重难点02 探究规律问题-2023年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

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重难点02探究规律问题

探究规律型问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，各种题型都有可能出现，一般以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。基本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。探索规律题可以说是每年中考的必考题，预计2021年中考数学中仍会作为选择题或填空题的压轴题来考察。所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的。

1）从简单的情况入手﹕
从简单的情况入手﹕求出前三到四个结果，探究其规律，通过归纳猜想总结正确答案二．新定义型问题一般与代数、坐标、函数知识结合较多，常见的命题背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。
2）关注问题中的不变量和变量﹕
在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量（也就是常量），我们要多关注变量，看看这些变量是如何变化的，仔细观察变量的变化与序号（一般为n）之间的关系，我们找到这个关系就找到了规律所在．
3）掌握一些数学思想方法
规探索律型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律.它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空、选择或解答.


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1．（2023·河北邢台·一模）如图1，书架上按顺序摆放着五本复习书，现把最右边的文综抽出，放在英语与数学之间；再把最右边的理综抽出，放在数学与语文之间，得到图2，称为1次整理，接着把最右边的英语抽出，放在数学与理综之间，再把最右边的文综抽出，放在理综与语文之间，得到图3，称为2次整理……；若从图1开始，经过n次整理后，得到的顺序与图1相同，则n的值可以是（    ）

A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【分析】根据题干信息得到整理规律，按照规律将接下来的几次整理罗列出来，找到重复规律，即可得到答案；
【详解】解：用12345分别表示语文、数学、英语、理综、文综图，
12345第一次：14253，第二次：15432，第三次：13524，第四次：12345（与图一相同)，
∴经4次整理后可得到的顺序与图1相同，∴n的值应为4的倍数，故选B．
【点睛】本题考查图形规律，解题的关键是读懂题干整理规律，写出几种变换得到重复规律．
2．（2023·河北秦皇岛·统考一模）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现将填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为（    ）

A． B． C．50 D．
【答案】B
【分析】观察左图可发现，三角形各顶点的数字之和等于正方形各定点数字之和，各顶点的数字之和加上正方形各定点数字之和等于4倍的正方形各顶点数字之和，得到、，代入即可求解．
【详解】解：观察左图可发现，三角形各顶点的数字之和等于正方形各定点数字之和，

整理得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了代数式求值，解题关键是根据题意得到、．
3．（2023·山东济宁·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别向左、右运动到点、点，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点、、，此时称动点A完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点A完成第2023次跳跃时，最左边第一个点的坐标是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图形可得每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达点的横坐标减少1，据此规律解答即可．
【详解】解：由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达点的横坐标减少1
则动点A完成第2023次跳跃时，所有到达点的纵坐标为，横坐标为：，则最左边第一个点的坐标是．故选C．
【点睛】本题主要考查了观察图形的规律，根据图形得到每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达点的横坐标减少1是解答本题的关键．
4．（2023·重庆九龙坡·校考一模）下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有2个圆；第②个图形中一共有7个圆；第③个图形中一共有16个圆；第④个图形中一共有29个圆，…，则第⑦个图形中圆的个数为（　　）

A．67 B．92 C．113 D．121
【答案】B
【分析】分两部分：第①个图形为：，第②个图形为：，第③个图形为：，第④个图形为：，…，由此得出规律即可求解．
【详解】第①个图形为：，第②个图形为：，
第③个图形为：，第④个图形为：，…，
一般地，第⑦个图形为：，故选：B．
【点睛】本题是图形规律探索问题，由特殊出发得出一般规律是解题的关键．
5．（2022·重庆南岸·校考模拟预测）有依次排列的个整式：，，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，，，，，则称它为整式串；将整式串按上述方式再做一次操作，可以得到整式串；以此类推．通过实际操作，得出以下结论：整式串为：，，，，， ，，，；
整式串共个整式；整式串的所有整式的和比整式串的所有整式的和小；
整式串的所有整式的和为；上述四个结论正确的有（    ）个．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据整式的加减运算法则和整式的乘法则进行计算，从而作出判断．
【详解】解：∵第一次操作后的整式串为：，，，，，共个整式，
第一次操作后的整式串的和为： ，
∴第二次操作后的整式串为，，，，，，，，，共个整式，故的结论正确，符合题意；第二次操作后所有整式的和为：
第三次操作后整式串为，，，，，，，，，，，，，，，，，共个整式，故的结论正确，符合题意；第三次操作后整式串的和为：；
故第三次操作后的整式串的和与第二次操作后的整式和的差为：，
即整式串的所有整式的和比整式串的所有整式的和小，故结论正确，符合题意；
第次操作后所有整式的积为，
∴第次操作后，所有的整式的和为，
故的说法不正确，不符合题意；正确的说法有，共个．故选：．
【点睛】此题主要考查了整式的加减，数字的规律，解题关键是从所给的式子分析出所存在的规律．
6．（2022·浙江丽水·统考一模）如图1所示，一块瓷砖表面有四条分割线，由分割线可构成一个正方形图案．图2由两块瓷砖铺成，分割线可构成3个正方形．图3由四块瓷砖铺成，分割线可构成9个正方形．若用十二块瓷砖铺成长方形，则由分割线可构成的正方形数最多是（    ）

