2023年高考数学考前20天终极冲刺之不等式

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2023年高考数学考前20天终极冲刺之不等式
一．选择题（共8小题）
1．（2023•陕西模拟）已知x，y∈（0，+∞），，则xy的最大值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2022秋•城厢区校级期末）已知函数f（x）＝ax﹣3+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程mx+ny＝4（m＞0，n＞0），则的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．12 D．24
3．（2022秋•连云港期末）若2a+lna＝4b+lnb，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2
4．（2023春•杨浦区校级月考）已知正实数a，b满足，则的最小值为（　　）
A． B．3 C． D．
5．（2022秋•十堰期末）已知第一象限内的点P（a，b）在一次函数y＝﹣8x+5的图象上，则的最小值为（　　）
A．25 B．5 C．4 D．
6．（2022秋•临渭区期末）已知正数x，y满足x+2y＝2，则xy的最大值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
7．（2023春•唐县校级月考）若∃x∈[0，4]，使得不等式x2﹣2x+a＞0成立，则实数a的取值范围（　　）
A．a＞﹣1 B．a＞1 C．a＞8 D．a＞﹣8
8．（2022秋•罗湖区期末）已知不等式ax2+bx+1＞0的解集为，则不等式x2﹣bx+a≥0的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣3]∪[﹣2，+∞） B．[﹣3，﹣2]
C．[﹣2，3] D．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2022秋•遂宁期末）设函数f（x）＝x2+bx+c满足f（0）＝1，f（﹣3﹣x）＝f（x），则下列结论正确的是（　　）
A．1﹣b+c＜0
B．∀x∈R，f（x）≥﹣x﹣3
C．若a≥1，则∀x∈R，f（x）≥ax
D．若∀x＞0，kf（x）≥x，则
（多选）10．（2023春•呼和浩特月考）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则下列说法中正确的有（　　）
A．a＜0 B．bc＜0 C．b+c＝a D．a﹣b+c＞0
（多选）11．（2022秋•芝罘区校级期末）已知函数f（x）＝x2﹣2x+2，关于f（x）的最值有如下结论，其中正确的是（　　）
A．f（x）在区间[﹣1，0]上的最小值为1
B．f（x）在区间[﹣1，2]上既有最小值，又有最大值
C．f（x）在区间[2，3]上的最小值为2，最大值为5
D．f（x）在区间[0，a]（a＞1）上的最大值为f（a）
（多选）12．（2023•西山区校级模拟）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣3，4），则（　　）
A．a＜0
B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＞﹣12}
C．函数y＝ax2+bx+c的零点为（﹣3，0）和（4，0）
D．不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为
三．填空题（共5小题）
13．（2022秋•汉中期末）若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣4y的最大值为 　 　．
14．（2022秋•大英县校级期末）若x、y满足约束条件则z＝x2+y2的最小值为 　 　．
15．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知正实数x，y满足e2﹣3x+3﹣3x＝ey﹣1+y，则的最小值为 　 　．
16．（2023春•浦东新区校级月考）若正数x，y满足，则的最大值为 　 　．​
17．（2023•南开区一模）已知实数a＞0，b＞0，a+b＝1，则2a+2b的最小值为 　 　．
四．解答题（共5小题）
18．（2022秋•罗湖区期末）已知函数．
（1）利用单调性定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）解不等式．
19．（2023春•蔡甸区校级月考）（1）已知，求的最大值；
（2）已知，求的最大值；
（3）已知x＞0，求的最大值．
20．（2022秋•玉溪期末）已知x＞0，y＞0．
（Ⅰ）若x，y满足 lg（2x）+lg（3y）＝lg（x+y），求x+y的最小值；
（Ⅱ）若x，y满足x+2y+xy＝6，求x+2y的最小值．
21．（2023•新城区校级一模）已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+2|．
（1）求不等式f（x）≤7的解集；
（2）若f（x）的最小值为a+2b（a＞0，b＞0），求+的最小值．
22．（2022秋•枣庄期末）已知函数f（x）＝x2﹣（m+2）x+2m，m∈R．
（1）若f（x）在（﹣∞，3）上单调递减，求实数m的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0．

