2023年中考数学二轮复习必会几何模型剖析--5.6 “瓜豆”模型（相似模型）（精品课件）

这是一份2023年中考数学二轮复习必会几何模型剖析--5.6 “瓜豆”模型（相似模型）（精品课件），共24页。PPT课件主要包含了直线线段型轨迹，圆型运动轨迹，∴0CO´B，∴∠BFH30º，∴QMPOr，AP2AQ，两定三动求轨迹，定角定比，CE⊥BC，种圆得圆等内容，欢迎下载使用。

“主从联动模型”在网络上也叫“瓜豆模型”,出自成语“种瓜得瓜,种豆得豆”.在这一类动点问题中,一个动点随另一个动点的运动而运动,我们把它们分别叫做从动点和主动点,从动点和主动点的轨迹是一致的,即所谓“种瓜得瓜,种豆得豆”.解决这一类问题通常用到旋转和放缩,也就是我们常说的全等型和相似型的手拉手模型.
【引例】如图,△APQ是等腰直角三角形,∠PAQ=90º且AP=AQ,当点P在直线BC上运动时,求Q点轨迹?
【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话,P、Q轨迹是同一种图形.
当确定轨迹是线段的时候,可以任取两个时刻的Q点的位置,连线即可.
比如Q点的起始位置和终点位置,连接即得Q点轨迹线段.
【例1】如图,正方形ABCD的边长为2,动点E从点A出发,沿边AB向终点B运动,以DE为边作正方形DEFG(点D、E、F、G按顺时针方向排列).在点E的整个运动过程中,点F经过的路径长为______.
【简答】易证△ADE∽△BDF,因此∠FBD=90º.
∵E点运动路径长为AB.
1.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),点B为y轴正半轴上一动点,连接AB,以AB为一边向下作等边△ABC,连接OC,则OC的最小值为____.
【方法一】将OA顺时针旋转60º到O´A.
∴O´B的最小值为0´B´的长2.
易证△OAC∽△O´AB.
易证△0´0A为等边三角形.
过点O作O´B´⊥y轴,O´B´≤O´B.
由△ABO≌△AC´C"易推得∠0C"C=60º.
当点C在y轴上时,即C"(0, ).
当OC⊥C´C"时,OC最小.
直线C´C"就是C点运动轨迹所在的直线.
2.如图,△ABC中,∠ACB=90º,∠A=30º,BC=2,D是AB上一动点,以DC为斜边向上作等腰Rt△DCE,使∠CED=90º,连接BE,求BE的最小值.
【分析】E是由D绕C点逆时针旋转45º并缩小为√2/2倍得到的,因此如果把△ABC绕着C点逆时针旋转45º,并缩小为√2/2倍得到△GFC,则FG就是E点的运动轨迹.
【简答】分别以BC,AC为斜边构造等腰直角△BFC,△AGC.
易证明△ACD∽△GCE,△FCG∽△BCA,
∴△CFE∽△CBD,
∴∠CFE=∠CBD,
∴∠CFE=∠CFG=60º,
∴F,E,G三点共线,
【引例】如图,已知A是⊙O外一点,P是⊙O上的动点,线段AP的中点为Q,连接OA,OP.若⊙O的半径为2,OA=4,则线段OQ的最小值是( 　 ) A.0 B.1 C.2 D.3
【思考】当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是？
解：连接AO,取AO的中点M,连接QM,PO.
∴QM是△APO的中位线.
∴QM=0.5PO=0.5r.
∴点Q在以M为圆心,0.5r为半径的圆上.
古人云：种瓜得瓜,种豆得豆.种圆得圆,种线得线，谓之“瓜豆原理”.
【关键】根据图中的主动点和从动点，找出主从动点的运动路径.
【变式1】如图,P是半径为r的⊙O上一个动点,A为定点, 连接AP,作AQ⊥AP且AQ=AP.
解：连接AO,过点A作AM⊥AO,使AM=AO,连接OP,MQ,
易证△APO≌△AQM(SAS).
∴Q在以点M为圆心,r为半径的圆上.
易证△APO∽△AQM.
∴QM:PO=AQ:AP=1:2
∴Q在以点M为圆心,0.5r为半径的圆上.
∴QM=0.5PO=0.5r
【变式2】如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,以AP为边作等边△APQ.
解：连接AO,将AO绕点A逆时针旋转60º得AM,连接OP,MQ,
解：连接AO,将AO绕点A逆时针旋转45º得AM,连接OP,MQ,
以AP为斜边作等腰直角△APQ.
【考虑】当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?
【总结】为了便于区分动点P,Q,可称点P为主动点,点Q为从动点.此类问题的必要条件(两个定量)：主、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值)；主、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值)．
(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠OAM=∠PAQ；
(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.按以上两点即可确定从动点轨迹圆,Q与P的关系相当于旋转+伸缩.