A．33 B．34 C．35 D．36
【答案】C
【分析】12块瓷砖拼成长方形，有1×12，2×6，3×4这三种情况，分类讨论即可．
【详解】解：当瓷砖拼成1×12的长方形时，一共有2×12-1=23个正方形；
当瓷砖拼成2×6的长方形时，一共有6×6-3=33个正方形；
当瓷砖拼成3×4的长方形时，一共有10×4-5=35个正方形．故选：C．
【点睛】本题考查图形拼接的分类讨论．解题的关键是穷举几种拼接的方式，并针对每种方式，从简单到一般找出正方形数量变化的规律．
7．（2022·浙江绍兴·校联考二模）数独顾名思义----每个数字只能出现一次，数独源自18世纪末的瑞士．数独盘面是个九宫，每一宫又分为九个小格，虽然玩法简单，但数字排列方式却千变万化，如图，在★处应填的数字是（　　）

A．2 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据题意以填好的九宫格中的数字，可以得到★的值，本题得以解决．
【详解】解：由图可知，和★一行的数字有1，4，9
和★一列数的有8，5，6 和★在同一个九宫格中的数字有：1，3，9
∴★对应的数字不是1，3，4，5，6， 8，9 ∴★对应的数字为2，或7
根据同一个九宫格中，每行每列不能重复，2在其他行会重复 因此★对应的数字只能为2 故选：A．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出★的值．
8．（2022·河北唐山·统考一模）如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角角形的图案，每条边（包括两个顶点）有盆花，每个图案花盆总数是，按此推断与的关系式为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图案组成的是三角形的形状，则其周长等于边长的3倍，但由于每个顶点重复了一次，找到规律即可求解．
【详解】解：根据图案组成的是三角形的形状，则其周长等于边长的3倍，但由于每个顶点重复了一次．
由图可知：第一图：有花盆3个，每条边有2盆花，那么3=3×（2-1）；
第二图：有花盆6个，每条边有3盆花，那么6=3×（3-1）；
第三图：有花盆9个，每条边有4盆花，那么9=3×（4-1）；…
由此可知S与n的关系式为S=3（n-1）故选：B．
【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．本题要注意给出的图片中所包含的规律，然后根据规律列出函数关系式．
9．（2022·湖北恩施·统考一模）如图叫做雪花曲线，它可以从一个等边三角形（图①）开始画：把一个等边三角形的每边分成相同的三段，再在每边中间一段上向外画出一个等边三角形，这样一来就做成了一个六角星（图②）．然后在六角星的各边上用同样的方法向外画出更小的等边三角形，出现了一个有18个尖角的图形（图③）．如此继续下去，就能得到分支越来越多的曲线（图④）．继续重复上面的过程，图形的外边界逐渐变得越来越曲折、越来越长、图案变得越来越细致，越来越复杂，越来越像雪花、越来越美丽了．若图①中等边三角形的边长为1，则第4个图形的周长为（    ）

A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据前面几个图形找到相邻周长之间的关系，再进一步得到和第一个图形的周长之间的关系．
【详解】解：图①中等边三角形的边数是3，边长为1，周长为1×3=3；
图②中的“雪花曲线”的边数是12，边长是，周长为12×=4=×3；
图③中的“雪花曲线”的边数是48，边长是，周长为48×==×3；
∴图④中的“雪花曲线”的边数是48×4=192，边长是，周长为192×=×3=；故选C．
【点睛】此题考查图形的变化规律，解题关键是找出图形之间的联系，得出运算规律．
10．（2022·浙江绍兴·统考一模）现有一个方格的小型跳棋盘，将8枚棋子摆成如图的“中”字形状，并规定每一步可移动一枚棋子进入相邻空格中，或可将某枚棋子跳过邻格中的一枚棋子而进入随后的空格中，同时将被其跳过的这枚棋子从棋盘上移走．若最终棋盘上只剩下一枚棋子并停在标有“国”字的空格中，则最少需要移动的步数是（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】根据题目中所给的规定每一步可移动一枚棋子进入相邻空格中，或可将某枚棋子跳过邻格中的一枚棋子而进入随后的空格中，同时将被其跳过的这枚棋子从棋盘上移走．进行推理分析即可求解．
【详解】解：如图，最少需要移动的步数是8步，故选B

【点睛】本题主要考查图形的变化规律，理解题意逐步分析是解题的关键．
11．（2022·重庆巴南·统考模拟预测）“杨辉三角”给出了展开式的系数规律（其中n为正整数，展开式的项按a的次数降幕排列），它的构造规则是：两腰上都是数字1，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．例如：展开式的项的系数1，2，1与“杨辉三角”第三排对应：展开式的项的系数1，3，3，1．与“杨辉三角”第四排对应；依此类推……判断下列说法正确的是（    ）
①“杨辉三角”第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1；
②当时，代数式的值为；
③展开式中所有系数之和为；
④当代数式的值为1时，或3．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

【答案】C
【分析】运用杨辉三角形的排列规律，及展开式的系数规律采用赋值法逐一验证即可求解．
【详解】如图，依次规律可得“杨辉三角”第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1，故说法①正确；
当时，，故②说法错误；
令，则，故说法③正确；
当代数式的值为1时，即，
∴，
∴或（不合题意，舍去），∴，解得或，故说法④正确，

