真题重组卷01（文科）——2023年高考数学真题汇编重组卷（课标全国卷）

冲刺2023年高考数学真题重组卷01（文科）

课标全国卷地区专用（参考答案）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.【答案】B

【分析】采用列举法列举出中元素的即可.

【详解】由题意，，故中元素的个数为3.

故选：B

【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.

2．【答案】D

【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．

【详解】因为，所以，所以．

故选：D.

3．【答案】C

【分析】根据原位大三和弦满足，原位小三和弦满足

从开始，利用列举法即可解出．

【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：．

∴；；；；．

原位小三和弦满足：．

∴；；；；．

故个数之和为10．

故选：C．

【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．

4．【答案】C

【分析】将代入函数结合求得即可得解.

【详解】，所以，则，

所以，，解得.

故选：C.

【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.

5．【答案】C

【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.

【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，

解得，又，故当时，的最小值为.

故选：C.

6．【答案】B

【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.

【详解】由题意得，，则，

即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，

不妨设点在轴上方，代入得，，

所以.

故选：B

7．【答案】D

【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.

【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，

所以其侧视图为

故选：D

8．【答案】B

【分析】根据框图循环计算即可.

【详解】执行第一次循环，，

，

；

执行第二次循环，，

，

；

执行第三次循环，，

，

，此时输出.

故选：B

9．【答案】D

【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.

【详解】由题意，

.

故选：D.

10．【答案】D

【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.

【详解】设等比数列的公比为，则，

，

因此，.

故选：D.

【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．

11．【答案】C

【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.

【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，

则，

所以，

又，

则，

所以，

所以甲圆锥的高，

乙圆锥的高，

所以.

故选：C.

12．【答案】A

【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．

【详解】［方法一］：（指对数函数性质）

由可得，而，所以，即，所以.

又，所以，即，

所以.综上，.

［方法二］：【最优解】（构造函数）

由，可得．

根据的形式构造函数 ，则，

令，解得 ，由 知 .

在 上单调递增，所以 ，即 ，

又因为 ，所以 .

故选：A.

【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】##

【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】由题意知：，解得.

故答案为：.

14．【答案】##0.3

【分析】根据古典概型计算即可

【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，

有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；

其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.

故答案为：.

解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为

甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率

故答案为：

15．【答案】

【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线，在平面区域内找到一点使得直线在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.

【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：

平移直线，当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最大，

此时点的坐标是方程组的解，解得：，

因此的最大值为：.

故答案为：.

【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.

16．【答案】     ；     ．

【分析】根据奇函数的定义即可求出．

【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性

若，则的定义域为，不关于原点对称

若奇函数的有意义，则且

且，

函数为奇函数，定义域关于原点对称，

，解得，

由得，，

，

故答案为：；．

[方法二]：函数的奇偶性求参

函数为奇函数

[方法三]：

因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．

由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．

故答案为：；．

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为、、、的概率分别为、、、；（2）；（3）有，理由见解析.

【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为、、、的概率；

（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以可得结果；

（3）根据表格中的数据完善列联表，计算出的观测值，再结合临界值表可得结论.

【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为；

（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为

（3）列联表如下：

，

因此，有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.

【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.

18．【答案】(1)证明见解析；

(2)．

【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；

（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．

【详解】（1）因为，即①，

当时，②，

①②得，，

即，

即，所以，且，

所以是以为公差的等差数列．

（2）[方法一]：二次函数的性质

由（1）可得，，，

又，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以，所以，

所以，当或时，．

[方法二]：【最优解】邻项变号法

由（1）可得，，，

又，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以，即有.

则当或时，．

【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；

法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．

19．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面；

（2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，再根据四棱锥的体积公式即可求出．

【详解】（1）因为底面，平面，

所以，

又，，

所以平面，

而平面，

所以平面平面．

（2）[方法一]：相似三角形法

 由（1）可知．

于是，故．

因为，所以，即．

故四棱锥的体积．

[方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法

   由（2）知,所以．

建立如图所示的平面直角坐标系，设．

因为，所以，，，．

从而．

所以，即．下同方法一.

 [方法三]【最优解】：空间直角坐标系法

  建立如图所示的空间直角坐标系，

设，所以，，，，．

所以，，．

所以．

所以，即．下同方法一.

 [方法四]：空间向量法

   由，得．

所以．

即．

又底面，在平面内，

因此，所以．

所以，

由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义，

得，即．

所以，即．下同方法一.

【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；

方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；

方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解；

方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.

20．【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.

【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.

（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.

【详解】（1）函数的定义域为，

又，

因为，故，

当时，；当时，；

所以的减区间为，增区间为.

（2）因为且的图与轴没有公共点，

所以的图象在轴的上方，

由（1）中函数的单调性可得，

故即.

【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.

21．【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；

（2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.

【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，

此时，所以，

所以抛物线C的方程为；

（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式

设，直线，

由可得，，

由斜率公式可得，，

直线，代入抛物线方程可得，

，所以，同理可得，

所以

又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，

若要使最大，则，设，则，

当且仅当即时，等号成立，

所以当最大时，，设直线，

代入抛物线方程可得，

，所以，

所以直线.

[方法二]：直线方程点斜式

由题可知，直线MN的斜率存在.

设,直线

由 得：，,同理，.

直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.

代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，

由斜率公式可得：

（下同方法一）若要使最大，则，

设，则，

当且仅当即时，等号成立，

所以当最大时，，设直线，

代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.

[方法三]：三点共线

设，

设,若 P、M、N三点共线，由

所以，化简得，

反之，若,可得MN过定点

因此，由M、N、F三点共线，得，

      由M、D、A三点共线，得，

      由N、D、B三点共线，得，

则，AB过定点（4,0）

（下同方法一）若要使最大，则，

设，则，

当且仅当即时，等号成立，

所以当最大时，，所以直线.

【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；

法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；

法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．【答案】（1），（为参数）；

（2）和．

【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；

（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.

【详解】（1）由题意，的普通方程为，

所以的参数方程为，（为参数）

（2）[方法一]：直角坐标系方法

①当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，故舍去．

②当切线斜率存在时，设其方程为，即．

故，即，解得．

所以切线方程为或．

两条切线的极坐标方程分别为和．

即和．

[方法二]【最优解】：定义求斜率法

如图所示，过点F作的两条切线，切点分别为A，B．

在中，，又轴，所以两条切线的斜率分别和．

故切线的方程为，，这两条切线的极坐标方程为和．

即和．

【整体点评】（2）

方法一：直角坐标系中直线与圆相切的条件求得切线方程，再转化为极坐标方程，

方法二：直接根据倾斜角求得切线的斜率，得到切线的直角坐标方程，然后转化为极坐标方程,在本题中巧妙的利用已知圆和点的特殊性求解，计算尤其简洁，为最优解.

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；

（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．

【详解】（1）证明：因为，，，则，，，

所以，

即，所以，当且仅当，即时取等号．

（2）证明：因为，，，

所以，，，

所以，，

当且仅当时取等号．