2023届河南省豫南名校毕业班高三仿真测试三模数学(理)试题含解析
展开2023届河南省豫南名校毕业班高三仿真测试三模数学(理)试题
一、单选题
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据集合的交运算即可化简求解.
【详解】由题意可知,则.
故选:B
2.设,则( )
A. B. C.1 D.0
【答案】A
【分析】先把化简为的形式,求出,再相减即可.
【详解】由题意可得,则,
所以.
故选:A
3.若x,y满足约束条件则的最大值为( )
A.2 B.5 C.8 D.10
【答案】C
【分析】由约束条件作出可行域,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.
【详解】画出可行域如图所示,
联立,解得,即,
由图可知当直线过点时,z取得最大值,最大值为8.
故选:C.
4.某企业对目前销售的四种产品进行改造升级,经过改造升级后,企业营收实现翻番,现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比,得到如下饼图:
下列说法不正确的是( )
A.产品升级后,产品的营收是升级前的4倍
B.产品升级后,产品的营收是升级前的2倍
C.产品升级后,产品的营收减少
D.产品升级后,产品营收的总和占总营收的比例不变
【答案】C
【分析】设产品升级前的营收为,升级后的营收为.然后对升级前后的各类产品进行逐项分析即可.
【详解】设产品升级前的营收为,升级后的营收为.
对于产品,产品升级前的营收为,升级后的营收为,
故升级后的产品的营收是升级前的4倍,A正确.
对于产品,产品升级前的营收为,升级后的营收为,
故升级后的产品的营收是升级前的2倍,B正确.
对于产品,产品升级前的营收为,升级后的营收为,
故升级后的产品的营收增加了,C不正确.
产品升级后,由两个图形可知产品营收的总和占总营收的比例不变,故D正确.
故选:C.
5.已知抛物线的焦点为,准线与坐标轴交于点是抛物线上一点,若,则的面积为( )
A.4 B. C. D.2
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义和标准方程即可求解.
【详解】由,
得,
则,
根据抛物线的定义知2,
解得,
代入,
得,
所以的面积为.
故选:D.
6.已知函数在处取得极大值4,则( )
A.8 B. C.2 D.
【答案】B
【分析】先求函数的导数,把极值点代入导数则可等于0,再把极值点代入原函数则可得到极值,解方程组即可得到,从而算出的值.
【详解】因为,所以,
所以,解得,
经检验,符合题意,所以.
故选:B
7.已知等差数列的前n项和为,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据条件求出的通项公式,再运用裂项相消法求和.
【详解】设等差数列的公差为d,因为,所以…①,
又,即 , ,代入①,解得,,
则,
所以
;
故选:A.
8.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行,甲、乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务,每名志愿者只去一个场地,每个场地至少一名志愿者,若甲不去游泳场地,则不同的安排方法共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
【答案】C
【分析】本题只需考虑游泳场有2名志愿者和1名志愿者两种情况即可.
【详解】①游泳场地安排2人,则不同的安排方法有种,
②游泳场地只安排1人,则不同的安排方法有种,
所以不同的安排方法有种.
故选:C
9.如图,这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形,已知是平面四边形内一点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由数量积的几何意义,先求在上的投影的取值范围,再乘以,则可得到的取值范围.
【详解】如图,延长,过点做交的延长线于点.
因为,,,所以.
由图可知当在点处时,在上的投影有最大值1,
当在点处时,在上的投影有最小值,
又因为,所以的取值范围是.
故选:D
10.已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点,(不重合),的垂直平分线过点,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】首先求出的垂直平分线的方程,即可求出的中点坐标,设,,利用点差法得到,最后利用离心率公式计算可得.
【详解】因为直线,所以,
由题可知的垂直平分线的方程为,
将与联立可得,即的中点坐标为.
设,,则,且,,
两式作差可得,
即,所以,
则双曲线的离心率为.
故选:D
11.如图,在棱长为1的正方体中,E为的中点,M是截面上的一个动点(不包含边界),,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】先判断出点的轨迹,然后根据平面中,两点的距离求得的最小值.
【详解】连接,如下图所示,
由于,所以在平面上的投影在上,
而在平面上的投影为,所以M的轨迹为,
将平面翻折到与平面重合,如图所示,
,
,,
所以,所以,(翻折后),
所以的最小值为.
故选:C
12.现有下列四个不等式:
①;②;③;④.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①④ B.②③ C.①②④ D.②③④
【答案】B
【分析】构造,求导得到单调区间,确定,得到①错误,确定,再构造,求导得到函数的单调区间,代入数据计算得到答案.
