广东省汕头市金山中学2023届高三下学期一模试题 数学（Word版含解析）

汕头市金山中学2023届高三年级校模

数  学

本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

    1．本试卷分选择题和非选择题两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将答题卡上的相应位置填涂考生号。

    2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案写在试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。

第I卷  选择题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合,,则(    )

A．    B．    C．    D．

2．已知复数z满足,则z在复平面内对应的点位于(    )

A．第一象限      B．第二象限      C．第三象限      D．第四象限

3．己知向量，满足，，则在方向上的投影向量的模长为(    )

A．    B．3     C．    D．

4．如图l，在高为h的直三棱柱容器中，,现往该容器内灌进一些水，水深为,然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则=(    )

A．        B．

C．        D．

5．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为,它的第n项为,若的所有项都是2，且，，则(    )

A．8              B．10            C．12            D．14

6．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有(    )种．

A．20             B．4             C．60            D．80

7．已知是定义在R上的奇函数，当时,,若函数是偶函数，则下列结论不正确的为(    )

A．a=1           B．的最小正周期T=4

C．有4个零点     D．

8．已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l

交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴子于点D. 若,则双曲线的离心率取值范围是(    )

A．   B．   C．   D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．每年4月23日为“世界读书日”，树人学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检验活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如下表：

根据上表，可得y关于x的经验回归方程为，则(    )

A．

B．借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的上四分位数为5.7

C．y与x的线性相关系数r>0

D．七月的借阅量一定不少于6. 12万册

10．已知，下列选项正确的是(    )

A．的值域为

B．的对称中心为

C．的单调递增区间为和

D．图像向右平移个单位与的图像重合

11．如图，点M是棱长为l的正方体中的侧面

上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是(    )

A．不存在点M满足平面

B．存在无数个点M满足

C．当点M满足时，平面截正方体所得截面的面积为

D．满足的点M的轨迹长度是

12．已知，若分别是方程和的根，则下列说法正确的是(    )

A．   B．   C．    D．

第Ⅱ卷 非选择题

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．二项式的二项式系数之和为64，则展开式中的的系数是      （填数字）

14．己知为锐角，，，则     

15．已知点P是椭圆上一点，椭圆C在点P处的切线l与圆

交于A，B两点，当三角形AOB的面积取最大值时，切线l的斜率等于      

16．已知四边形ABCD为平行四边形，，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为         .

四、解答题：本大题共6小题，共70分．第17题为10分，其他为12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知数列的前n项和为，，且.

(1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和.

18．在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知.

(1)求角A的值；   (2)若c=2，求a+b的取值范围．

19．安全教育越来越受到社会的关注和重视．为了普及安全教育，学校组织了一次学生安全

知识竞赛，学校设置项目A“地震逃生知识问答”和项目B“火灾逃生知识问答”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项日，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响．

(1)求乙班在项目A中获胜的概率；

(2)设乙班获胜的项目个数为X．求X的分布列及数学期望．

20．如图，在三棱台中，面，

,

(1)证明：；

(2)若棱台的体积为，，求二面角的余弦值．

21．在平面直角坐标系xOy中，点P到点的距离比到y轴的距离大l，记点P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)过点F且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，交曲线C于M、N两点，若为定值，则实数应满足什么关系？

22．已知函数，，其中a>0且a≠1.

(1)征明：当a=e时，恒成立；

(2)证明：当时，曲线与曲线有且只有两条公切线．

数学参考答案

1．【答案】C

2．【答案】B

3．【答案】B

4．【答案】A

5．【答案】C

6．【答案】C

7．【答案】D

8．【答案】A

9．【答案】ABC

对于A，因为，，

所以，得，所以A正确，

对于B，因为5×75%=3.75，所以借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的上四分位数为5.7，所以

B正确，对于C，因为0.24>0，所以y与x的线性相关系数r>0，所以C正确，

对于D，由选项A可知线性回归方程为当x=6

所以七月的借阅量约为6. 12百册，所以D错误，

10．【答案】ABD

解析：

，

因为，所以，故A正确，

因为的对称中心与函数的对称中心相同，故可求得的对称中心

为故B正确，

若递增，则

所以的单调递增区间为和故C错误．

D选项，，

图像向右平移个单位，得到函数，与

解析式相同，图像重合．

故A、B、D正确，C错误．

11．【答案】BCD

解：对于选项A：因为四边形ABCD是正方形，所以，

又，所以，因为，所以，

所以，同理可证,又因为,所以，

又点M是面上的一个动点（包含边界），所以当M与A1重合时，

故A错误；

对于选项B：在正方体中：，

则又因为,，

所以，可知当M在线段上时，有故存在无数个点满足

故B正确；

对于选项C，截面为菱形，易得面积为.

对于选项D：以D点为原点，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

因为正方体的棱长为l，所以设

所以，,因为，

所以

化简得：，

所以点M的轨迹是一段圆弧，经计算D正确．故选BCD.