2023年高考数学考前20天终极冲刺之不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2023•陕西模拟）已知x，y∈（0，+∞），，则xy的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】依题意可得x+2y＝6，再利用基本不等式计算可得．
【解答】解：因为，即2x﹣6＝2﹣2y，
所以x+2y＝6，又x，y∈（0，+∞），
则，当且仅当x＝3，时，等号成立．
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应，属于基础题．
2．（2022秋•城厢区校级期末）已知函数f（x）＝ax﹣3+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程mx+ny＝4（m＞0，n＞0），则的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．12 D．24
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】根据函数f（x）＝ax﹣3+1的图象恒过定点A得到A（3，2），然后代入方程得到3m+2n＝4，最后利用基本不等式求最值即可．
【解答】解：函数f（x）＝ax﹣3+1的图象横过定点A，
所以A（3，2），将点A代入方程可得3m+2n＝4，
所以，
当且仅当，即，n＝1时等号成立．
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
3．（2022秋•连云港期末）若2a+lna＝4b+lnb，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2
【考点】不等关系与不等式；对数的运算性质；对数值大小的比较；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】函数思想；构造法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【分析】构造函数f（x）＝2x+lnx（x＞0），利用放缩法和函数f（x）的单调性即可得到a＜2b．
【解答】解：令f（x）＝2x+lnx（x＞0），则f（x）为（0，+∞）上增函数，
又2a+lna＝4b+lnb＜22b+ln2+lnb＝22b+ln2b，
则f（a）＜f（2b），则a＜2b．
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式与不等关系，考查函数思想与逻辑推理能力，属于基础题．
4．（2023春•杨浦区校级月考）已知正实数a，b满足，则的最小值为（　　）
A． B．3 C． D．
【考点】基本不等式及其应用；函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；不等式；逻辑推理；数学运算．
【分析】由题设条件有＝|﹣|，令x＝，y＝，则＝|4x+3y﹣xy|，x2+y2＝25，应用基本不等式求xy范围，且t＝4x+3y﹣xy≥4﹣xy恒成立，进而求出t的范围，即可得结果．
【解答】解：由＝＝25，则a2+b2＝25a2b2，且a，b＞0，
∴＝＝|﹣|，
令x＝，y＝，则＝|4x+3y﹣xy|，且x2+y2＝25，
∴x2+y2＝25≥2xy，即xy≤，仅当x＝y＝时等号成立，
对于t＝4x+3y﹣xy恒成立，当且仅当4x＝3y，即x＝3，y＝4时，等号成立，
综上，若k＝∈（0，]，则y＝4﹣k2＝﹣（k﹣2）2+12，
而2﹣0＞﹣2，即t＝12，即a＝，b＝时，等号成立，
综上，＝|t|＝，仅当t＝12，即a＝，b＝时，等号成立，
∴目标式最小值为．
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（2022秋•十堰期末）已知第一象限内的点P（a，b）在一次函数y＝﹣8x+5的图象上，则的最小值为（　　）
A．25 B．5 C．4 D．
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由题意知，用基本不等式中“1”的代换求的最小值．
【解答】解：由题意知b＝﹣8a+5，且a＞0，b＞0，故，
从而，当且仅当b＝2a＝1时，等号成立．
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
6．（2022秋•临渭区期末）已知正数x，y满足x+2y＝2，则xy的最大值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】利用基本不等式计算可得．
【解答】解：因为正数x，y满足x+2y＝2，
所以，
当且仅当x＝2y且x+2y＝2，即时取等号，
所以xy的最大值为．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
7．（2023春•唐县校级月考）若∃x∈[0，4]，使得不等式x2﹣2x+a＞0成立，则实数a的取值范围（　　）
A．a＞﹣1 B．a＞1 C．a＞8 D．a＞﹣8
【考点】一元二次不等式及其应用；存在量词和特称命题．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由题意问题转化为a＞（﹣x2+2x）min，然后根据二次函数的性质求出最小值即可求解．
【解答】解：因为∃x∈[0，4]，使得不等式x2﹣2x+a＞0成立，
即∃x∈[0，4]，a＞﹣x2+2x成立，
只需a＞（﹣x2+2x）min，
因为﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，x∈[0，4]，
所以当x＝4时，（﹣x2+2x）min＝﹣8，则a＞﹣8．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式成立问题，涉及到二次函数的最值求解，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
8．（2022秋•罗湖区期末）已知不等式ax2+bx+1＞0的解集为，则不等式x2﹣bx+a≥0的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣3]∪[﹣2，+∞） B．[﹣3，﹣2]
C．[﹣2，3] D．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）
【考点】一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由已知条件以及韦达定理，列方程求出a，b的值，进而利用一元二次不等式的解法求解．
【解答】解：由题意：a＜0，且，
解得a＝﹣6，b＝1，
不等式x2﹣bx+a≥0即x2﹣x﹣6≥0，
等价于（x﹣3）（x+2）≥0，
