江苏省常州市2018年中考数学试题（word版，含解析）

这是一份江苏省常州市2018年中考数学试题（word版，含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018年江苏省常州市中考数学试卷
　
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）
1．﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．计算3﹣（﹣1）的结果是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
3．如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（　　）

A．圆柱体 B．三棱锥 C．球体 D．圆锥体
4．如图，数轴上点P对应的数为p，则数轴上与数﹣对应的点是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
5．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（　　）

A． cm B．5cm C．6cm D．10cm
6．若x＞y，则下列不等式中不一定成立的是（　　）
A．x+1＞y+1 B．2x＞2y C．＞ D．x2＞y2
7．已知△ABC中，BC=6，AC=3，CP⊥AB，垂足为P，则CP的长可能是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．7
8．已知一次函数y1=kx+m（k≠0）和二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的自变量和对应函数值如表：
x
…
﹣1
0
2
4
…
y1
…
0
1
3
5
…

x
…
﹣1
1
3
4
…
y2
…
0
﹣4
0
5
…
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．x＞4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4
　
二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
9．化简：﹣=______．
10．若分式有意义，则x的取值范围是______．
11．分解因式：x3﹣2x2+x=______．
12．一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为______．
13．若代数式x﹣5与2x﹣1的值相等，则x的值是______．
14．在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是______km．
15．已知正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y=（k≠0）图象的一个交点坐标为（﹣1，﹣1），则另一个交点坐标是______．
16．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°，则∠ODC=______．

17．已知x、y满足2x•4y=8，当0≤x≤1时，y的取值范围是______．
18．如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是______．

　
三、解答题（共10小题，满分84分）
19．先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x=．
20．解方程和不等式组：
（1）+=1
（2）．
21．为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式，调查小组设计了“阅读”、“锻炼”、“看电视”和“其它”四个选项，用随机抽样的方法调查了该市部分市民，并根据调查结果绘制成如下统计图．

根据统计图所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了______名市民；[来源:学科网ZXXK]
（2）补全条形统计图；
（3）该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数．
22．一只不透明的袋子中装有1个红球、1个黄球和1个白球，这些球除颜色外都相同
（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，求摸到红球的概率；
（2）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次都摸到红球的概率．
23．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．

24．某超市销售甲、乙两种糖果，购买3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元，购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元．
（1）求甲、乙两种糖果的价格；
（2）若购买甲、乙两种糖果共20千克，且总价不超过240元，问甲种糖果最少购买多少千克？
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把Rt△AOB绕点A顺时针旋转角α（30°＜α＜180°），得到△AO′B′．
（1）当α=60°时，判断点B是否在直线O′B′上，并说明理由；
（2）连接OO′，设OO′与AB交于点D，当α为何值时，四边形ADO′B′是平行四边形？请说明理由．

26．（1）阅读材料：
教材中的问题，如图1，把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等，且5个小正方形的总面积为5，所以拼成的大正方形边长为______，故沿虚线AB剪开可拼成大正方形的一边，请在图1中用虚线补全剪拼示意图．
（2）类比解决：
如图2，已知边长为2的正三角形纸板ABC，沿中位线DE剪掉△ADE，请把纸板剩下的部分DBCE剪开，使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形．
①拼成的正三角形边长为______；
②在图2中用虚线画出一种剪拼示意图．
（3）灵活运用：
如图3，把一边长为60cm的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝，其中∠BCD=90°，延长DC、BC分别与AB、AD交于点E、F，点E、F分别为AB、AD的中点，在线段AC和EF处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨，在图3的正方形中画出一种剪拼示意图，并求出相应轻质钢丝的总长度．（说明：题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余）

27．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x与二次函数y=x2+bx的图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）长度为2的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；
（3）直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF=S△AOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

