数学-2023年高考押题预测卷03（北京专用）（参考答案）

2023年高考押题预测卷03【北京专用】

数学·参考答案

11．2（5分） 

12．100（5分）

13．     （5分）

14．     2（5分）

15.  ①②③（5分）

16．（13分）（1）选条件①：由及正弦定理得

，

即，（2分）

所以，

因为C为锐角，所以；（2分）

选条件②：由及正弦定理得

，

即，∴.（2分）

∵，∴，可得，∵，∴；（2分）

选条件③：由及正弦定理得，

即，

由余弦定理得，（2分）

∵，∴.（2分）

（2）∵是锐角三角形，∴解得，（2分）

由正弦定理得，（2分）

∴ ，（2分）

∵，∴，∴，（1分）

∴.（2分）

17．（14分）（1）∵分别是的中点，∴，

∵平面，平面，

∴平面，（2分）

∵，，∴四边形是平行四边形，（2分）

∴，又∵平面，平面，

∴平面，（2分）

又∵，平面，∴平面平面.（2分）

（2）

连接交于，连接，

由平面平面，

且平面平面，平面平面，（2分）

∴，同理可得，（2分）

所以，即为线段的中点，

所以为线段的中点，即.（2分）

18．（13分）

（1）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：（2分）

记事件A：第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务（1分）

①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；

②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；

③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟

所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22；（2分）

（2）X所有可能的取值为：0，1，2

X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，

所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；（2分）

X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，

所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；（2分）

X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；

所以X的分布列为：（2分）

期望：EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51. （2分）

即的数学期望为0.51..

19．（15分）（1）当时，,，

∴ （2分）

，又

∴在处的切线方程. （2分）

（2）（ⅰ）令，则

∴  （2分）

令， 则.

令,则 ，（2分）

，∴在上是减函数  又，

∴当时，，当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

，∴当函数有且只有一个零点时，.（2分）

（ⅱ）当，，若时，恒成立，

只需 .令得或，（1分）

，

函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2分）

又∵  ，         

，即.

∴，.（2分）

20．（15分）设椭圆的方程为由题设条件得：

（2分）

（2分）

解得，（2分）

所以，（2分）

所以椭圆的方程为（2分）

历时21小时23分，得飞船巡天飞行的时间是（秒，（1分）

所以总飞行距离为：，（2分）

平均速度是（千米秒）（2分）

所以飞船巡天飞行的平均速度是．

21．（15分）

（1）若，则，，，，（2分）

故中的项的大小从第3项开始周期变化，且周期为2.

故.（2分）

（2）设，

若，则，因互质，故为3的倍数；

若，则即，因互质，（2分）

故为3的倍数，

依次类推，有均为3的倍数. （2分）

当时，我们用数学归纳法证明：也是3的倍数.

当时，若，则，故为3的倍数；

若，则，故为3的倍数，

设当时，是3的倍数即为3的倍数，

若，则，故为3的倍数；

若，则，因为3的倍数，故为3的倍数，（2分）

故当时，是3的倍数也成立，

由数学归纳法可得是3的倍数成立，

综上，的所有元素都是3的倍数.

（3）当，则，，，，故的元素个数为5；

当，则，故的元素个数为4；

当，则，故的元素个数为5；

当，则，故的元素个数为5；

当，则，故的元素个数为4；

当，则，故的元素个数为5；

当，则，故的元素个数为5；

当，则，故的元素个数为4；

当，则，故的元素个数为5；

当，则，故的元素个数为5；

当，则，故的元素个数为4；

当，则，故的元素个数为5；

当，则，故的元素个数为1；

当时，的元素个数不超过为5，

综上，的元素个数的最大值为5. （5分）