解得x≥3或x≤﹣2．
故答案为：D．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查二次函数的性质，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2022秋•遂宁期末）设函数f（x）＝x2+bx+c满足f（0）＝1，f（﹣3﹣x）＝f（x），则下列结论正确的是（　　）
A．1﹣b+c＜0
B．∀x∈R，f（x）≥﹣x﹣3
C．若a≥1，则∀x∈R，f（x）≥ax
D．若∀x＞0，kf（x）≥x，则
【考点】二次函数的性质与图象．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】对于A，根据f（0）＝1，f（﹣3﹣x）＝f（x）求出b、c，即可求解．
对于B，根据（x+2）2≥0化简得解；
对于C，根据判别式小于等于0计算即可；
对于D，∀x＞0，kf（x）≥x等价于，借助基本不等式计算得解．
【解答】解：f（0）＝c＝1，
∵，
∴b＝3，
∴f（x）＝x2+3x+1，
对于A，1﹣b+c＜0，故A正确；
对于B，（x+2）2＝x2+4x+4＝x2+3x+1+x+3≥0，
故对于∀x∈R，f（x）≥﹣x﹣3，故B正确；
对于C，∀x∈R，f（x）≥ax等价于x2+（3﹣a）x+1≥0恒成立，
故（3﹣a）2﹣4≤0，解得1≤a≤5，故C错误；
对于D，∀x＞0，kf（x）≥x等价于k（x2+3x+1）≥x，
∴，
∵，
∴，当且仅当即x＝1时，等号成立．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
（多选）10．（2023春•呼和浩特月考）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则下列说法中正确的有（　　）
A．a＜0 B．bc＜0 C．b+c＝a D．a﹣b+c＞0
【考点】一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】推导出a＜0，且2，3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，由韦达定理得b＝﹣5a＞0，c＝6a＜0，由此能求出结果．
【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，
∴a＜0，且2，3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，故A正确；
由韦达定理得：，∴b＝﹣5a＞0，c＝6a＜0，
∴bc＜0，故B正确；
b+c＝﹣5a+6a＝a，故C正确，
a﹣b+c＝a+5a+6a＝12a＜0，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法及性质、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）11．（2022秋•芝罘区校级期末）已知函数f（x）＝x2﹣2x+2，关于f（x）的最值有如下结论，其中正确的是（　　）
A．f（x）在区间[﹣1，0]上的最小值为1
B．f（x）在区间[﹣1，2]上既有最小值，又有最大值
C．f（x）在区间[2，3]上的最小值为2，最大值为5
D．f（x）在区间[0，a]（a＞1）上的最大值为f（a）
【考点】二次函数的性质与图象；函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1．
在选项A中，因为f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，
所以f（x）在区间[﹣1，0]上的最小值为f（0）＝2，A错误．
在选项B中，因为f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
所以f（x）在区间[﹣1，2]上的最小值为f（1）＝1．
又因为f（﹣1）＝5，f（2）＝2，f（﹣1）＞f（2），
所以f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值为f（﹣1）＝5，B正确．
在选项C中，因为f（x）在区间[2，3]上单调递增，
所以f（x）在区间[2，3]上的最小值为f（2）＝2，最大值为f（3）＝5，C正确．
在选项D中，当1＜a≤2时，f（x）在区间[0，a]上的最大值为2，
当a＞2时，由图象知f（x）在区间[0，a]上的最大值为f（a），D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，属于中档题．
（多选）12．（2023•西山区校级模拟）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣3，4），则（　　）
A．a＜0
B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＞﹣12}
C．函数y＝ax2+bx+c的零点为（﹣3，0）和（4，0）
D．不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为
【考点】一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】根据不等式ax2+bx+c＞0的解集判断出a＜0，结合根与系数关系、一次不等式、一元二次不等式的解法判断BCD选项的正确性．
【解答】解：关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣3，4），
所以a＜0，且﹣3和4是关于x的方程ax2+bx+c＝0的两根，
由韦达定理得，
则b＝﹣a，c＝﹣12a，所以A正确；
不等式bx+c＞0即为﹣ax﹣12a＞0，解得x＞﹣12，所以B正确；
因为﹣3和4是关于x的方程ax2+bx+c＝0的两根，
函数y＝ax2+bx+c的零点为﹣3和4，故C错误；
不等式cx2﹣bx+a＞0即为﹣12ax2+ax+a＞0，即12x2﹣x﹣1＞0，解得或，
所以不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为，所以D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题
三．填空题（共5小题）
13．（2022秋•汉中期末）若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣4y的最大值为 　5　．
【考点】简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】根据约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．
【解答】解：根据约束条件画出可行域（如图），