综上可得，说法正确的有①③④，故选：C
【点睛】本题考查了杨辉三角的规律与展开式的系数规律，正确把握其中的关系以及合理使用赋值法是解题的关键．
12．（2023·海南省直辖县级单位·统考一模）用火柴棒按上图的方式摆出一系列图案，按这种方式摆下去，第n个图案所用的火柴棒的根数为_____．

【答案】
【分析】先根据图案排列规律求出第n个图案的三角形的个数，再根据没有个三角形有三根火柴棒计算即可得解．
【详解】解：第1个图案有1个三角形，第2个图案有个三角形，
第3个图案有个三角形，…，
依此类推，第n个图案有：个三角形，
∵，∴第n个图案所用的火柴棒的根数为．
故答案为：．
【点睛】本题是对图形变化规律的考查，先求出第n个图案的三角形的个数是解题的关键．
13．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第n个大三角形中白色三角形有（用含n代数式表示）________个．

【答案】
【分析】分别数出第1个图形、第2个图形、第3个图形、第4个图形中白色三角形的个数，总结出白色三角形的增长规律，即可推出第 n 个大三角形中白色的三角形的个数．
【详解】解：第1个图形的白色三角形个数为1，
第2个图形的白色三角形个数为，
第3个图形的白色三角形个数为，
第4图形的白色三角形个数为，
…，
以此类推，第n个图形的白色三角形个数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，解答此题要有以下步骤：①先数出白色三角形的个数；②探索出白色三角形的增长规律；③根据规律解题．本题运算量比较大，要仔细计算．
14．（2023秋·河南许昌·九年级校考期末）平面直角坐标系中，若干个半径为1，圆心角为的扇形组成的图形如图所示，点P从原点O出发，向右沿箭头所指方向做上下起伏运动，点P在直线上运动的速度为每秒1个单位长度，在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，则2021秒时，点P的坐标是__________．

【答案】，
【分析】根据勾股定理和弧长公式求出的坐标，设第秒运动到为自然数）点，根据点的运动规律找出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，，，”，依此规律即可得出结论．
【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为B，由题意可得：，，
∴，，一段弧线长为，∴，，

设第秒运动到为自然数）点，
观察，发现规律：，，，，，，，，，
，，，，，．
，为，，故答案为：，．
【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据运动的规律找出点的坐标，根据坐标的变化找出坐标变化的规律是关键．
15．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为则的值为_________．
【答案】
【分析】利用根与系数的关系得到，；，；…，；把原式变形，再代入，即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴由根与系数的关系得：，；，；…，；
∴原式
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
16．（2022秋·河南信阳·九年级统考期中）如图，在正方形中，顶点，，点是的中点，与轴交于点，与交于点，将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为______．

【答案】
【分析】根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据余角的性质得到，过作于，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，找出规律即可得到结论．
【详解】解：四边形是正方形，，，
点是的中点，与轴交于点，，（SAS），，
，，，，
，，过作于，

，，，
，，，，，
将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，
第一次旋转后对应的点的坐标为，
第二次旋转后对应的点的坐标为，
第三次旋转后对应的点的坐标为，
第四次旋转后对应的点的坐标为，，
，每4次一个循环，第2023次旋转结束时，相当于正方形绕点顺时针旋转3次，第2023次旋转结束时，点的坐标为，故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变换—旋转，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
17．（2022秋·湖南岳阳·九年级校考阶段练习）如图，点 在反比例函数（ ）的图象上，点 在y轴上，且 ，直线 与双曲线交于点 ， ， ， 则 的坐标是 _____．

【答案】
【分析】由题意可知 ， ， ， ，都是等腰直角三角形，设点坐标，代入 中计算求解，然后求出的值，探究一般性规律，利用规律解决问题即可得出结论．
【详解】解：由题意， 都是等腰直角三角形，
，设的横坐标为，则纵坐标为： ，故 ，
由于点在上，则有 ，解得，（舍去），
，设，由于点在上则有，
解得， ，同法可得，， ，
，，即故答案为：．
【点睛】本题结合反比例函数考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于先求解 的坐标，推导一般性规律，再利用规律求解．
18．（2022·山东日照·校考二模）在直角坐标系中，直线与x轴交于点，以为边长作等边，过点作平行于x轴，交直线于点,以为边长作等边,过点作平行于x轴，交直线于点，以为边长作等边，则等边的边长是_____．

【答案】
【分析】先从特殊得到一般探究规律后，利用规律解决问题即可．
【详解】直线与x轴交于点，
， ， 边长为 ，
直线与x轴夹角为，，，
轴，，，
，的边长为，
同理可得：，的边长为，
由此变化规律可得： 的边长是，
的边长为，故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得 的边长为．
19．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）抛物线与直线的两个交点的横坐标分别是，，记，则代数式的值为_____．
【答案】
【分析】联立抛物线和直线的解析式，求得两个交点的横坐标，然后观察表达式的规律，根据规律进行求解即可．
【详解】解：依题意，联立抛物线和直线的解析式得：，
整理得：，即，
解得：，，当n为正整数时，，，
故答案为：．
【点睛】本题考查是二次函数的综合题，考查了二次函数的图像和性质，探索规律，根据表达式发现规律是解题关键．
20．（2023·湖北孝感·校考一模）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示15，则表示2023的有序数对是___．

