2023届陕西省咸阳市高考模拟检测（二）理科数学试题及参考答案

咸阳市2023年高考模拟检测（二）

数学（理科）试题

注意事项：

1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟

2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z满足，那么

A．1     B．     C．     D．2

2．已知集合，，那么

A．  B．   C．   D．

3．某商场要将单价分别为36元/kg，48元/kg，72元/kg的3种糖果按3:2:1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等．那么该商场对混合糖果比较合理的定价应为

A．52元/kg    B．50元/kg    C．48元/kg    D．46元/kg

4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有以下四个命题：

①若，，则     ②若，，则

③若，，则     ④若，，，则

其中正确的命题是

A．②③     B．②④     C．①③     D．①②

5．函数的大致图像为

A．  B．  C．  D．

6．已知函数，当时，取得最小值，则的最小值是

A．     B．     C．     D．

7．数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图像上，（且），则数列的前n项和为

A．  B．   C．  D．

8．已知直角三角形ABC，，，，现将该三角形沿斜边AB旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为

A．     B．     C．    D．

9．巴塞尔问题是一个著名的级数问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由莱昂哈德·欧拉在1735年解决．欧拉通过推导得出：．某同学为了验证欧拉的结论，设计了如图的算法，计算的值来估算，则判断框填入的是

A．   B．   C．   D．

10．2022年卡塔尔世界杯足球赛落幕，这是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．有甲，乙，丙，丁四个人相互之间进行传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过三次传球后乙只接到一次球的概率为

A．     B．     C．     D．

11．已知双曲线C：，c是双曲线的半焦距，则当取得最大值时，双曲线的离心率为

A．    B．    C．     D．

12．已知实数，…，对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是

A．    B．    C．   D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．二项式的展开式中的系数为              ．

14．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为45°，则线段AB的中点到x轴的距离是              ．

15．已知非零向量，，满足，，的夹角为120°，且，则向量，的数量积为              ．

16．如图，已知在扇形OAB中，半径，，圆内切于扇形OAB（圆和OA、OB、弧AB均相切），作圆与圆、OA、OB相切，再作圆与圆、OA、OB相切，以此类推．设圆、圆……的面积依次为，……，那么              ．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求△ABC的周长．

18．（本小题满分12分）

如图，直四棱柱的底面是菱形，，，E，M，N分别是BC，，的中点．

（Ⅰ）证明：MN∥平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

19．（本小题满分12分）

2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．

（Ⅰ）甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率；

（Ⅱ）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望．

20．（本小题满分12分）

椭圆C：的左、右焦点分别为、，且椭圆C过点，离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若点是椭圆上任一点，那么椭圆在点M处的切线方程为．已知是（Ⅰ）中椭圆C上除顶点之外的任一点，椭圆C在N点处的切线和过N点垂直于切线的直线分别与y轴交于点P、Q．求证：点P、N、Q、、在同一圆上．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的零点；

（Ⅱ）对于任意的，恒有，求实数a的取值范围．

（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C交于P，O两点，且点，求的值．

23．（本小题满分10分）【选修4-5·不等式选讲】

已知，．

（1）若，求不等式的解集；

（Ⅱ），若图像与两坐标轴围成的三角形面积不大于2，求正数m的取值范围．

咸阳市2023年高考模拟检测（二）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．B 2．C 3．D 4．A 5．B 6．C 7．D 8．C 9．D 10．D 11．A 12．A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．－80 14．3 15．0 16．

三、解答题；共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．解：

（Ⅰ）由题意在△ABC中，，

∴，

∴，

∵，

∴．

（Ⅱ）由题意及（Ⅰ）得

在△ABC中，，

由正弦定理可得，

，又由（Ⅰ）得，

∴；

由余弦定理可得，

∴，

∴，

∴△ABC的周长为：．

18．解：

（Ⅰ）连接ME，，

∵M，E分别为，BC中点，

∴ME为的中位线，

∴且，

又N为中点，且，

∴且，

∴，

∴四边形MNDE为平行四边形，

∴，又平面，平面，

∴MN∥平面．

（Ⅱ）设，，

由直四棱柱性质可知：平面ABCD，

∵四边形ABCD为菱形，

∴，

则以O为原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，

则：，，，，

取AB中点F，连接DF，则，

∵四边形ABCD为菱形且，

∴△BAD为等边三角形，

∴，

又平面ABCD，平面ABCD，

∴，

∴平面，即DF⊥平面，

∴为平面的一个法向量，且，

设平面的一个法向量为，

又，，

∴，令，则，，

∴平面的一个法向量为

∴，

∴，

∴二面角的正弦值为：．

19．解：

（Ⅰ）甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，

最终甲以11：9赢得比赛的概率为：．

（Ⅱ）设甲累计得分为随机变量X，X的可能取值为0，1，2，3．

，

，

，

，

∴随机变量X的分布列为：

∴．

20．解：

（Ⅰ）由已知得，，

即椭圆C：．

（Ⅱ）由题意知：过点的椭圆的切线方程为，

令，则；

∵且，则设直线NQ方程为，

令，则；

又，，

则；；

即，，

∴，

即点N、P、Q、、在以PQ为直径的圆上．

21．解：

（Ⅰ）当时，，得，

令，则，

，即，所以在R上单调递增，

注意到，故有唯一的零点0．

（Ⅱ）

注意到，只要即可，，

令，则，

当时，，有，即，符合题意；

当时，，

若，即时，，此时，即，符合题意；

若，即时，在上单调递减，在上单调递增知，

∴，不合题意，综上．

（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．解：

（Ⅰ）曲线C（t为参数），消去t得它的普通方程为，

直线l：化为直角坐标方程为．

（Ⅱ）直线l：化为参数式为（t为参数），

与联立得，即．

∴，

∴．

23．解：

（Ⅰ）当时，

，即或或，

解得或，

即不等式的解集为．

（Ⅱ），如图所示

图像与两坐标轴交于点，，

，

依题意，即．