28．如图，正方形ABCD的边长为1，点P在射线BC上（异于点B、C），直线AP与对角线BD及射线DC分别交于点F、Q
（1）若BP=，求∠BAP的度数；
（2）若点P在线段BC上，过点F作FG⊥CD，垂足为G，当△FGC≌△QCP时，求PC的长；
（3）以PQ为直径作⊙M．
①判断FC和⊙M的位置关系，并说明理由；
②当直线BD与⊙M相切时，直接写出PC的长．

　

2018年江苏省常州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）
1．﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【考点】绝对值．
【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．
【解答】解：|﹣2|=2．
故选B．
【点评】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．
　
2．计算3﹣（﹣1）的结果是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【考点】有理数的减法．
【分析】减去一个数等于加上这个数的相反数，所以3﹣（﹣1）=3+1=4．
【解答】解：3﹣（﹣1）=4，
故答案为：D．
【点评】本题考查了有理数的减法，属于基础题，比较简单；熟练掌握减法法则是做好本题的关键．
　
3．如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（　　）

A．圆柱体 B．三棱锥 C．球体 D．圆锥体
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，
由俯视图为圆可得为圆柱体．
故选A．
【点评】本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力．
　
4．如图，数轴上点P对应的数为p，则数轴上与数﹣对应的点是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
【考点】数轴．
【分析】根据图示得到点P所表示的数，然后求得﹣的值即可．
【解答】解：如图所示，点P表示的数是1.5，则﹣=0.75＞﹣1，则数轴上与数﹣对应的点是C．
故选：C．

【点评】本题考查了数轴，根据图示得到点P所表示的数是解题的关键．
　
5．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（　　）

A． cm B．5cm C．6cm D．10cm
【考点】圆周角定理；勾股定理．
【分析】如图，连接MN，根据圆周角定理可以判定MN是直径，所以根据勾股定理求得直径，然后再来求半径即可．
【解答】解：如图，连接MN，
∵∠O=90°，
∴MN是直径，
又OM=8cm，ON=6cm，
∴MN===10（cm）．
∴该圆玻璃镜的半径是： MN=5cm．
故选：B．

【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
　
6．若x＞y，则下列不等式中不一定成立的是（　　）
A．x+1＞y+1 B．2x＞2y C．＞ D．x2＞y2
【考点】不等式的性质．
【分析】根据不等式的基本性质进行判断，不等式的两边加上同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
【解答】解：（A）在不等式x＞y两边都加上1，不等号的方向不变，故（A）正确；
（B）在不等式x＞y两边都乘上2，不等号的方向不变，故（B）正确；
（C）在不等式x＞y两边都除以2，不等号的方向不变，故（C）正确；
（D）当x=1，y=﹣2时，x＞y，但x2＜y2，故（D）错误．
故选（D）
【点评】本题主要考查了不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向．
　
7．已知△ABC中，BC=6，AC=3，CP⊥AB，垂足为P，则CP的长可能是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．7
【考点】垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短得出结论．
【解答】解：如图，根据垂线段最短可知：PC＜3，
∴CP的长可能是2，
故选A．

【点评】本题考查了垂线段最短的性质，正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短；本题是指点C到直线AB连接的所有线段中，CP是垂线段，所以最短；在实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
　
8．已知一次函数y1=kx+m（k≠0）和二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的自变量和对应函数值如表：
x
…
﹣1
0
2
4
…
y1
…
0
1
3
5
…