【答案】
【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第行的第一个数字为，从而求得最终的答案．
【详解】第1行的第一个数字：，第2行的第一个数字：，
第3行的第一个数字：，第4行的第一个数字：，
第5行的第一个数字：，…..，设第行的第一个数字为，得，
设第行的第一个数字为，得，设第n行，从左到右第m个数为，
当时，，∴，
∵为整数，∴，∴，∴；故答案为：．
【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．
21．（2023·山西晋中·统考一模）某公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中步道上总共使用84个三角形地砖，那么连续排列的正方形地砖总共有______个．

【答案】40
【分析】根据中间一个正方形对应两个等腰直角三角形，从而得出正方形地砖的个数．
【详解】解：步道上总共使用连续排列的正方形地砖：(个)．故答案为∶40
【点睛】本题考查了等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．也考查了规律型问题的解决方法，探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
22．（2023·湖北咸宁·校联考一模）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，后人称它为“杨辉三角”，它具有一定的规律性，从图中取一斜列数：1，3，6，10，15，，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…第个数记为，则______．

【答案】
【分析】根据前几个数的特点，找到规律，得出答案．
【详解】解：第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第四个数记为，…∴第个数记为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，找到变化规律是解题的关键．
23．（2022·四川成都·统考二模）已知，定义，，，则______．
【答案】
【分析】根据题目要求分别求出、、等数据的结果分别为 从而发现，分母逐渐加2；分子逐渐加1；从而得到数字规律，再把代入式子进行计算即可．
【详解】解：∵，，，，
，，，从中发现：分子部分，第个式子的；式子中的分母，
，当时，．故答案为：．
【点睛】本题考查数字类规律探究．认真算出每个式子的结果，找出分子分母与n之间的关系是解答关键．
24．（2022春·湖北十堰·九年级专题练习）元宵节，广场上要设计一排灯笼增强气氛，其中有一个设计由如图所示图案逐步演变而成，其中圆圈代表灯笼，n代表第n次演变过程，s代表第n次演变后的灯笼的个数．仔细观察下列演变过程，当时，__________．

【答案】7
【分析】根据图形的变化规律，结合数字规律列出式子求解即可．
【详解】解：∵，，，
，…，∴当S=190时，，解得n=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了图形和数字规律，解题的关键是找到合适的规律列出代数式．
25．（2022·山东德州·统考二模）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，的值为______．

【答案】2021
【分析】由图可知，……；由此可知，然后问题可求解．
【详解】解：由图可知：，……；
∴，∴，
∴=
====2021；故答案为2021．
【点睛】本题主要考查图形规律问题及有理数的混合运算，熟练掌握图形规律问题及有理数的混合运算是解题的关键．
26．（2022·陕西宝鸡·统考二模）数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醇类分子式中，甲醇分子式为，乙醇分子式为，丙醇分子式为，设碳原子的数目为n（n为正整数），则醇类的分子式可以用式子______来表示．
【答案】
【分析】设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，列出部分an的值，根据数值的变化找出变化规律“an=2n+1”，依次规律即可解决问题．
【详解】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，
观察，发现规律：a1=3=2×1+1，a2=5=2×2+1，a3=7=2×3+1，…，∴an=2n+1．
∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为CnH2n+1OH．
故答案为：CnH2n+1OH．
【点睛】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“an=2n+1”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据碳原子的变化找出氢原子的变化规律是关键．
27．（2022·四川成都·统考二模）甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2022时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分，若报出的数是奇数，则该同学不得分．当报数结束时，甲同学的得分是__________分．
【答案】337
【分析】根据题意可得甲报出的第1个数为1，第2个数为1+3=4，第3个数为1+3×2=7，第4个数为1+3×3=10，…，第n个数为1+3(n−1)，由1+3(n−1)=2022，可得甲报出了674个数，再观察甲报出的数总是一奇一偶，所以偶数有674÷2=337个，由此得出答案即可．
【详解】解：甲报的第1个数为1，第2个数为1+3=4，第3个数为1+3×2=7，
第4个数为1+3×3=10，…，第n个数为1+3(n−1)=3n−2，
根据题意得：3n−2=2022，，故甲报出了674个数，
观察甲报出的数可知：总是一奇一偶，
所以偶数有674÷2=337(个)，故得337分．故答案为：337．
【点睛】本题考查数字的变化规律：熟练掌握通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况的方法．
28．（2022·陕西宝鸡·统考一模）如图所示的圆球三角垛自上而下，第1层1个，第2层个，第3层个，……如果图中三角垛共6层，则这个圆球三角垛的最下方一层的圆球个数为______个．

【答案】21
【分析】根据三角垛的规律可知，最低层即第6层的圆球个数为：1+2+3+4+5+6=21（个）．
【详解】解：根据三角垛的规律可知，最低层即第6层的圆球个数为：1+2+3+4+5+6=21（个）
故答案为：21
【点睛】本题考查图形的规律计算，解题的关键是准确理解题意得出规律．
29．（2023·山东青岛·统考模拟预测）【问题提出】
相传古印度一座梵塔圣殿中铸有一片巨大的黄铜板，之上树立了3根宝石柱，如果将这64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，但是每次只能移动1个金属片，且较大的金属片不能放在较小的金属片上面．则至少需要移动多少次？
【问题探究】
为了探究规律，我们采用一般问题特殊化的方法，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性结论．
设是把n个金盘从1柱移动到3柱过程中的最少移动次数．
探究一：当时，显然．
探究二：当时，如图①所示．