【详解】令,则,.
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
所以,当且仅当时,等号成立,即,所以,故①错误.
从而,所以.
综上所述:.
令,,则,
令,则,
当时,,单调递减,所以,
从而可得,,所以在上单调递减,
所以,化简可得,故③正确.
因为当时,,所以,
即,所以当时,.
令,则,即;令,,
故②正确,④错误.
故选:B
【点睛】关键点睛:本题考查了比较数的大小关系,意在考查学生的计算能力,转化能力和综合应用能力,其中,构造函数,求导得到单调区间,根据函数的单调性比较数的大小关系是解题的关键.
二、填空题
13.如图,三个相同的正方形相接(在同一平面中),则______.
【答案】/
【分析】根据两角差的正切公式直接计算即可.
【详解】在中,,在中,,
所以
故答案为:
14.已知函数.若.则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性,根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式,解得即可.
【详解】因为函数定义域为,,,
所以是奇函数且在上单调递增,
由0,可得,则,解得,
即的取值范围是.
故答案为:.
15.已知一个圆锥的内切球的体积为,则该圆锥体积的最小值为______.
【答案】
【分析】利用几何关系求出圆锥的高与底面半径的关系,然后用基本不等式求出圆锥体积的最小值.
【详解】圆锥与其内切球的轴截面图如图所示,点O为球心,D,E为切点,设内切球的半径为R,圆锥的底面圆的半径为r,高为h,所以,则.
∵△△, ∴,则,即,
圆锥的体积,当且仅当时,
即等号成立.
故答案为:.
16.为激发大家学习数学的兴趣,在一次数学活动课上.老师设计了有序实数组表示把中每个都变为,每个0都变为,每个1都变为0,1所得到的新的有序实数组,例如:,则.定义.若,则中有______个1.
【答案】
【分析】根据给定有序实数组定义,写出,探究所具有的规律,再利用数列知识求解即可.
【详解】因为,依题意,,
显然,中有2项,其中1项为项为,
中有4项,其中1项为项为1,2项为,
中有8项,其中3项为项为1,2项为0,
由此可得总共有项,其中1和-1的项数相同.
设中有项为,项为0,所以,从而,
因为表示把中每个-1都变为,每个0都变为,每个1都变为0,1,
所得到的新的有序实数组,则,
所以,,
可得,即,
则,所以,
解得,所以中有个1.
故答案为:
【点睛】关键点点睛:对于新定义问题,解题时要通过阅读,理解所给出的新定义,并将其应用在解题中.
三、解答题
17.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.
(1)求C的大小;
(2)若点D满足,,,求c.
【答案】(1)
(2).
【分析】(1)利用正弦定理边化角的性质,对等式进行化简运算,结合三角恒等变换的知识进行求解;
(2)三角形的边长关系及平面向量的相关知识进行运算,再结合余弦定理进行求解c.
【详解】(1)由正弦定理得,
所以,
展开得,
即.
因为,所以,即.
又因为,所以.
(2)因为,所以A为CD的中点,又,所以.
由题可知,,所以,则,
解得,,所以,即.
18.“绿色出行,低碳环保”已成为新的时尚,近几年国家相继出台了一系列的环保政策,在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策,为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A充电桩进行生产投资,所获得的利润有如下统计数据,并计算得=30.
A充电桩投资金额x/万元 | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 10 |
所伏利润y/百万元 | 1.5 | 2 | 3 | 4.5 | 6 | 7 |
(1)已知可用一元线性回归模型拟合y与x的关系,求其经验回归方程;
(2)若规定所获利润y与投资金额x的比值不低于,则称对应的投入额为“优秀投资额”.记2分,所获利润y与投资金额x的比值低于且大于,则称对应的投入额为“良好投资额”,记1分,所获利润y与投资金额x的比值不超过,则称对应的投入额为“不合格投资额”,记0分,现从表中6个投资金额中任意选2个,用X表示记分之和,求X的分布列及数学期望.
附:对于一组数据,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
【答案】(1)
(2)分布列见解析,
【分析】(1)根据已知数据,利用最小二乘法,求出回归系数,可得线性回归方程;
(2)利用概率公式求出随机向量X的概率,可得随机变量X的分布列,代入期望公式计算即可.
【详解】(1)根据获得的利润统计数据,
可得,,,
所以,
所以,
所以关于的经验回归方程为.
(2)由题意,,,,,,,
所以“优秀投资额”有2个,“良好投资额”有1个,“不合格投资额”有3个.
