以,化简可得,故正确.

    因为当时,,所以

    ,所以当时,

    ,则,即;令

    正确,错误.

    故选:B

    【点睛】关键点睛:本题考查了比较数的大小关系,意在考查学生的计算能力,转化能力和综合应用能力,其中,构造函数,求导得到单调区间,根据函数的单调性比较数的大小关系是解题的关键.

     

    二、填空题

    13.如图,三个相同的正方形相接(在同一平面中),则______.

    【答案】/

    【分析】根据两角差的正切公式直接计算即可.

    【详解】中,,在中,

    所以

    故答案为:

    14.已知函数..的取值范围是__________.

    【答案】

    【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性,根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式,解得即可.

    【详解】因为函数定义域为

    所以是奇函数且在上单调递增,

    0,可得,则,解得

    的取值范围是.

    故答案为:.

    15.已知一个圆锥的内切球的体积为,则该圆锥体积的最小值为______

    【答案】

    【分析】利用几何关系求出圆锥的高与底面半径的关系,然后用基本不等式求出圆锥体积的最小值.

    【详解】圆锥与其内切球的轴截面图如图所示,点O为球心,DE为切点,设内切球的半径为R,圆锥的底面圆的半径为r,高为h,所以,则

    ∵△, ∴,则,即

    圆锥的体积,当且仅当时,

    等号成立.

    故答案为:.

    16.为激发大家学习数学的兴趣,在一次数学活动课上.老师设计了有序实数组表示把中每个都变为,每个0都变为,每个1都变为01所得到的新的有序实数组,例如:,则.定义.,则中有______1.

    【答案】

    【分析】根据给定有序实数组定义,写出,探究所具有的规律,再利用数列知识求解即可.

    【详解】因为,依题意,

    显然,中有2项,其中1项为项为

    中有4项,其中1项为项为12项为

    中有8项,其中3项为项为12项为0

    由此可得总共有项,其中1-1的项数相同.

    中有项为项为0,所以,从而

    因为表示把中每个-1都变为,每个0都变为,每个1都变为01

    所得到的新的有序实数组,则

    所以,

    可得,即

    ,所以

    解得,所以中有1.

    故答案为:

    【点睛】关键点点睛:对于新定义问题,解题时要通过阅读,理解所给出的新定义,并将其应用在解题中.

     

    三、解答题

    17.在中,角ABC所对的边分别为abc

    (1)C的大小;

    (2)若点D满足,求c

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)利用正弦定理边化角的性质,对等式进行化简运算,结合三角恒等变换的知识进行求解;

    2)三角形的边长关系及平面向量的相关知识进行运算,再结合余弦定理进行求解c.

    【详解】1)由正弦定理得

    所以

    展开得

    因为,所以,即

    又因为,所以

    2)因为,所以ACD的中点,又,所以

    由题可知,,所以,则

    解得,所以,即

    18绿色出行,低碳环保已成为新的时尚,近几年国家相继出台了一系列的环保政策,在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策,为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A充电桩进行生产投资,所获得的利润有如下统计数据,并计算得=30.

    A充电桩投资金额x/万元

    3

    4

    6

    7

    9

    10

    所伏利润y/百万元

    1.5

    2

    3

    4.5

    6

    7

    (1)已知可用一元线性回归模型拟合yx的关系,求其经验回归方程;

    (2)若规定所获利润y与投资金额x的比值不低于,则称对应的投入额为优秀投资额”.2分,所获利润y与投资金额x的比值低于且大于,则称对应的投入额为良好投资额,记1分,所获利润y与投资金额x的比值不超过,则称对应的投入额为不合格投资额,记0分,现从表中6个投资金额中任意选2个,用X表示记分之和,求X的分布列及数学期望.

    附:对于一组数据,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

    【答案】(1)

    (2)分布列见解析,

     

    【分析】1)根据已知数据,利用最小二乘法,求出回归系数,可得线性回归方程;

    2)利用概率公式求出随机向量X的概率,可得随机变量X的分布列,代入期望公式计算即可.

    【详解】1)根据获得的利润统计数据,

    可得

    所以

    所以

    所以关于的经验回归方程为.

    2)由题意,

    所以优秀投资额2个,良好投资额1个,不合格投资额3.