x
…
﹣1
1
3
4
…
y2
…
0
﹣4
0
5
…
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．x＞4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】先在表格中找出点，用待定系数法求出直线和抛物线的解析式，用y2＞y1建立不等式，求解不等式即可．
【解答】解：由表可知，（﹣1，0），（0，1）在直线一次函数y1=kx+m的图象上，
∴，
∴
∴一次函数y1=x+1，
由表可知，（﹣1，0），（1，﹣4），（3，0）在二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上，
∴，
∴
∴二次函数y2=x2﹣2x﹣3
当y2＞y1时，∴x2﹣2x﹣3＞x+1，
∴（x﹣4）（x+1）＞0，
∴x＞4或x＜﹣1，
故选D
【点评】此题是二次函数和不等式题目，主要考查了待定系数法，解不等式，解本题的关键是求出直线和抛物线的解析式．
　
二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
9．化简：﹣=　　．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．
【解答】解：原式=2﹣
=．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
　
10．若分式有意义，则x的取值范围是　x≠﹣1　．
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x+1≠0，即x≠﹣﹣1
故答案为：x≠﹣1．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
　
11．分解因式：x3﹣2x2+x=　x（x﹣1）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x3﹣2x2+x=x（x2﹣2x+1）=x（x﹣1）2．
故答案为：x（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
　
12．一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为　6　．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】利用外角和除以外角的度数即可得到边数．
【解答】解：360÷60=6．
故这个多边形边数为6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都360°．
　
13．若代数式x﹣5与2x﹣1的值相等，则x的值是　﹣4　．
【考点】解一元一次方程．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：x﹣5=2x﹣1，
解得：x=﹣4，
故答案为：﹣4
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
14．在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是　2.8　km．
【考点】比例线段．
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
【解答】解：设这条道路的实际长度为x，则：
，
解得x=280000cm=2.8km．
∴这条道路的实际长度为2.8km．
故答案为：2.8
【点评】此题考查比例线段问题，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
　
15．已知正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y=（k≠0）图象的一个交点坐标为（﹣1，﹣1），则另一个交点坐标是　（1，1）　．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴另一个交点的坐标与点（﹣1，﹣1）关于原点对称，
∴该点的坐标为（1，1）．
故答案为：（1，1）．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数．
　
16．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°，则∠ODC=　50°　．

【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠C的度数，利用圆周角定理求出∠BOD的度数，再根据四边形内角和为360度即可求出∠ODC的度数．
【解答】解：∵∠A=70°
∴∠C=180°﹣∠A=110°，
∴∠BOD=2∠A=140°，
∵∠OBC=60°，
∴∠ODC=360°﹣110°﹣140°﹣60°=50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补以及圆周角定理是解答此题的关键．
　
17．已知x、y满足2x•4y=8，当0≤x≤1时，y的取值范围是　1≤y≤　．
【考点】解一元一次不等式组；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】首先把已知得到式子的两边化成以2为底数的幂的形式，然后得到x和y的关系，根据x的范围求得y的范围．
【解答】解：∵2x•4y=8，
∴2x•22y=23，即2x+2y=23，
∴x+2y=3．
∴y=，
∵0≤x≤1，
∴1≤y≤．
故答案是：1≤y≤．
【点评】本题考查了幂的乘方和同底数的幂的乘法法则，理解幂的运算法则得到x和y的关系是关键．
　
18．如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是　1　．

【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】先延长EP交BC于点F，得出PF⊥BC，再判定四边形CDEP为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab，最后根据a2+b2=4，判断ab的最大值即可．
【解答】解：延长EP交BC于点F，
∵∠APB=90°，∠AOE=∠BPC=60°，
∴∠EPC=150°，
∴∠CPF=180°﹣150°=30°，
∴PF平分∠BPC，
又∵PB=PC，
∴PF⊥BC，
设Rt△ABP中，AP=a，BP=b，则
CF=CP=b，a2+b2=22=4，
∵△APE和△ABD都是等边三角形，
∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，
∴∠EAD=∠PAB，
∴△EAD≌△PAB（SAS），
∴ED=PB=CP，
同理可得：△APB≌△DCB（SAS），
∴EP=AP=CP，
∴四边形CDEP是平行四边形，
∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab，
又∵（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2≥0，
∴2ab≤a2+b2=4，
∴ab≤1，
即四边形PCDE面积的最大值为1．
故答案为：1

