2023届四川省攀枝花市高三下学期第三次统一考试理科数学试题含答案

  攀枝花市2023届高三第三次统一考试

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．如果—个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（i为虚数单位）为“等部复数”，则实数的值为（    ）

A． B．－1 C．0 D．1

3．攀枝花昼夜温差大，是内陆地区发展特色农业的天然宝地，干热河谷所孕育的早春蔬菜为大家送去新鲜优质的维生素和膳食纤维，下图为攀枝花2023年3月6日至12日的最高气温与最低气温的天气预报数据，下列说法错误的是（    ）

A．这7天的单日最大温差为17度的有2天 B．这7天的最高气温的中位数为29度

C．这7天的最高气温的众数为29度 D．这7天的最高气温的平均数为29度

4．如图所示的程序框图中，若输出的函数值在区间内，则输入的实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．的展开式中，常数项是（    ）

A．10 B．－10 C．9 D．－9

6．对于直线和平面α，β，下列命题中正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

7．已知α为锐角，，角的终边上有一点，则（    ）

A．2 B． C． D．

8．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设、、、三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学报名参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学报名，则甲和乙都没选择A门课程的不同报名种数为（    ）

A．12 B．14 C．16 D．18

9．“绿水青山就是金山银山”理念已经成为全党全社会的共识和行动，工业废水中的某稀有金属对环境有污染，甲企业经过数年攻关，成功开发出了针对该金属的“废水微循环处理利用技术”，废水每通过一次该技术处理，可回收20%的金属．若当废水中该金属含量低于最原始的5%时，至少需要循环使用该技术的次数为（    ）（参考数据：）

A．12 B．13 C．14 D．15

10．已知函数对任意都有，则当取到最大值时，图像的一条对称轴为（    ）

A． B． C． D．

121．已知双曲线：的左、右焦点分别为、，过作直线，使得它双曲线的一条渐近线垂直且垂足为点Q，与双曲线的右支交于点，若线段PQ的垂直平分线恰好过C的右焦点，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

12．定义在R上的连续可导函数的导函数为，满足，且为奇函数．当时，，则（    ）

A．－5 B．－2 C．－1 D．1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若实数，满足，则的最大值为______．

14．已知抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点，为坐标原点，则______．

15．如图，圆台中，，其外接球的球心在线段上，上下底面的半径分别为，，则圆台外接球的表面积为______．

16．如图，圆的内接四边形ABCD中，与相交于点，平分，，．则的面积为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17．（12分）

某企业从生产的一批产品中抽取100个作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图．

（1）求这100件产品质量指标值的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；

（2）已知某用户从该企业购买了3件该产品，用表示这3件产品中质量指标值位于内的产品件数，用频率代替概率，求X的分布列和数学期望．

18．（12分）

已知等差数列的公差为，前n项和为，现给出下列三个条件；①，，成等比数列；②；③．请你从这三个条件中任选两个解答下列问题．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，且，设数列的前n项和为，求证：．

19．（12分）

如图1，圆的内接四边形ABCD中，，，直径．将圆沿AC折起，并连接OB、OD、BD，使得△BOD为正三角形，如图2．

（1）证明：图2中的平面BCD；

（2）在图2中，求二面角O-BD-C的余弦值．

20．（12分）

已知椭圆C的焦点坐标为和，且椭圆经过点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）椭圆C的上、下顶点分别为点M和N，动点A在圆，动点B在椭圆C上，直线MA、MB的斜率分别为、，且．

（ⅰ）证明：N、A、B三点共线；

（ⅱ）求外接圆直径的最大值．

21．（12分）

已知函数在处的切线方程为

（1）求实数，的值；

（2）设函数，当时，的值域为区间的子集，求的最小值．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选—题作答．如果多做，则按所做的第—题记分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线：，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求，的极坐标方程；

（2）若射线分别与曲线，相交于，两点，求的面积．

23．[选修4-5；不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）解不等式；

（2）设函数的最小值为c，正实数，满足，求的最小值．

攀枝花市2023届高三第三次统一考试数学（理科）

参考答案

一、选择题：（每小题5分，共60分）

二、填空题：（每小题5分，共20分）

13．2 14．－3 15． 16．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17、（本小题满分12分）

解：（1）由已知得：

．

因为．所以中位数在第二组，设中位数为

则，解得．

（2）因为购买一件产品，其质量指标值位于内的概率为0.4，

所，且，1，2，3．

，

，

，

，

所以的分布为

∴．

18．（本小题满分12分）

（1）解：由条件①得，因为，，成等比数列，则，

即，又，则，

由条件②得，即，

由条件③得，可得，即．

若选①②，则有，可得，则；

若选①③，则，则；

若选②③，则，可得，所以．

（2）证明：由，且，

当时，则有

又也满足，故对任意的，有，

则，

所以，

由于单调递增，所以，

综上，．

19．（本小题满分12分）

解：（1）由题意得到，，所以．

由勾股定理的逆定理，得到．

为直径所对的圆周角，所以．

又∵，∴平面．

（2）由（1）同理可得平面．

以点为坐标原点，平行于DC的直线为x轴，BA为y轴，BD为轴建立空间直角坐标，，，，；

设平面BOD的法向量为，由．

再由（1）知平面BCD的法向量为，

设二面角O-B-C为，则．

注：亦可取BD中点E及BC中点F，连接OE，OF，EF，在△OEF中用几何法求解，相应给分．

20．（本小组题满分12分）

解（1）易知椭圆的．

∵点G在椭圆上，且，∴．

由得，∴椭圆C的标准方程为：．

（2）（ⅰ）法一：设，，根据对称性不妨假设A，B都在的左侧

设直线：，

将代入得

所以，．

设直线：，

将代入得，

所以，．

所以，所以．

又MN为圆的直径，∴．

故N，A，B三点共线．

法二：．

由得：．

MN为圆的直径，∴，∴．

故N，A，B三点共线．

（ⅱ）由（ⅰ）可知为直角三角形，其外接圆的直径为线段MB．

又因为．

当且仅当时，取最大值

综上，外接圆直径的最大值为．

21．（本小题满分12分）

解：（1）定义域为，．

由题意知，解得，．

（2），

则．

令，其中，则，

所以函数在上单调递增．

因为，，所以存在唯一，

使得，即，可得．

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减．

所以，当时，

即，因为，

．

所以当时，，

即，．

所以，即的最小值为1．

请考生在22-23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（1）依题意得，化简整理得：．

令，，化简得．

对于，化简得：．

（2）设，

依题意得，解得，

，解得

∴

设到射线的距离为，∵，解得

∴．

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：（1）当时，不等式可化为．∴

当时，不等式可化为．∴．

当时，不等式可化为．∴．

综上所得，原不等式的解集为．

（2）由绝对值不等式性得，

∴，即．

所以．

当且仅当，时取到等号．