探究三：当时，如图②所示．

探究四：当时，先用的方法把较小的3个金盘移动到2柱，再将最大金盘移动到3柱，最后再用的方法把较小的3个金盘从2柱移动到3柱，完成，即__________．
探究五：当时，仿照“问题探究”中的方法，将6个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要多少次？（写出必要的计算过程．）
【结论归纳】
若将x个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动a次；将个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动次__________（用含a的代数式表示）．
【问题解决】
若将64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动__________次．
【拓展延伸】
若在原来游戏规则的基础上，再添加1个条件：每次只能将金盘向相邻的柱子移动（即：2柱的金盘可以移动到1柱或3柱，但1柱或3柱的金盘只能移动到2柱），则移动完64个金盘至少需要移动__________次．
【答案】【问题探究】15，63；【结论归纳】；【问题解决】；【拓展延伸】
【分析】[问题探究]探究四：根据前3次的探究可以得出探究4；
探究五：根据前面的探究得出规律，然后得出结论；
[结论归纳]根据前4次的探究可以得到（x+1）个金盘移动的次数；
[问题解决]根据自主探究得出规律即可；
[拓展延伸]先把n＝2时得出结论，再用相同的方法得出h（3），然后找出规律得出结论．
【详解】解：[问题探究]
探究四：先用的方法把较小的3个盘移到2柱（需移动7次），
再将最大盘移到3柱（需移动1次），
最后用h（3）的方法把较小的3个盘从2柱移到3柱（需移动7次），
所以共需要次，故答案为：15；
探究五，，，∴至少需要63次；
[结论归纳]由探究二可知，若将1个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，需要1次，
则将2个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则需要次；
由探究三可知，若将2个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，需要3次，
则将3个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则需要次；
由探究四可知，若将3个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，需要7次，
则将4个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则需要次；
故若将x个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，需要a次，
则将个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则需要次，故答案为：；
[问题解决]，，，.....．，
故答案为：；
[拓展延伸]每次只能将盘子向相邻的柱子移动，
故当时，小盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到3柱，需要1次；
将大盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到1柱，需要1次，
将大盘移到3柱，需要1次，将小盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到3柱，需要1次；
所以两个盘子需要了8次，故；按照相同的思路可得：；
∵，，，故答案为：．
【点睛】本题考查数字变化类、列代数式，关键是根据已知方法总结出移动的规律．
30．（2023·湖北随州·统考一模）观察一下等式：
第一个等式：，
第二个等式：，
第三个等式：，……
按照以上规律，解决下列问题
(1)___________；(2)写出第五个式子：___________；
(3)用含的式子表示一般规律：___________；
(4)计算（要求写出过程）：．
【答案】(1)(2)(3)(4)．
【分析】（1）根据题目中的几个等式，可以发现数字的变化特点，从而可以写出第四个等式；
（2）根据题目中的几个等式，可以发现数字的变化特点，从而可以写出第五个等式；
（3）根据题目中的几个等式，可以总结规律，得到一般形式；（4）根据（3）中规律进行计算．
【详解】（1）解：由题意可得：，故答案为：；
（2）解：第五个式子为：，故答案为：；
（3）解：由题意可得：，故答案为：；
（4）解：．
【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出相应的式子．
31．（2022·山东青岛·统考一模）问题提出：
将一根长度是（的偶数）的细绳按照如图所示的方法对折次（），然后从重叠的细绳的一端开始，每隔1厘米（两端弯曲部分的绳长忽略不计）剪1刀，共剪刀（的整数），最后得到一些长和长的细绳．如果长的细绳有222根，那么原来的细绳的长度是多少？

问题探究：
为了解决问题，我们可以先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：对折1次，可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图①），左端出现了2根长的细绳，右端出现了根长的细绳，所以原绳长为；如果剪2刀（如图②），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，右端仍有根长的细绳， 所以原绳长为；如果剪3刀（如图③），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，右端仍有根长的细绳，所以原绳长为；以此类推，如果剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长细绳，右端仍有根长的细绳，所以，原绳长为．

探究二：对折2次，可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图④），左端出现了2根长的细绳，两端共出现了根长的细绳，所以原绳长为；如果剪2刀（如图⑤），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端仍有根长的细绳，所以原绳长为；如果剪3刀（如图⑥），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端共有根长的细绳，所以原绳长为；以此类推，如果剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端仍有根长的细绳，所以原绳长为．

探究三：对折3次（如图⑦），可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪刀，左端有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端有根长的细绳，所以原绳长为cm．