【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．
　
三、解答题（共10小题，满分84分）
19．先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x=．
【考点】多项式乘多项式．
【分析】根据多项式乘以多项式先化简，再代入求值，即可解答．
【解答】解：（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，
=x2﹣2x﹣x+2﹣x2﹣2x﹣1
=﹣5x+1
当x=时，
原式=﹣5×+1
=﹣．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是熟记多项式乘以多项式．
　
20．解方程和不等式组：
（1）+=1
（2）．
【考点】解分式方程；解一元一次不等式组．
【分析】（1）先把分式方程化为整式方程求出x的值，再代入最简公分母进行检验即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：（1）原方程可化为x﹣5=5﹣2x，解得x=，
把x=代入2x﹣5得，2x﹣5=﹣5=≠0，
故x=是原分式方程的解；

（2），由①得，x≤2，由②得，x＞﹣1，
故不等式组的解为：﹣1＜x≤2．
【点评】本题考查的是解分式方程，在解答此类题目时要注意验根．
　
21．为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式，调查小组设计了“阅读”、“锻炼”、“看电视”和“其它”四个选项，用随机抽样的方法调查了该市部分市民，并根据调查结果绘制成如下统计图．

根据统计图所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了　2000　名市民；
（2）补全条形统计图；
（3）该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数．
【考点】条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据“总人数=看电视人数÷看电视人数所占比例”即可算出本次共调查了多少名市民；
（2）根据“其它人数=总人数×其它人数所占比例”即可算出晚饭后选择其它的市民数，再用“锻炼人数=总人数﹣看电视人数﹣阅读人数﹣其它人数”即可算出晚饭后选择锻炼的人数，依此补充完整条形统计图即可；
（3）根据“本市选择锻炼人数=本市总人数×锻炼人数所占比例”即可得出结论．
【解答】解：（1）本次共调查的人数为：800÷40%=2000，
故答案为：2000．
（2）晚饭后选择其它的人数为：2000×28%=560，
晚饭后选择锻炼的人数为：2000﹣800﹣240﹣560=400．
将条形统计图补充完整，如图所示．
（3）晚饭后选择锻炼的人数所占的比例为：400÷2000=20%，
该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为：480×20%=96（万）．
答：该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为96万．

【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，解题的关键是：（1）根据数量关系算出样本容量；（2）求出选择其它和锻炼的人数；（3）根据比例关系估算出本市晚饭后1小时内锻炼的人数．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握各统计图的有关知识是关键．
　
22．一只不透明的袋子中装有1个红球、1个黄球和1个白球，这些球除颜色外都相同
（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，求摸到红球的概率；
（2）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次都摸到红球的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】计算题．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）先利用画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）摸到红球的概率=；
（2）画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为1，
所以两次都摸到红球的概率=．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
　
23．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．

【考点】等腰三角形的性质．
【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，然后利用高线的定义得到∠ECB=∠DBC，从而得证；
（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
∴∠DBC=∠ECB，
∴OB=OC；
（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，
∴∠A=180°﹣2×50°=80°，
∴∠BOC=180°﹣80°=100°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；关键是掌握等腰三角形等角对等边．
　
24．某超市销售甲、乙两种糖果，购买3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元，购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元．
（1）求甲、乙两种糖果的价格；
（2）若购买甲、乙两种糖果共20千克，且总价不超过240元，问甲种糖果最少购买多少千克？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设超市甲种糖果每千克需x元，乙种糖果每千克需y元．根据“3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元，购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元”列出方程组并解答；
（2）设购买甲种糖果a千克，则购买乙种糖果（20﹣a）千克，结合“总价不超过240元”列出不等式，并解答．
【解答】解：（1）设超市甲种糖果每千克需x元，乙种糖果每千克需y元，
依题意得：，
解得．
答：超市甲种糖果每千克需10元，乙种糖果每千克需14元；