古人云：种瓜得瓜,种豆得豆.种圆得圆,种线得线,谓之“瓜豆模型”.
【例1】平面内两定点A、B之间的距离为8,P为一动点,且PB=2,连接AP,并且以AP为斜边在AP的上方作等腰直角△APC,如图,连接BC,则BC的最大值与最小值的差为________.
1.如图,四边形ABCD中,BC=4,∠BAC=∠ADC=90º,AD=CD,则BD的最大值为__
【简答】取BC的中点E，连接AE，则AE=2，以EC为斜边，向上构造等腰直角△ECF如图，连接FD、FB，易证△AEC△DFC，相似比为√，DF=压，过F作FHLBC，易求得BF=√i⑥，因此BD≤BF+FD=√10+√2.
2.如图,正方形ABCD中,AB=4,B,F分别是AB、AD上的动点,AE=DF,连接DE,CF交于点P,过P作PK∥BC,且PK=2,当∠CBK的度数最大,BK=______.
【简答】易证∠DPC=90º,∴点P在以CD为直径的⊙O上运动,由于K是由P向右平移2个单位得到的,∴K在⊙Q上运动,当BK⊥QK时,∠CBK最大,此时BK=B´C=-6.如果题目是解答题,书写过程不能出现“瓜豆原理,主从联动”等字样,要利用相似去进行规范书写证明.
两个动点与定点连线的夹角确定不变为α主动点、从动点与定点的两连线的比为定值K一个定点保持不动(无定不瓜豆)—旋转中心
从路径相似于主路径(且位似)其相似比为K从路径=K·主路径(秒杀公式)从路径：看作主路径绕定点旋转定角并按照定比缩放形成
【条件】三定两动---三定：定点；定角；定比。如图：O为定点；∠POQ为定角；QO：PQ=K(为定值)两动：P、Q为两个动点,P为主动点,Q为从动点.(捆绑运动)【问题】通过P点的轨迹求得Q点的轨迹.【结论】点P的运动轨迹与Q的运动轨迹形状相同(相似,且位似).Q的轨迹的长度：P的运动轨迹=K(定比)即：Q的轨迹的长度=K·P的运动轨迹【瓜豆原理】种瓜得瓜；种豆得豆.满足“三定两动”条件的两个动点的轨迹：相似、位似.且从动点的轨迹=主动点的轨迹·定比(K).定比K为两轨迹的相似比！ 上述模型在数学江湖中也被称作“捆绑动点轨迹模型”
1.如图,在平面直角坐标系中,△ABC为等腰直角三角形,点A(0,3),B(-3,0),点D是x轴上一个动点,从点B开始向右运动,以AD为一直角边在其右侧作等腰直角△ADE,∠DAE=90º,若△ABD为等腰三角形,则点E的坐标为__________________.
先证△ABD≌△ACE
∠ACE=∠ABD=45º
【分析】1.先画出Rt△ABP的起始位置,和终止位置；2.在再证明△AP1P2∽△AB1B2；3.点B的运动轨迹是线段B1B2.
3.如图所示,AB=4,AC=2,以BC为底边向上构造等腰直角△BCD,连接AD并延长至点P,使AD=PD,则PB的取值范围为_______.
【分析】固定AB不变,AC=2,则点C的轨迹是以A为圆心,2为半径的圆,以BC为斜边作等腰直角△BCD,则点D的轨迹是以点M为圆心、 为半径的圆.∵AP=2AD,故点P轨迹是以N为圆心， 为半径的圆，即可求出PB的取值范围.
4.如图,点P(3,4),圆P半径为2,A(2.8,0),B(5.6,0),点M是圆P上的动点,点C是MB的中点,则AC的最小值是_____.
5.如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90º,AB=3,点D在BC上,以AD为边向右作正方形ADEF,连接BF,若∠FBC=30º,则BD=____.6.如图,等边△ABC的边长为8,点D为AB边上一动点,DE始终平行于BC,MN为△ADE的中位线,现将点D开始沿AB方向移动,移动到点B处停止,在整个移动过程中线段MN扫过的面积是_____.
△ABD≌△ACF,BD=FC
7.如图,△ABC是边长为4的等边三角形,AD为BC边上的高,点E为线段AD上一动点,连接EF,CE,将CE绕点C逆时针旋转60º得到线段CF,连接DF.△CEF的周长的最小值为____,DF的最小值是_____.
【方法一】连接BF,可得△CFB≌△CAE,∴∠CBF=∠CAE=30º,∴点F在射线BF上，当DF⊥BF时，DF最短，
【方法二】取AC的中点G,连接EG,可得△CFD≌△CEG,∴DF=EG,由垂线段最短得:当GE⊥AD时GE最短,即DF最短。