2023年高考押题预测卷01（新高考Ⅰ卷）-数学（全解全析）

2023年高考押题预测卷01【新高考Ⅰ卷】

数学·全解全析

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1．已知集合，，则中的元素个数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【详解】由题设，所以，故其中元素共有4个.

故选：B

2．已知，为虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为，则.

故选：C.

3．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布，已，则的学生人数为（    ）

A．5 B．10 C．20 D．30

【答案】D

【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布，所以期末考试数学成绩关于对称，

则，所以，

所以的学生人数为：人.

故选：D.

4．已知直四棱柱的底面为正方形，，为的中点，则过点，和的平面截直四棱柱所得截面的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】如图，

过点作的平行线，交于点，则为的中点，连接，则过点，和的平面截直四棱柱所得截面即四边形．

易得，所以四边形为菱形，连接，

则，又，，

所以截面面积为，

故选：D．

5．已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【详解】，

因为使得的图象在点处的切线与轴平行，

所以函数在上存在最值，即函数在上存在对称轴，

令，得，

因为，所以，

即，则，

又，故时，取最小值为，

故选：A

6．已知焦点在x轴上的椭圆C：上顶点A与右顶点C连线与过下顶点B和右焦点F的直线交于点P，若为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】设椭圆的半焦距为c，

由题意可得：，

可得：，

由图可得：∠APB即为的补角，

若∠APB为钝角，即为锐角，

由图可知，故原题意等价于，

整理得，且，解得，

所以椭圆的离心率的取值范围是.

故选：D.

7．已知，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】，所以，

因为是方程的一个解，

所以是方程的解，令，

则，当时，恒成立，

所以单调递增，

又，

所以.

故选：C.

8．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知分别是三个内角的对边，且，，若点P为的费马点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】,

即 ,

又 ,

,

即 ,

, 又.

由三角形内角和性质知：△ABC内角均小于120°，结合题设易知：P点一定在三角形的内部，

再由余弦定理知, ,,

,

.

由等号左右两边同时乘以可得：

，

.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．2022年6月，某学校为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，对100名学生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，为进一步了解学生的答题情况，通过分层抽样，从成绩在区间内的学生中抽取6人，再从这6人中先后抽取2人的成绩作分析，下列结论正确的是（    ）

A．频率分布直方图中的

B．估计100名学生成绩的中位数是85

C．估计100名学生成绩的80%分位数是95

D．从6人中先后抽取2人作分析时，若先抽取的学生成绩位于，则后抽取的学生成绩在的概率是

【答案】AC

【详解】对于A：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得，解得，故A正确；

对于B：全校学生成绩的中位数为，

故中位数位于之间，故中位数为，故B错误，

对于C：全校学生成绩的样本数据的分位数约为分，故C正确．

对于D：在被抽取的学生中，成绩在区间，和的学生人数之比为，故抽取了2人，中抽取了4人，先抽取的学生成绩位于，则第二次抽取时，是在5个人中抽取，而此时学生成绩在的个数有4个，故概率为，故D不正确，

故选：AC

10．已知为定义在上的偶函数，则函数的解析式可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【详解】因为是偶函数，所以，即，所以是奇函数.

对于A，定义域为，所以不满足题意；

对于B，定义域为，，符合题意；

对于C，定义域为，，不符合题意；

对于D，定义域为，，而，符合题意.

故选：BD.

11．如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（    ）

A．当时，EP//平面 B．当时，取得最小值，其值为

C．的最小值为 D．当平面CEP时，

【答案】BC

【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

，

，则点，

对于A，，，，而，

显然，即是平面的一个法向量，

而，因此不平行于平面，即直线与平面不平行，A错误；

对于B，，则，

因此当时，取得最小值，B正确；

对于C，，

于是，当且仅当时取等号，C正确；

对于D，取的中点，连接，如图，

因为E为边AD的中点，则，当平面CEP时，平面，

连接，连接，连接，显然平面平面，

因此，平面，平面，则平面，

即有，而，所以，D错误.

故选：BC

12．在平面直角坐标系xOy中，A为坐标原点，，点列P在圆上，若对于，存在数列，，使得，则下列说法正确的是（    ）

A．为公差为2的等差数列 B．为公比为2的等比数列

C． D．前n项和

【答案】CD

【详解】对AB，由点列P在圆上，则由参数方程得，则，∴.

对于，存在数列，，使得，即①，②，

①②两式相除得，

令，则，则为以首项，公比为的等比数列.

则，AB错；

对C，，C对；

对D，，

，

两式相减得，

.

∴，D对.

故选：CD.

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分,其中第16题第一空2分，第二空3分．

13．已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为__________.用表示

【答案】

【详解】∵夹角为，，

∴，

∴所以向量在向量方向上的投影向量为.

故答案为：.

14．已知函数，则曲线在处的切线方程为__________.

【答案】

【详解】因为，所以，

则，所以；

所以，所以，

曲线在处的切线方程为，即.

故答案为：.