（2）设购买甲种糖果a千克，则购买乙种糖果（20﹣a）千克，
依题意得：10a+14（20﹣a）≤240，
解得a≥10，
即a最小值=10．
答：该顾客混合的糖果中甲种糖果最少10千克．
【点评】本题考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系．
　
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把Rt△AOB绕点A顺时针旋转角α（30°＜α＜180°），得到△AO′B′．[来源:学科网]
（1）当α=60°时，判断点B是否在直线O′B′上，并说明理由；
（2）连接OO′，设OO′与AB交于点D，当α为何值时，四边形ADO′B′是平行四边形？请说明理由．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；平行四边形的判定；坐标与图形变化-旋转．
【分析】（1）首先证明∠BAO=30°，再求出直线O′B′的解析式即可解决问题．
（2）如图2中，当α=120°时，四边形ADO′B′是平行四边形．只要证明∠DAO′=∠AO′B′=90°，∠O′AO=∠O′AB′=30°，即可解决问题．
【解答】解；（1）如图1中，

∵一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（，0），B（0，1），
∴tan∠BAO=，
∴∠BAO=30°，AB=2OB=2，
∵旋转角为60°，
∴B′（，2），O′（，），
设直线O′B′解析式为y=kx+b，
∴，，解得，
∴直线O′B′的解析式为y=x+1，
∵x=0时，y=1，
∴点B（0，1）在直线O′B′上．

（2）如图2中，当α=120°时，四边形ADO′B′是平行四边形．

理由：∵AO=AO′，∠OAO′=120°，∠BAO=30°，
∴∠DAO′=∠AO′B′=90°，∠O′AO=∠O′AB′=30°，
∴AD∥O′B′，DO′∥AB′，
∴四边形ADO′B′是平行四边形．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、平行四边形的性质和判定、旋转变换等知识，解题的关键是利用性质不变性解决问题，属于中考常考题型．
　
26．（1）阅读材料：
教材中的问题，如图1，把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等，且5个小正方形的总面积为5，所以拼成的大正方形边长为　　，故沿虚线AB剪开可拼成大正方形的一边，请在图1中用虚线补全剪拼示意图．
（2）类比解决：
如图2，已知边长为2的正三角形纸板ABC，沿中位线DE剪掉△ADE，请把纸板剩下的部分DBCE剪开，使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形．
①拼成的正三角形边长为　　；
②在图2中用虚线画出一种剪拼示意图．
（3）灵活运用：
如图3，把一边长为60cm的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝，其中∠BCD=90°，延长DC、BC分别与AB、AD交于点E、F，点E、F分别为AB、AD的中点，在线段AC和EF处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨，在图3的正方形中画出一种剪拼示意图，并求出相应轻质钢丝的总长度．（说明：题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余）

【考点】四边形综合题．
【分析】（1）依题意补全图形如图1，利用剪拼前后的图形面积相等，得出大正方形的面积即可；
（2）①先求出梯形EDBC的面积，利用剪拼前后的图形面积相等，结合等边三角形的面积公式即可；
②依题意补全图形如图3所示；
（3）依题意补全图形如图4，根据剪拼的特点，得出AC是正方形的对角线，点E，F是正方形两邻边的中点，构成等腰直角三角形，即可．
【解答】解：（1）补全图形如图1所示，

由剪拼可知，5个小正方形的面积之和等于拼成的一个大正方形的面积，
∵5个小正方形的总面积为5
∴大正方形的面积为5，
∴大正方形的边长为，
故答案为：；
（2）①如图2，

∵边长为2的正三角形纸板ABC，沿中位线DE剪掉△ADE，
∴DE=BC=1，BD=CE=1
过点D作DM⊥BC，
∵∠DBM=60°
∴DM=，
∴S梯形EDBC=（DE+BC）×DM=（1+2）×=，
由剪拼可知，梯形EDBC的面积等于新拼成的等边三角形的面积，
设新等边三角形的边长为a，
∴a2=，
∴a=或a=﹣（舍），
∴新等边三角形的边长为，
故答案为：；
②剪拼示意图如图3所示，