(1)总结规律：对折次，可以看成有 根绳子重叠在一起，如果剪刀，左端有 根长的细绳，中间会有 根长的细绳，两端会有 根长的细绳，所以原绳长为 ．
(2)问题解决：如果长的细绳有222根，根据以上探究过程可以推算出细绳可能被对折了 次，被剪了 刀，原来的细绳的长度是 ．
(3)拓展应用：如果长的细绳有2024根，那么原来的细绳的长度是 ．
【答案】(1)2n，2，，（），(2)1或2，111或56，224或228(3)2026
【分析】（1）根据题意对折1次，2次，3次的规律，进行推导对折n次的结果；
（2）由题意，得2+=222，进而讨论解得情况求m，n即可；（3）方法同（2）进行计算即可．
（1）解：对折1次，有根绳子重叠在一起，剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长细绳，右端有根长的细绳，原绳长为，
对折2次，有根绳子重叠在一起，剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端有根长的细绳，原绳长为，
对折3次，有根绳子重叠在一起，剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端有根长的细绳，原绳长为，……
则对折次，可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪刀，左端有2根长的细绳，中间会有根长的细绳，两端会有（）根长的细绳，所以原绳长为
故答案为：2n，2，，（），；
（2）解：由题意，得2+=222∴=220∴
又，220=2×110或220=4×55∴可以为2，4 ∴=2或4，m-1=110或55
∴n=1或2，m=111或56∴原绳长为21×（111+1）=224或22×（56+1）=4×57=228
故答案为：1或2，111或56，224或228；
（3）解：由题意，得2+=2024∴=2022∴
又，2022=2×1011∴为2∴=2，m-1=1011∴n=1，m=1012
∴原绳长为21×（1012+1）=2×1013=2026故答案为：2026．
【点睛】本题考查了图形变化类规律探究，解决本题的关键是读懂题意，根据图形变化归纳出规律．
32．（2022·山东青岛·青岛大学附属中学校考一模）【阅读理解】
排列：从n个元素中选取m（m≤n）个元素，这m个元素称为一个排列，不同顺序视作不同排列，排列数量记作．
组合：从n个元素中选取m（m≤n）个元素，这m个元素称为一个排列，不同顺序视作同一排列，组合数量记作．
例如：（甲、乙），（乙、甲）是两种不同的排列，确实同一种组合．
【问题提出1】在5个点中选取其中3个，有多少种排列？有多少种组合？

【问题解决1】
将5个点分别编号为“1”“2”“3”“4”“5”．
（一）排列：（1）选取第1个点：如图①，从全部5个点中选取1个，有5种情况；
（2）选取第2个点：如图①，从剩余4个点中选取1个，有4种情况；
（3）选取第3个点：如图①，从剩余3个点中选取1个，有3种情况；
综上所述，从5个点中任选3个点，共有5×4×3=60种排列，即=60．
（二）组合：因为每个组合都包含了3个点，所有每3个点共有=3×2×1=6（种）排列．例如：包含“1”“2”“3”这3个点的组合，就有（1，2，3）（1，3，2）（2，1，3）（2，3，1）（3，1，2）（3，2，1）共6种不同排列……像这样，每个组合都重复了6次（即次），即组合数=排列数的，故“在5个点中选取其中3个”对应组合数（种）．
(1)填空①= ；②= （n≥3）；③= （n≥2）．
(2)【问题提出2】在五边形中，每次取其中的3个顶点连接成三角形，可以构造多少个三角形？
【问题解决2】解：问题可以抽象成在5个点中取其中3个，有多少种组合．
∵（种），∴在5个点中取其中3个，有10种组合．
即在五边形中，每次取其中的3个顶点连接成三角形，可以构造10个三角形．
【问题延伸】在六边形中，每次取其中的4个顶点连接成四边形，可以构造多少个四边形？
（请仿照【问题解决2】利用排列、组合的计算方法解决问题）
解：
【建立模型】在n（n≥3）边形中，每次取其中的m（m≤n）个顶点连接成m角形，可以构造 个m边形．
(3)【模型应用】在如图②所示的正方形网格图中，以格点为顶点的三角形共有 个．
【答案】(1)①；②；③；(2)[问题延伸]见解析；[建立模型] (3)76；
【分析】（1）由前面的示例直接进行计算即可；（2）仿照[问题解决2]总结出公式并进行计算即可；
（3）在正方形网格图中，共9个格点，任取3个格点，则共有84种，其中3个格点在同一直线上的共有8种，减去8即可；
【详解】（1）①；②（n≥3）；③（n≥2）．
故答案为：①；②；③；
（2）在六边形中，每次取其中的4个顶点连接成四边形，可以构造个四边形；
在n（n≥3）边形中，每次取其中的m（m≤n）个顶点连接成m角形，可以构造个m边形；
故答案为：；
（3）在如图②所示的正方形网格图中，共9个格点，任取3个格点，则共有 ，
其中3个格点在同一直线上的共有8种，则以格点为顶点的三角形共有84-8=76（个）．
【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．







限时检测2：最新各地中考真题（80分钟）
1．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（       ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案．
【详解】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴尾数每4个一循环，
∵2022÷4＝505……2，∴22022的个位数字应该是：4．故选：C．
【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键．
2．（2022·新疆·中考真题）将全体正偶数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第10行第5个数是（       ）
A．98 B．100 C．102 D．104
【答案】B
【分析】观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第n行第一个数，故可求解．
【详解】观察数字的变化可知：第n行有n个偶数，
因为第1行的第1个数是： ；第2行的第1个数是： ；
第3行的第1个数是：；…所以第n行的第1个数是： ，
所以第10行第1个数是：，所以第10行第5个数是： ．故选：B．
【点睛】本题考查了数字的规律探究，推导出一般性规律是解题的关键．
3．（2022·江西·中考真题）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（       ）