把z＝2x﹣4y变形为，得到斜率为，在y轴上的截距为，随z变化的一组平行直线．
由图可知，当直线过点A时，截距最小，即z最大，
解方程组，得点A坐标为，
所以．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查简单的线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
14．（2022秋•大英县校级期末）若x、y满足约束条件则z＝x2+y2的最小值为 　0.8　．
【考点】简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】作出可行域，利用z＝x2+y2的几何意义求出最小值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

z的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，
由图象知：OA的距离最小，为原点到直线2x+y﹣2＝0的距离，
由，则x2+y2的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
15．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知正实数x，y满足e2﹣3x+3﹣3x＝ey﹣1+y，则的最小值为 　　．
【考点】基本不等式及其应用；函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】构造函数f（x）＝ex+x，利用单调性可得2﹣3x＝y﹣1，再利用基本不等式即可求解．
【解答】解：由e2﹣3x+3﹣3x＝ey﹣1+y，得e2﹣3x+2﹣3x＝ey﹣1+y﹣1，
令f（x）＝ex+x，则f（x）在R上单调递增，
所以2﹣3x＝y﹣1，即3x+y＝3，
又因为x，y是正实数，
所以＝+＝++≥2+＝，
当且仅当＝，即x＝y＝时等号成立，
即的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（2023春•浦东新区校级月考）若正数x，y满足，则的最大值为 　2　．​
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由已知先用y表示x，代入到所求式子后，结合二次函数的性质可求．
【解答】解：因为正数x，y满足，则
所以x＝4﹣＝＞0，
所以y＞，
所以0＜＜2，
＝＝﹣2（）＝﹣2[（）2﹣1]，
根据二次函数的性质可知，当y＝1时，上式取得最大值2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质在函数最值求解中的应用，属于基础题．
17．（2023•南开区一模）已知实数a＞0，b＞0，a+b＝1，则2a+2b的最小值为 　2　．
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，a+b＝1，
所以2a+2b≥2＝2＝2，当且仅当a＝b＝时取等号．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
18．（2022秋•罗湖区期末）已知函数．
（1）利用单调性定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）解不等式．
【考点】其他不等式的解法；函数单调性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）根据题意，由作差法分析可得证明；
（2）根据题意，设m＝2x，结合函数的定义域和单调性可得，求出m的取值范围，进而可得答案．
【解答】解：（1）证明：函数，
任取0＜x1＜x2，
则有，
因为0＜x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞0，
故，则有f（x1）＜f（x2），
故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）根据题意，设m＝2x，则，
由（1）的结论，f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以，解得：，
即，解可得：﹣1＜x＜1，
故不等式的解集是（﹣1，1）．
【点评】本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及函数单调性的证明，属于基础题．
19．（2023春•蔡甸区校级月考）（1）已知，求的最大值；
（2）已知，求的最大值；
（3）已知x＞0，求的最大值．
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；高考数学专题；不等式；数学运算．
【分析】（1）根据题意，分析可得y＝3﹣[5﹣4x+]，结合基本不等式的性质分析5﹣4x+的最小值，进而分析可得答案；
（2）根据题意，分析可得＝，结合基本不等式的性质分析即可得答案；
（3）根据题意，分析可得＝，结合基本不等式的性质分析x+的最小值，进而分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，y＝4x﹣2+＝4x﹣5++3＝3﹣[5﹣4x+]，