（3）剪拼示意图如图4所示，

∵正方形的边长为60cm，
由剪拼可知，AC是正方形的对角线，
∴AC=60cm，
由剪拼可知，点E，F分别是正方形的两邻边的中点，
∴CE=CF=30cm，
∵∠ECF=90°，
根据勾股定理得，EF=30cm；
∴轻质钢丝的总长度为AC+EF=60+30=90cm．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，剪拼的特点，解本题的关键是根据题意补全图形，难点是剪拼新正三角形和筝形．
　
27．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x与二次函数y=x2+bx的图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）长度为2的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；
（3）直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF=S△AOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把点A（3，3）代入y=x2+bx中，即可解决问题．
（2）设点P在点Q的左下方，过点P作PE⊥QQ1于点E，如图1所示．设点P（m，m）（0＜m＜1），则Q（m+2，m+2），P1（m，m2﹣2m），Q1（m+2，m2+2m），构建二次函数，利用二次函数性质即可解决问题．
（3）存在，首先证明EF是线段AM的中垂线，利用方程组求交点E坐标即可．
【解答】解：（1）把点A（3，3）代入y=x2+bx中，
得：3=9+3b，解得：b=﹣2，
∴二次函数的表达式为y=x2﹣2x．

（2）设点P在点Q的左下方，过点P作PE⊥QQ1于点E，如图1所示．

∵PE⊥QQ1，QQ1⊥x轴，
∴PE∥x轴，
∵直线OA的解析式为y=kx，
∴∠QPE=45°，
∴PE=PQ=2．
设点P（m，m）（0＜m＜1），则Q（m+2，m+2），P1（m，m2﹣2m），Q1（m+2，m2+2m），
∴PP1=3m﹣m2，QQ1=2﹣m2﹣m，
∴=（PP1+QQ1）•PE=﹣2m2+2m+2=﹣2+，
∴当m=时，取最大值，最大值为．

（3）存在．
如图2中，点E的对称点为F，EF与AM交于点G，连接OM、MF、AF、OF．

∵S△AOF=S△AOM，
∴MF∥OA，
∵EG=GF， =，
∴AG=GM，
∵M（1，﹣1），A（3，3），
∴点G（2，1），
∵直线AM解析式为y=2x﹣3，
∴线段AM的中垂线EF的解析式为y=﹣x+2，
由解得，
∴点E坐标为（，）．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平行线的性质、一次函数、面积问题等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数性质解决最值问题，学会利用方程组求两个函数的交点，属于中考压轴题．
　
28．如图，正方形ABCD的边长为1，点P在射线BC上（异于点B、C），直线AP与对角线BD及射线DC分别交于点F、Q
（1）若BP=，求∠BAP的度数；
（2）若点P在线段BC上，过点F作FG⊥CD，垂足为G，当△FGC≌△QCP时，求PC的长；
（3）以PQ为直径作⊙M．
①判断FC和⊙M的位置关系，并说明理由；
②当直线BD与⊙M相切时，直接写出PC的长．