A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．
【详解】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3=10，故选：B．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．
4．（2022·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x²，5x³，7x，9x，……，第n个单项式是（       ）
A．(2n-1) B．(2n+1) C．(n-1) D．(n+1)
【答案】A
【分析】系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示．
【详解】解：依题意，得第n项为（2n-1）xn，故选：A．
【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键．
5．（2022·重庆·中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（       ）

A．15 B．13 C．11 D．9
【答案】C
【分析】根据第①个图案中菱形的个数：；第②个图案中菱形的个数：；第③个图案中菱形的个数：；…第n个图案中菱形的个数：，算出第⑥个图案中菱形个数即可．
【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：；
第②个图案中菱形的个数：；第③个图案中菱形的个数：；…
第n个图案中菱形的个数：，
∴则第⑥个图案中菱形的个数为：，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．
6．（2022·广东广州·中考真题）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为（   ）

A．252 B．253 C．336 D．337
【答案】B
【分析】根据图形的变化及数值的变化找出变化规律,即可得出结论．
【详解】解：设第n个图形需要an（n为正整数）根小木棒，
观察发现规律：第一个图形需要小木棒：6=6×1+0，
第二个图形需要小木棒：14=6×2+2；第三个图形需要小木棒：22=6×3+4，…，
∴第n个图形需要小木棒：6n+2（n-1）=8n-2．∴8n-2=2022，得：n=253，故选：B．
【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，解决该题型题目时，根据给定图形中的数据找出变化规律是关键．
7．（2022·广西玉林·中考真题）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是(     )


A．4 B． C．2 D．0
【答案】B
【分析】由题意可分别求出经过2022秒后，红黑两枚跳棋的位置，然后根据正多边形的性质及含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵2022÷3=674，2022÷1=2022，∴，
∴经过2022秒后，红跳棋落在点A处，黑跳棋落在点E处，
连接AE，过点F作FG⊥AE于点G，如图所示：

在正六边形中，，
∴，∴，
∴，∴，故选B．
【点睛】本题主要考查图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质，熟练掌握图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质是解题的关键．
8．（2022·四川广安·中考真题）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2 …是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA1的圆心为A，半径为AD；弧A1B1的圆心为B，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1…．弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2022D2022的长是___________（结果保留π）．

【答案】2022π
【分析】根据题意有后一段弧的半径总比前一段弧的半径长，又因为的半径为，可知任何一段弧的半径都是的倍数，根据圆心以A、B、C、D四次一个循环，可得弧的半径为：，再根据弧长公式即可作答．
【详解】根据题意有：的半径，的半径，
的半径，的半径，
的半径，的半径，
的半径，的半径，．．．
以此类推可知，故弧的半径为：，
即弧的半径为：，
即弧的长度为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长的计算公式，找到每段弧的半径变化规律是解答本题的关键．
9．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点…，按照如此规律操作下去，则点的纵坐标是______．

【答案】
【分析】先根据30°的特殊直角三角形，如，，，求出B点，B1点的纵坐标，发现规律，即可
【详解】∵当时， 当时，
故，∴为30°的直角三角形∴
∵∴为30°的直角三角形∴
∴为30°的直角三角形
∵轴 ∴ ∴
为30°的直角三角形
同理： …
故： 故答案为：
【点睛】本题考查30°的特殊直角三角形；注意只用求点的纵坐标，即长度
10．（2022·湖北恩施·中考真题）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则________，________．
【答案】         
【分析】由已知推出，得到，，，，上述式子相加求解即可．
【详解】解：∵；∴，
∵，∵，∴a4=，
∴，，，
把上述2022-1个式子相加得，∴a2022=，故答案为：，．
【点睛】此题主要考查数字的变化规律，关键是得出，利用裂项相加法求解．
11．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）如图所示，以O为端点画六条射线后OA，OB，OC，OD，OE，O后F，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线___上．

【答案】OC
【详解】解∶∵1在射线OA上，2在射线OB上，3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OA上，…∴每六个一循环．
∵2013÷6=335…3，∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样．
∴所描的第2013个点在射线OC上．故答案为：OC
12．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，50节链条总长度为_________．

【答案】91
【分析】通过观察图形可知，1节链条的长度是，2节链条的长度是（2.8×2-1），3节链条的长度是（2.8×3-1×2），n节链条的长度是2.8n-1×（n-1），据此解答即可求解．
【详解】解：2节链条的长度是（2.8×2-1），
3节链条的长度是（2.8×3-1×2），
n节链条的长度是2.8n-1×（n-1），
所以50节链条的长度是：2.8×50-1×（50-1）=140-1×49=91故答案为：91
【点睛】此题考查的图形类规律，关键是找出规律，得出n节链条长度为2.5×n-0.8×（n-1）．
13．（2022·黑龙江大庆·中考真题）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是____________．

【答案】49
【分析】根据题意可知：第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，……由规侓即可得答案．
【详解】解：∵第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，
第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，
第3个图案中有六边形图形：3+4+3=10个，
第4个图案中有六边形图形：4+5+4=13个，……
∴第16个图案中有六边形图形：16+17+16=49个， 故答案为：49．
【点睛】此题考查图形的变化规律，解题的关键是找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．
14．（2022·湖南怀化·中考真题）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，