随机变量的可能取值为,
,,,
,,
所以的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
数学期望.
19.《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语,指的是一个类似隧道形状的几何体,如图,在羡除ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的正方形,
(1)证明:平面ADE⊥平面.
(2)求平面ABFE与平面BFC夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【分析】(1)根据题意,由线面垂直的判定定理可得平面,从而得到面面垂直;
(2)根据题意,以为坐标原点,分别以的方向为,轴的正方向,建立空间直角坐标系,结合空间向量的坐标运算即可得到结果.
【详解】(1)证明:分别取和的中点,连接,则,
在梯形中,,分别作垂直于,垂足分别为,
易知,故.
又,所以,
因为平面FBC,所以平面,
因为平面,所以平面平面.
(2)以为坐标原点,分别以的方向为,
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则
,
从而.
设平面的法向量为,
则,令,得.
设平面的法向量为,
则,令,得.
设平面与平面的夹角为,则,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
20.已知椭圆的右焦点为,且是椭圆上一点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过的直线(与轴不重合)与椭圆相交于两点,过的直线与轴交于点,与直线交于点(与不重合),记的面积分别为,若,求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据椭圆的定义求出,再根据之间的关系求出,即可得解;
(2)设直线的方程为,,联立方程,利用韦达定理求出,根据直线与轴平行,可得,再根据化简即可得解.
【详解】(1)由已知可得为的左焦点,
所以,即,
所以,
故椭圆的方程为;
(2)设直线的方程为,,
则由得,
显然,
于是,
由直线与轴平行,
可得,所以,
所以
,
解得,即,所以直线的方程为.
【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:
(1)设直线方程,设交点坐标为、;
(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于(或)的一元二次方程,必要时计算;
(3)列出韦达定理;
(4)将所求问题或题中的关系转化为、(或、)的形式;
(5)代入韦达定理求解.
21.已知函数.
(1)若的图象在处的切线与直线垂直,求直线的方程;
(2)已知,证明:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)求导利用导数值求解斜率,结合垂直关系即可求解.
(2)构造函数,,求导确定单调性,结合零点存在性定理即可求解.
【详解】(1)解:,
因为切线与直线垂直,所以,即,
又,所以直线的方程为.
(2)证明:,
设,则,即在上是增函数,
因为,所以,
所以存在,使得,
当时,,则,即在上单调递减,
当时,,则,即在上单调递增,
故是函数的极小值点,也是最小值点,
则.
又因为,所以,
要证,只需证,
即证.
设,则在上单调递减,
因为,所以,则,
故.
故当时,.
【点睛】思路点睛:(1)考查导数的几何意义,求解曲线在某点处的切线方程;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题,同时注意数形结合思想的应用.
22.数学中有许多美丽的曲线,例如曲线,(t为参数)的形状如数字8(如图),动点A,B都在曲线E上,对应参数分别为与,设O为坐标原点,.
(1)求C的轨迹的参数方程;
(2)求C到坐标原点的距离d的最大值和最小值.
【答案】(1),(为参数,)
(2)最大值,最小值.
【分析】(1)利用条件找出A,B点的坐标,利用向量的基本坐标运算,得出C的轨迹的参数方程;
(2)设出C的坐标,利用点到直线的距离公式求出表达式,即可求出.
【详解】(1)由题意有,.
又,所以,
故C的轨迹的参数方程为,(为参数,).
(2)C点到坐标原点的距离.
因为,所以当时,d取得最大值,
因为,d取得最小值.
23.已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若关于x的不等式恒成立,求m的取值范围.
【答案】(1)或
(2).
【分析】(1)分区间讨论求解不等式即可得解;
(2)利用绝对值三角不等式求出的最小值,由不等式恒成立求解.
【详解】(1)
当时,令,得,所以;
当时,令,得,无解;
当时,令,得,所以.
综上,原不等式的解集为或.
(2),
当且仅当时,取得最小值,
,在时取得最大值.
又因为关于x的不等式恒成立,
所以,
即,所以m的取值范围为.
2023届河南省豫南名校毕业班高三仿真测试三模理科数学试题及答案: 这是一份2023届河南省豫南名校毕业班高三仿真测试三模理科数学试题及答案,共8页。
2023届河南省豫南名校毕业班高三仿真测试三模数学(文)试题含解析: 这是一份2023届河南省豫南名校毕业班高三仿真测试三模数学(文)试题含解析,共17页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
河南省豫南名校2023届高三仿真测试(三模)理数答案和解析: 这是一份河南省豫南名校2023届高三仿真测试(三模)理数答案和解析,共6页。