【考点】圆的综合题．
【分析】（1）在直角△ABP中，利用特殊角的三角函数值求∠BAP的度数；
（2）设PC=x，根据全等和正方形性质得：QC=1﹣x，BP=1﹣x，由AB∥DQ得，代入列方程求出x的值，因为点P在线段BC上，所以x＜1，写出符合条件的PC的长；
（3）①如图2，当点P在线段BC上时，FC与⊙M相切，只要证明FC⊥CM即可，先根据直角三角形斜边上的中线得CM=PM，则∠MCP=∠MPC，从而可以得出∠MCP+∠BAP=90°，再证明△ADF≌△CDF，
得∠FAD=∠FCD，则∠BAP=∠BCF，所以得出∠MCP+∠BCF=90°，FC⊥CM；
如图3，当点P在线段BC的延长线上时，FC与⊙M相切，同理可得∠MCD+∠FCD=90°，则FC⊥CM，FC与⊙M相切；
②当点P在线段AB上时，如图4，设⊙M切BD于E，连接EM、MC，设∠Q=x，根据平角BFD列方程求出x的值，作AP的中垂线HN，得∠BHP=30°，在Rt△BHP中求出BP的长，则得出PC=﹣1；当点P在点C的右侧时（即在线段BC的延长线上），如图5，同理可得：PC=+1．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP=90°，
∴tan∠BAP===，
∵tan30°=，
∴∠BAP=30°；
（2）如图1，设PC=x，则BP=1﹣x，
∵△FGC≌△QCP，
∴GC=PC=x，DG=1﹣x，
∵∠BDC=45°，∠FGD=90°，
∴△FGD是等腰直角三角形，
∴FG=DG=CQ=1﹣x，
∵AB∥DQ，
∴，
∴，
∴x=（1﹣x）2，
解得：x1=＞1（舍去），x2=，
∴PC=；
（3）①如图2，当点P在线段BC上时，FC与⊙M相切，理由是：
取PQ的中点M，以M为圆心，以PQ为直径画圆，连接CM，
∵∠PCQ=90°，PQ为直径，
∴点C是圆M上，
∵△PCQ为直角三角形，
∴MC=PM，
∴∠MCP=∠MPC，
∵∠APB=∠MPC，
∴∠MCP=∠APB，
∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠MCP+∠BAP=90°，
∵AD=DC，∠ADB=∠CDB，FD=FD，[来源:学科网]
∴△ADF≌△CDF，
∴∠FAD=∠FCD，
∵∠BAP+∠FAD=∠BCF+∠FCD，
∴∠BAP=∠BCF，
∴∠MCP+∠BCF=90°，
∴FC⊥CM，
∴FC与⊙M相切；
如图3，当点P在线段BC的延长线上时，FC与⊙M也相切，理由是：
取PQ的中点M，以M为圆心，以PQ为直径画圆，连接CM，
同理得∠AQD=∠MCQ，点C是圆M上，
∵AD=DC，∠BDA=∠CDB=45°，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF，
∴∠FAD=∠FCD，
∵∠AQD+∠FAD=90°，
∴∠MCD+∠FCD=90°，[来源:学。科。网]
∴FC⊥MC，
∴FC与⊙M相切；
②当点P在线段AB上时，如图4，
设⊙M切BD于E，连接EM、MC，
∴∠MEF=∠MCF=90°，
∵ME=MC，MF=MF，
∴△MEF≌△MCF，
∴∠QFC=∠QFE，
∵∠BAP=∠Q=∠BCF，
设∠Q=x，则∠BAP=∠BCF=x，∠QFE=∠QFC=45°+x，∠DFC=45°+x，
∵∠QFE+∠QFC+∠DFC=180°，
∴3（45+x）=180，
x=15，
∴∠Q=15°，
∴∠BAP=15°，
作AP的中垂线HN，交AB于H，交AP于N，
∴AH=AP，
∴∠BHP=30°，
设BP=x，则HP=2x，HB=x，
∴2x+x=1，
x=2﹣，
∴PC=BC﹣BP=1﹣（2﹣）=﹣1；
当点P在点C的右侧时（即在线段BC的延长线上），如图5，
同理可得：PC=+1；[来源:学科网]
综上所述：PC=﹣1或+1．





【点评】本题是圆的综合题，综合考查了正方形、圆及切线、全等三角形的性质及判定；同时利用特殊的三角函数值求角的度数，本题还是动点问题，难度较大，尤其是第（3）问，因为不确定点P是在线段BC上还是在延长线上，有此情况存在，所以都要分情况进行讨论，从而分别证出结论或求出PC的长．