则第27行的第21个数是 _____．
【答案】744
【分析】由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），计算出第27行最后一个偶数，再减去与第21位之差即可得到答案．
【详解】由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），
∴第27行的最后一个数，即第27个数为，
∴第27行的第21个数与第27个数差6位数，即，故答案为：744．
【点睛】本题考查数字类规律的探究，根据已知条件的数字排列找到规律，用含n的代数式表示出来由此解决问题是解题的关键．
15.（2022·四川德阳·中考真题）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是，第三个三角形数是，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是，第三个正方形数是，……由此类推，图④中第五个正六边形数是______．

【答案】45
【分析】根据题意找到图形规律，即可求解．
【详解】根据图形，规律如下表：

三角形3
正方形4
五边形5
六边形6

M边形m
1
1
1
1
1

1
2
1+2
1+21
1+21
1
1+21
1
1

1+2

3
1+2+3
1+2+31+2

1+2+31+2
1+2
1+2+31+2
1+2
1+2

1+2+3

4
1+2+3+4
1+2+3+41+2+3
1+2+3+41+2+3
1+2+3
1+2+3+41+2+3
1+2+3
1+2+3

1+2+3+4








n











由上表可知第n个M边形数为：，
整理得：，
则有第5个正六边形中，n=5，m=6，代入可得：，故答案为：45．
【点睛】本题考查了整式--图形类规律探索，理解题意是解答本题的关键．
16．（2022·山东泰安·中考真题）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．

【答案】不存在
【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“○”的个数是；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n的值是多少即可．
【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；
n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……
∴第n个图形中“•”的个数是3n；
又∵n=1时，“○”的个数是1=；n=2时，“○”的个数是，
n=3时，“○”的个数是，n=4时，“○”的个数是，……
∴第n个“○”的个数是，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022
①，②
解①得：无解 解②得：故答案为：不存在
【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．
17．（2022·四川遂宁·中考真题）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．

【答案】127
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．
【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
18．（2022·青海·中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料______根.

【答案】
【分析】第一个图形有1根木料，第二个图形有根木料，第三个图形有根木料，第四个图形有根木料，以此类推，得到第个图形有根木料．
【详解】解：∵第一个图形有根木料，第二个图形有根木料，
第三个图形有根木料，第四个图形有木料，
∴第个图形有根木料，故答案为：．
【点睛】本题考查图形的变化类问题，仔细观察，分析，归纳并发现其中的规律是解本题的关键．
19．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
【答案】
【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．
【详解】解：；；
；，，
当时，原式，故答案为：．
【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
20．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点；…；按此做法进行下去，则点的坐标为_________．

【答案】
【分析】先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，从而求出点A8的坐标为（0，-8），由此求解即可．
【详解】解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，
∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，
∵O到A1是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，A1到A2是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，A2到A3是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，A3到A4是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，A4到A5是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，∴点A8的坐标为（0，-8），
∴点A8到A9的平移方式与O到A1的方式相同（只指平移方向）即A8到A9向右平移9个单位，向上平移9个单位，∴A9的坐标为（9，1），
同理A9到A10的平移方式与A1到A2的平移方式相同（只指平移方向），即A9到A10向左平移10个单位，向上平移10个单位，∴A10的坐标为（-1，11），故答案为：（-1，11）．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键．
21．（2022·辽宁·中考真题）如图，为射线上一点，为射线上一点，．以为边在其右侧作菱形，且与射线交于点，得；延长交射线于点，以为边在其右侧作菱形，且与射线交于点，得；延长交射线于点，以为边在其右侧作菱形，且与射线交于点，得；…，按此规律进行下去，则的面积___________．

【答案】
【分析】过点作于点D，连接，分别作，然后根据菱形的性质及题意可得，则有，进而可得出规律进行求解．
【详解】解：过点作于点D，连接，分别作，如图所示：


∴，
∵，∴，∵，，
∴，，∴，∴，
∵菱形，且，∴是等边三角形，∴，，
∵，∴，∴，
∴，设，∵，
∴，
∴，∴，解得：，
∴，∴，同理可得：，，
∴，由上可得：，，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及三角函数是解题的关键．
22．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明．
(1)解：∵第一个式子，
第二个式子，
第三个式子，……
∴第（n+1）个式子；
(2)解：∵右边==左边，
∴．
【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．
23．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，……
按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；
（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．
(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：，故答案为：；
(2)解：第n个等式为，
证明如下：等式左边：，
等式右边：

，
故等式成立．
【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题关键．
24．（2022·浙江嘉兴·中考真题）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
(1)尝试：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；……
(2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：若与100a的差为2525，求a的值．
【答案】(1)③；(2)相等，证明见解析；(3)
【分析】（1）③仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可；
（2）由再计算100a(a＋1)＋25，从而可得答案；
（3）由与100a的差为2525，列方程，整理可得再利用平方根的含义解方程即可．
(1)解：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝；
(2)解：相等，理由如下：

100a(a＋1)＋25=
(3) 与100a的差为2525，
整理得： 即 解得： 1≤a≤9，
【点睛】本题考查的是数字的规律探究，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，利用平方根的含义解方程，理解题意，列出运算式或方程是解本题的关键．