又由x＜，则4x﹣5＜0，则有5﹣4x＞0，
故5﹣4x+≥2＝2，当且仅当5﹣4x＝1即x＝1时等号成立，
故有y≤3﹣2＝1，当且仅当x＝1时等号成立，
故的最大值为1；
（2）根据题意，＝，
若，则1﹣2x＞0，则有2x（1﹣2x）≤[]2＝，当且仅当x＝时等号成立，
故＝≤，当且仅当x＝时等号成立，
故的最大值为；
（3）根据题意，＝，
由于x+≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，
故y≤＝1，当且仅当x＝1时等号成立，
故的最大值为1．
【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意不等式的变形，属于基础题．
20．（2022秋•玉溪期末）已知x＞0，y＞0．
（Ⅰ）若x，y满足 lg（2x）+lg（3y）＝lg（x+y），求x+y的最小值；
（Ⅱ）若x，y满足x+2y+xy＝6，求x+2y的最小值．
【考点】基本不等式及其应用；对数的运算性质．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；不等式；数学运算．
【分析】（Ⅰ）根据对数的运算性质得出6xy＝x+y，化为+＝1，再利用基本不等式求x+y的最小值；
（Ⅱ）利用基本不等式把x+2y+xy＝6化为﹣（x+2y）+6≤•，即可求出x+2y的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）因为x＞0，y＞0，lg（2x）+lg（3y）＝lg（x+y），
所以lg（6xy）＝lg（x+y），即6xy＝x+y，
所以+＝1，
所以x+y＝（x+y）（+）＝+++≥+2＝，
当且仅当x＝y＝时取“＝”，
所以x+y的最小值是；
（Ⅱ）因为x+2y+xy＝6，所以﹣（x+2y）+6＝xy＝x•2y≤•，当且仅当x＝2y时取“＝”，
整理得（x+2y）2+8（x+2y）﹣48≥0，即（x+2y+12）（x+2y﹣4）≥0，
解得x+2y≥4或x+2y≤﹣8（不合题意，舍去），
所以x+2y的最小值为4．
【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
21．（2023•新城区校级一模）已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+2|．
（1）求不等式f（x）≤7的解集；
（2）若f（x）的最小值为a+2b（a＞0，b＞0），求+的最小值．
【考点】基本不等式及其应用；绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）根据已知条件，结合绝对值不等式的解法，分类讨论，并取并集，即可求解；
（2）根据已知条件，结合绝对值三角不等式公式，求出f（x）的最小值，再结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：（1）f（x）＝|x﹣1|+|x+2|，
当x≤﹣2时，
﹣（x﹣1）﹣（x+2）≤7，解得x≥﹣4，
故﹣4≤x≤﹣2，
当﹣2＜x＜1时，
﹣（x﹣1）+（x+2）≤7，解集为R，
故﹣2＜x＜1，
当x≥1时，
x﹣1+x+2≤7，解得1≤x≤3，
综上所述，﹣4≤x≤3，
故不等式f（x）≤7的解集为{x|﹣4≤x≤3}；
（2）f（x）＝|x﹣1|+|x+2|＝|1﹣x|+|x+2|≥|1﹣x+x+2|＝3，当且仅当（1﹣x）（x+2）≥0时，等号成立，
故f（x）min＝3，
∵f（x）的最小值为a+2b（a＞0，b＞0），
∴a+2b＝3，
∴＝，当且仅当，即a＝b＝1时，等号成立，
故的最小值为3．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．
22．（2022秋•枣庄期末）已知函数f（x）＝x2﹣（m+2）x+2m，m∈R．
（1）若f（x）在（﹣∞，3）上单调递减，求实数m的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0．
【考点】其他不等式的解法；二次函数的性质与图象；一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）根据题意，由二次函数的性质可得≥3，解可得m的取值范围，即可得答案；
（2）f（x）＞0即x2﹣（m+2）x+2m＞0，变形可得（x﹣m）（x﹣2）＞0，按m的取值分情况讨论，求出不等式的解集，即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝x2﹣（m+2）x+2m是开口向上的二次函数，
且其对称轴为x＝，
若f（x）在（﹣∞，3）上单调递减，则≥3，
解可得m≥4，即m的取值范围为[4，+∞）；
（2）根据题意，f（x）＞0即x2﹣（m+2）x+2m＞0，变形可得（x﹣m）（x﹣2）＞0，
当m＜2时，不等式的解集为（﹣∞，m）∪（2，+∞）；
当m＝2时，不等式的解集为{x|x≠2}；
当m＞2时，不等式的解集为（﹣∞，2）∪（m，+∞）；
故当m＜2时，不等式的解集为（﹣∞，m）∪（2，+∞）；
当m＝2时，不等式的解集为{x|x≠2}；
当m＞2时，不等式的解集为（﹣∞，2）∪（m，+∞）．
【点评】本题考查二次函数的性质以及应用，涉及二次函数的性质，属于基础题．