15．冰雹猜想是指：一个正整数，如果是奇数就乘以再加，如果是偶数就析出偶数因数，这样经过若干次，最终回到．问题提出八十多年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这个问题，已知正整数列满足，若存在首项，使得，已知，则___________.（写出一个满足条件的值即可）

【答案】或（只填写一个即可）

【详解】，，

所以若是偶数，则，若是奇数，则，与已知矛盾，故；

所以若是偶数，则，若是奇数，则，与已知矛盾，故；

所以若是偶数，则，若是奇数，则，与已知矛盾，故；

所以若是偶数，则，若是奇数，则，与已知矛盾，故；

所以若是偶数，则，若是奇数，则，故或；

余下推导用图表示可得：

故答案为：或（只填写一个即可）

16．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则___________；若，则的值为___________.

【答案】          /5.75

【详解】设外接圆半径为，则，

由正弦定理，可知，

即，由于是锐角，故，

又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即,故，

所以；

设，

则，

由于，不妨假设，

由余弦定理知，

设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 ,

故 ,

则得，

所以，

同理可得，

所以,

故答案为：；

四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有A级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A级旅游景区首道门票至少半价优惠．本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到如下不完整的列联表：

(1)根据统计数据完成以上列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联？

(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率．

①求的分布列和数学期望；

②求．

参考公式及数据：，其中．

【答案】(1)补全的列联表见解析；有关；

(2)①分布列见解析；；②

【详解】（1）由题意，抽取的100人年龄在50周岁及以下的有60人，则年龄在50周岁以上的有40人，补全的列联表如下：

则.

所以在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联.

（2）①由题意可得，游客至少去过两个及以上景区的概率为0.9，

则，的所有可能取值为0，1，2，3，

，，，，

所以的分布列如下：

因为，所以数学期望.

②.

18．从下列条件中选择一个条件补充到题目中：

①，其中为的面积，②，③．

在中，角，，对应边分别为，，，_______________．

(1)求角；

(2)若为边的中点，，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）选①，由余弦定理得：，

又，所以，

得，

因为，所以．

选②，因为，由正弦定理得：，

整理得：，

由余弦定理得：，

因为，所以．

选③，因为，由正弦定理得：，

即，

又因为，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，

因为，所以，

所以，即．

（2）在中，设，

由正弦定理得，

所以，，

∴，其中，

当时取等号，所以的最大值是．

19．已知数列的前n项和为，，且.

(1)求的通项公式；

(2)已知，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）∵，则有：

当时，，解得；

当时，则，

两式相减得，即；

注意到，故，

∴是首项为3，公比为3的等比数列，

故.

（2）由（1）得，

当n为偶数时，

；

当n为奇数时；

综上所述：.

20．如图1，在四边形ABCD中，，，AE=BE=2CD=2，.将四边形AECD沿AE折起，使得，得到如图2所示的几何体.

(1)若G为AB的中点，证明：平面ABE；

(2)若F为BE上一动点，且二面角的余弦值为，求的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）如图，取BE的中点O，连接OC，OG，则，，

因为，，故且CD=OG，

所以四边形CDGO为平行四边形，则.

因为，，，面BCE，

所以平面BCE，面BCE，所以.

因为BC=CE，所以.

因为，面ABE，所以平面ABE，

所以平面ABE.

（2）如图，过点E作直线，则直线面ABE，面ABE，

又，所以直线l，EA，EB两两相互垂直，

以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

设，则，，.

设面ADF的一个法向量为，则，令，则.

设面ABD的一个法向量为，则，令，则，

所以，解得或8（舍去），

故.

21．如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P处，此时，.设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于a的垂线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.

(1)求曲线C的方程；

(2)斜率为k的直线过点，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为，探究：是否存在，使得，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由.

【答案】(1)；

(2)存在，使得成立.

【详解】（1）依题意，笔尖到点的距离与它到直线的距离相等，

因此笔尖留下的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，设其方程为，

则，由，得，

由得点的横坐标，而抛物线的准线方程为，则，解得，

所以轨迹的方程为.

（2）假设存在，使得，设，直线的方程为，

由消去y得：，

而，，，

，由得，即，

于是，令，，

因此，又，即，解得或，

所以存在，使得成立.

22．已知函数，为的导函数．

(1)当时，若在[上的最大值为，求；

(2)已知是函数f（x）的两个极值点，且，若不等式恒成立，求正数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）当时，，其定义域为（0，＋∞），

且，所以，

所以，

令，得；令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减．

①当，即时，在[t，t＋1]上单调递增，

所以；

②当，即时，；

③当时，g（x）在[t，t＋1]上单调递减，

所以，

综上所述

（2）因为，所以，

由题意知的定义域为，

故是关于x的方程的两个根，

所以，

即，

所以，

等价于．

因为，所以原式等价于，

又，作差，得，

即，所以原式等价，

因为，所以恒成立．

令，则，

故不等式在上恒成立，

令．

又因为，

当时，得，所以在上单调递增，

又，所在上恒成立，符合题意；

当时，可得时，，时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

又因为，

所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去．

综上所述，若不等式恒成立，

只需满足，又，故，

即正数m的取值范围为．