    随机变量的可能取值为

    所以的分布列为

    0

    1

    2

    3

    4

    数学期望.

    19.《九章算术》中记录的羡除是算学和建筑学术语,指的是一个类似隧道形状的几何体,如图,在羡除ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的正方形,

    (1)证明:平面ADE平面.

    (2)求平面ABFE与平面BFC夹角的余弦值.

    【答案】(1)证明见解析;

    (2).

     

    【分析】1)根据题意,由线面垂直的判定定理可得平面,从而得到面面垂直;

    2)根据题意,以为坐标原点,分别以的方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系,结合空间向量的坐标运算即可得到结果.

    【详解】1)证明:分别取的中点,连接,则

    在梯形中,,分别作垂直于,垂足分别为

    易知,故.

    ,所以

    因为平面FBC,所以平面

    因为平面,所以平面平面.

    2)以为坐标原点,分别以的方向为

    轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则

    从而.

    设平面的法向量为

    ,令,得.

    设平面的法向量为

    ,令,得.

    设平面与平面的夹角为,则

    所以平面与平面夹角的余弦值为.

    20.已知椭圆的右焦点为,且是椭圆上一点.

    (1)求椭圆的方程;

    (2)若过的直线(与轴不重合)与椭圆相交于两点,过的直线轴交于点,与直线交于点不重合),记的面积分别为,若,求直线的方程.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)根据椭圆的定义求出,再根据之间的关系求出,即可得解;

    2)设直线的方程为,联立方程,利用韦达定理求出,根据直线轴平行,可得,再根据化简即可得解.

    【详解】1)由已知可得的左焦点,

    所以,即

    所以

    故椭圆的方程为

    2)设直线的方程为

    则由

    显然

    于是

    由直线轴平行,

    可得,所以

    所以

    解得,即,所以直线的方程为.

    【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

    1)设直线方程,设交点坐标为

    2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于(或)的一元二次方程,必要时计算

    3)列出韦达定理;

    4)将所求问题或题中的关系转化为(或)的形式;

    5)代入韦达定理求解.

    21.已知函数.

    (1)的图象在处的切线与直线垂直,求直线的方程;

    (2)已知,证明:.

    【答案】(1)

    (2)证明见解析

     

    【分析】1)求导利用导数值求解斜率,结合垂直关系即可求解.

    2)构造函数,求导确定单调性,结合零点存在性定理即可求解.

    【详解】1)解:

    因为切线与直线垂直,所以,即

    ,所以直线的方程为.

    2)证明:

    ,则,即上是增函数,

    因为,所以

    所以存在,使得

    时,,则,即上单调递减,

    时,,则,即上单调递增,

    是函数的极小值点,也是最小值点,

    .

    又因为,所以

    要证,只需证

    即证.

    ,则上单调递减,

    因为,所以,则

    .

    故当时,.

    【点睛】思路点睛:(1)考查导数的几何意义,求解曲线在某点处的切线方程;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题,同时注意数形结合思想的应用.

    22.数学中有许多美丽的曲线,例如曲线,(t为参数)的形状如数字8(如图),动点AB都在曲线E上,对应参数分别为,设O为坐标原点,

    (1)C的轨迹的参数方程;

    (2)C到坐标原点的距离d的最大值和最小值.

    【答案】(1),(为参数,

    (2)最大值,最小值

     

    【分析】1)利用条件找出AB点的坐标,利用向量的基本坐标运算,得出C的轨迹的参数方程;

    2)设出C的坐标,利用点到直线的距离公式求出表达式,即可求出.

    【详解】1)由题意有

    ,所以

    C的轨迹的参数方程为,(为参数,).

    2C点到坐标原点的距离

    因为,所以当时,d取得最大值

    因为d取得最小值

    23.已知函数

    (1)求不等式的解集;

    (2)若关于x的不等式恒成立,求m的取值范围.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)分区间讨论求解不等式即可得解;

    2)利用绝对值三角不等式求出的最小值,由不等式恒成立求解.

    【详解】1

    时,令,得,所以

    时,令,得,无解;

    时,令,得,所以

    综上,原不等式的解集为

    2

    当且仅当时,取得最小值,

    ,在时取得最大值

    又因为关于x的不等式恒成立,

    所以

    ,所以m的取值范围为

     

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