考点卡片
1．存在量词和特称命题
【存在量词】：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃
特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．
存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．


【特称命题】含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．
“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．
命题
全称命题∀x∈M，p（x）
特称命题∃x0∈M，p（x0）
表述方法
①所有的x∈M，使p（x）成立
①存在x0∈M，使p（x0）成立
②对一切x∈M，使p（x）成立
②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立
③对每一个x∈M，使p（x）成立
③某些x∈M，使p（x）成立
④对任给一个x∈M，使p（x）成立
④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立
⑤若x∈M，则p（x）成立
⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立
解题方法点拨：由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p 则q”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．

常见词语的否定如下表所示：
词语
是
一定是
都是
大于
小于
词语的否定
不是
一定不是
不都是
小于或等于
大于或等于
词语
且
必有一个
至少有n个
至多有一个
所有x成立
词语的否定
或
一个也没有
至多有n﹣1个
至少有两个
存在一个x不成立
命题方向：本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．
2．不等关系与不等式
【不等关系与不等式】
不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．
【不等式定理】
①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
【例题讲解】
例1：解不等式：sinx≥．
解：∵sinx≥，
∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），
∴不等式sinx≥的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．
这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．
例2：当ab＞0时，a＞b⇔．
证明：由ab＞0，知＞0．
又∵a＞b，∴a＞b，即；
若，则
∴a＞b．
这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．
3．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用



【解题方法点拨】
技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
4．其他不等式的解法
【知识点的知识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．

（4）指数不等式：转化为代数不等式

（5）对数不等式：转化为代数不等式

（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：

5．二次函数的性质与图象
【二次函数】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【二次函数的性质】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
【命题方向】
熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．
6．一元二次不等式及其应用
【概念】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
【特征】
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【实例解析】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．

【一元二次不等式的常见应用类型】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．

②分式不等式问题：
＞0⇔f（x）•g（x）＞0；

＜0⇔f（x）•g（x）＜0；

≥0⇔；

≤0⇔．
7．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S＝＝．

（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．

【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （　　）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y＝kx+过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx+能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx+过点（，）时，＝+，所以k＝．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．

题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．

点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．

题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（　　）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．

解析　设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．

题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为 　　．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|+|的最小值是 　　．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，+＝（x+1，y），|+|＝可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此|+|的最小值是＝．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．

【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
8．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
9．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
10．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； loga＝logaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM； loga＝logaM．
11．对数值大小的比较
【知识点归纳】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
12．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴

【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
13．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a
{x|﹣a＜x＜a}
∅
∅
|x|＞a
{x|x＞a，或x＜﹣a}
{x|x≠0}
R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c⇔﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
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