广东省2023届高考一模考试数学试题及参考答案

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★启用前注意保密2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一）数学本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的市（县､区）､学校､班级､姓名､考场号､座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（    ）A.    B.C.    D.2.已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ）A.    B.    C.    D.3.已知函数若，则实数的取值范围是（    ）A.    B.    C.    D.4.如图所示是中国2012-2021年汽车进､出口量统计图，则下列结论错误的是（    ）A.2012-2021年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的B.从2018年开始，中国汽车的出口量大于进口量C.2012-2021年中国汽车出口量的第60百分位数是106万辆D.2012-2021年中国汽车进口量的方差大于出口量的方差5.在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点对应的点为点，则点与点之间距离的最小值为（    ）A.    B.    C.    D.6.如图，在两行三列的网格中放入标有数字的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有（    ）A.96种    B.64种    C.32种    D.16种7.已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（    ）A.    B.    C.    D.8.水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（    ）A.4    B.    C.    D.6二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在时刻相对于平衡位置的高度可以田确定，则下列说法正确的是（    ）A.小球运动的最高点与最低点的距离为B.小球经过往复运动一次C.时小球是自下往上运动D.当时，小球到达最低点10.在四棱锥中，平面，四边形是正方形，若，则（    ）A.B.与所成角为C.与平面所成角为D.与平面所成角的正切值为11.已知拋物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（    ）A.若为的中线，则B.若为的角平分线，则C.存在直线，使得D.对于任意直线，都有12.已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（    ）A.是“封闭”函数B.定义在上的函数都是“封闭”函数C.若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数D.若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13.已知向量满足，则与的夹角为__________.14.在平面直角坐标系中，等边三角形的边所在直线斜率为，则边所在直线斜率的一个可能值为__________.15.已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，为偶函数，若在上恰好有4个不同的实数根，则__________.16.已知动圆经过点及原点，点是圆与圆的一个公共点，则当最小时，圆的半径为__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）在中，角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.18.（12分）已知各项都是正数的数列，前项和满足.（1）求数列的通项公式.（2）记是数列的前项和，是数列的前项和.当时，试比较与的大小.19.（12分）如图所示的在多面体中，，平面平面，平面平面，点分别是中点.（1）证明：平面平面；（2）若，求平面和平面夹角的余弦值.20.（12分）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.21.（12分）已知点，点和点为椭圆上不同的三个点.当点，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形.（1）求椭圆标准方程；（2）若为原点，且满足，求的面积.22.（12分）已知函数.（1）求的极值；（2）当时，，求实数的取值范围.★启用前注意保密2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一）数学参考答案评分标准：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BCDDCBAC二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案BDACDADBC三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13.    14.（或）    15.24    16.5四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为，所以，整理得，由正弦定理得，由余弦定理得，因为，所以.（2）在中，因为，所以，所以，所以，所以，所以的取值范围为.18.解：（1）当时，，所以或（舍去），当时，有两式相减得，整理得，因为的各项都是正数，所以，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以.（2）由（1）得，则，所以，由（1）得所以，因为，所以，故，所以当时，.19.解：（1）如图，取中点，连接，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，所以，又因为平面平面，所以平面，因为点分别是中点，所以，又因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）方法一：因为，所以，由（1）知平面平面，所以所以两两相互垂直，如图，以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，因为，所以，则，平面的一个法向量为，设平面的法向量为，由，得即解得取，得，设平面和平面的夹角为，则，所以平面和平面的夹角的余弦值为.方法二：因为平面平面，所以平面和平面的夹角即二面角.如图，过点作，垂足为点，过点作交于点，则为二面角所成平面角.在Rt中，，在Rt中，，在直角梯形中，，所以在中，，所以，利用三角形等面积可得，所以因为，所以，过点作于，则，所以，在中，，所以，所以平面和平面夹角的余弦值为.20.解：（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为，因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，所以的所有可能取值为，则，所以的分布列为012所以的数学期望为.（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为，则，，，所以的分布列为012所以的数学期望为.（3）（答案不唯一，选择符合商场老板的预期即可）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的大，即，第（1）不中奖的概率比第问小，即，回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽.回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖.21.解：（1）当点，点和点为椭圆的顶点时，恰好构成边长为2的等边三角形，①当点，点和点中有两个点为上顶点和下顶点，一个点为左顶点或右顶点时，不妨设点，点为上顶点和下顶点，点为右顶点，此时，，②当点，点和点中有一个点为上顶点或下顶点，两个点为左顶点和右顶点，不妨设点，点为左顶点和右顶点，点为上顶点，此时，（舍去），所以椭圆的标准方程为.（2）设，因为，所以，①当直线斜率不存在时，即，则，因为点在椭圆上，所以，则有，所以，点到的距离为，此时.②当直线斜率存在时，设直线方程为，联立得消去整理得，满足，由韦达定理得，所以，所以，又因为点在椭圆上，所以，化简得，所以，所以点到直线的距离，所以综上所述，的面积为.22.解：（1）求导得，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以有极小值，无极大值.（2）方法一：由题知不等式在上恒成立，则原问题等价于不等式在上恒成立，记，则，记，则恒成立，所以在上单调递增，又，所以存在，使得，即当时，，此时；当时，，此时，所以在上单调递减，在上单调递增，由，得，即，所以，①当时，因为，所以不等式恒成立，所以；②当时，因为存在，使得，而，此时不满足，所以无解.综上所述，.（2）方法二：由题知不等式在上恒成立，原问题等价于不等式在上恒成立，即在上恒成立.记，则，当单调递减，单调递增，因为即，①当时，因为，所以不等式恒成立，所以；②当时，令，显然单调递增，且，故存在，使得，即，而，此时不满足，所以无解.综上所述，.