12．【答案】ACD

【详解】因为则

所以的图像是由的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位而得，则

在上单调递减，不妨设点是上的一点，则，即

，

故，则，所以（b,a）也是上的点，故的图像关于直线y=x

对称，

联立，解得，又与互为反函数，

所以与的图像也关于直线对称，因为分别是方程

和的根，所以画出函数，与的图像，如

图，

对于A，当且趋近于1时，由的性质可知趋于无穷大，则

，当时，，

因为，所以，则即

所以，则，即，则

由图像可知，与的图像的交点的横坐标落在区间中，

因为a是方程的根，即a为的图像的交点的横坐标，

所以，故，故A正确；

对于B，因为分别是方程和的根，

所以与的图像的交点为，与的图像的交点交点为，

又的图像关于直线y=x对称，所以与关于直线y=x对称，则

或，

所以，故故B错误；

对于C，当x=2时，，则；

当时，，由选项A知，则；

所以与的图像的交点的横坐标落在区间中，即，

又所以，故C正确；

对于D，因为是方程的根，则

所以，

当且仅当，即时，等号成立，而由选项C可知，即等号不成立，

所以，故D正确．故选：ACD.

13．【答案】l5

因为二项式的二项式系数之和为64，所以，

所以展开式的通项为，令，

则，所以展开式中的的系数是故答案为：15．

14．【答案】

解析：因为为锐角，且所以

，

15．【答案】

【解释】设则当且仅当时取等号.

当时，是等腰三角形，此时点O到切线l的距离等于

解法一：设切线l的方程为，则有，整理得：

联立得：

由相切得： 整理得：

联立①②解得

解法二：设点P的坐标为，切线l的方程为，则有①

又联立①②解得所以切线l的斜率.

16．【答案】

解：

故

则折成的三棱锥中，，，

即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c

则

此长方体的外接球是三棱锥的外棒球，球直径

又因为三棱锥是长方体切掉四个角，

故三棱锥

三棱锥四个侧面是全等的，

设内切球半径为，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的的四个小三棱锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积，

故则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为

17．解：  (1)

两式相减，得即，      …………2分

又时，满足上式       …………3分

是首项为3，公比为3的等比数列，

                 …………4分

(2)依题意，得 ……………………5分

当n为偶数时，

   ……………7分

当n为奇数时

…………9分

综上，…………10分

18．解：  (1)由正弦定理得：，即，

……………………2分

由余弦定理得：，………………．4分

………………．5分

 (2)锐角中，,由正弦定理得：， ………．6分    ………．7分

………9分

锐角三角形

解得   ………………10分

则 ………………………………………..11分

的范围是…………………………………．12分

19．解(1)记“乙班在项目A中获胜”为事件A，

由事件的对立性知，乙班在项目A中每局获胜的概率为，负的概率为……1分

则…….............................4分

所以乙班在项目A中获胜的概率为 ……………………………………………………5分

(2)记“乙班在项目B中获胜”为事件B

则，……………………..…………..6分

X的可能取值为0，1，2，由事件对立性和独立性知

则，……………………..…………..7分

，……………………..…………..8分

. ……………………..…………..9分

所以X的分布列为

……………………..…………..10分

所以乙班获胜的项目个数的数学期望为…………………………….……12分

20．解(1)证明：在平面中过点C作AC的垂线CD，在平面ABC中过点C作AC的垂线CE，面，，且AC为两平面的交线，故

故AC，CE，CD三条两两垂直，………………．1分

建立以点C为坐标原点，直线CA，CE，CD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图所示，则

……4分

, ………………5分

(2)

，即，………………6分

所以则…………..………7分

在(1)问建系基础上，

设面的法向量

由取 ……………9分

，

设面法向量

由取 ……………………10分

设二面角的大小为，依图可知

所以，

所以二面角的余弦值为………………………..12分

21．解(1)设,由题意，得………………2分

两边平方并整理，得

故曲线C的方程为……..……．．4分

(2)设,，

设直线l的方程为与椭圆E的方程联立，

得，………………………………．5分

,，

………………7分

直线l的方程与曲线C的方程联立,得，

,……………．9分

……………………10分

要使为定值，则，即

故当为定值时，实数应满足……………………12分

22．证明：（1）当a=e时，原式化为即…..………1分

先证,令，则

当时，，当时，

，，同理 …….……3分

,．故原式得证．…………………4分

(2)设直线l分别与、相切于点、，

，………………5分

，………6分

………..7分

消去得

令，得

令………….……8分

要证两函数有且只有两条公切线，即证h(t)在上有且只有两个零点．

恒成立，

在上单调递增， ………………………………9分

在上有唯一零点,且

当时，，当时，…………………10分

………11分

又时，，时，

在和上分别存在一个零点，故有且只有两个零点，故原命题得证．……………12分