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2023届山东省临沂市高三二模数学试题
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这是一份2023届山东省临沂市高三二模数学试题，共21页。
2023 年普通高等学校招生全国统一考试( 模拟)
数 学
2023．5
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 。 回答非选择题时，将答案写在答题卡 上 。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．
1．集合 A＝ { 1，2，3，4 }，B＝ { x |－1 ≤log2 2x ≤2 }，则 A ∩B＝
A．{ 1，2 } B．{ x | 1 ≤x ≤4 } C．{ x | ≤x ≤2 } D．{ 2，3，4 }
2．i 为虚数单位，若＝1＋2i，则实数 a＝
A．2 B． 2 C． 3 D．－2
3．若向量 a＝( m，1 )，b＝(－1，3)，则“m＝1”是“a⊥( a－b) ”的
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．若 a＞0，b＞0，且＋＝1，则 a＋b 的最小值为
A．2 2－1 B．2 2＋2 C．2
5．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱， 俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每 珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在百 位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字 170．若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再 随机选择两个档位各拨 一 颗下珠，则所拨数字小于 200 的
D．4
概率为
A． B． C． D．
6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，若在此三角形内挖去一个以 C 为圆心、 圆弧与 AB 相切的扇面，则图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得几何体的表面积为
—4 2
A
C．15π D．3π
4 C B
A．2π B．
7．已知椭圆＋＝1( a＞b＞0) 的左焦点为 F，上顶点为 A．若存在直线 l 与椭圆交于不同的
两点B，C，△ABC 的重心为 F，则 l 的斜率的取值范围是
A．( － 2 0) B．[ －3 0) C．(－1 0) D．[－2 0)
， 2 ， ， ，
A 1 B 1 C1 D 1 E1 F1，上 部 分 的 形 状 是 侧 棱 长 为 3 m 的 正 六 棱 锥 F AB C
8．现有一个帐篷，下部分的形状是高为 1 m 的正六棱柱 ABCDEF－ E0 D
A 1 B 1 C1 D 1 E1 F1 所成角的正弦值为 F1 A1 B1 C1
O－ABCDEF，如 图．当 该 帐 篷 的 体 积 最 大 时，直 线 OA 与 底 面 E1 D 1
A． B． C． D．
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．某兴趣小组研究光照时长 x ( h) 和向日葵种子发芽数量y( 颗) 之
间的关系，采集 5 组数据，作如图所示的散点图．若去掉D( 10，2) 后，下列说法正确的是
A．相关系数 r 变小
B．决定系数 R2 变大
C．残差平方和变小
D．解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强
y
E ⃞8 ⃞ 11⃞
B ⃞2 ⃞ 6 ⃞
C ⃞3 ⃞ 5 ⃞
A ⃞1 ⃞ 4 ⃞
D ⃞10 ⃞ 2 ⃞
0 Y
10．已知函数f( x )＝A sin ( ωx＋φ) ( A＞0，ω＞0，0＜φ＜π ) 在一个周期内的图象如图，则
A．f( x )＝ 2sin ( x＋)
2 ，
B．点(－π 0) 是一个对称中心
C．f( x ) 的单调递减区间是[3k π－，3k π＋] ( k ∈Z)
y
2
Y
0 T T
D．把函数 y＝2sinx 的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位，可得f( x ) 的图象
11．一 口袋中有除颜色外完全相同的 4 个红球和 3 个白球，从中无放回的随机取两次，每次 取 1 个球，记事件 A 1：第一次取出的是红球；事件 A2：第一次取出的是白球；事件 B：取出 的两球同色；事件 C：取出的两球中至少有一个是白球．则
A．事件 A 1，A2 为互斥事件
C．P( B)＝
B．事件 B，C 为独立事件
D．P( C | A 1 )＝
k
12．设定义在 R 上的函数f( x ) 与g( x ) 的导函数分别为f′( x ) 和g′( x )，若f( x )－g(4－x )＝ 1， g ′( x )＝f ′( x－2)，且f( x＋2) 为奇函数，则
2023
B． f( k )＝ 0
＝1
D．k(2)1(3)g( k )＝ 0
A．∀x∈R，f( x＋2)＋f(－x )＝ 0
C．g(3)＋g(5)＝－2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知( x－) n 的展开式中二项式系数和为 64，则 x－3 的系数为 (用数字作答)．
14．某工厂为研究某种产品的产量 x ( 吨) 与所需某种原材料y( 吨) 的相关性，在生产过 程中收集了对应数据如下表：
x
3
4
5
6
y
2
m
3．8
5
根据表中数据，得出 y 关于 x 的经验回归方程为y^＝0．6x＋0．75，则 m＝ ． 15．“ 中国剩余定理”又称“ 孙子定理”，讲的是一个关于同余的问题．现有这样一个问
题：将正整数中能被 3 除余 2 且被 2 除余 1 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 { an }，则其前 10 项和 S 10＝ ．
16．已知双曲线－＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过右焦点 F2 且倾斜角为的直线 l 与该双曲线交于 M，N 两点( 点 M 位于第一象限)，△MF1 F2 的内切圆 O 1 的半径为 R 1，
△NF1 F2 的内切圆 O2 的半径为 R2，则点 O 1 的横坐标为 ，＝ ( 第一空 2 分，
第二空 3 分)．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10 分)
已知数列{ an } 的前 n 项和为 Sn，Sn＝2an－1．
(1) 求{ an } 的通项公式；
(2) 从下面两个条件中选择一个作为条件，求数列{ bn } 的前 n 项和 Tn．
①bn＝(2n－1) an； ②bn＝．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18．(12 分)
记△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b＝．
(1) 证明：A＝2B；
(2) 若 b＝1，求 a＋c 的取值范围．
19．(12 分)
如图 ①，在 ▱ABCD 中，AD ＝ 2AB ＝ 4， ∠A＝60°，E 为 AD 的中点．沿 BE 将△ABE 折起，点 P在线段AD 上，如图②．
A E D
B C
B
A
P
E
D
C
(1) 若AP＝2PD，证明：AB∥平面 PEC；
(2) 若平面ABE ⊥ 平面 BCDE，是否存在点 P，使得平面 AEC 与平面 PEC 的夹角为 30°？ 若存在，求点 P 的位置；若不存在，说明理由．
20．(12 分)
甲流和普通感冒都属于上呼吸道感染，而甲流是流行性感冒中致病力最强的一种流 感，在医学检测中发现未接种过流感疫苗者感染该病毒的比例较大．某医院选取 200 个有 感冒症状的就诊患者作为样本，统计了感染甲流病毒的情况，得到下面的列联表：
接种流感疫苗与否／人数
感染甲流病毒
未感染甲流病毒
未接种流感疫苗
30
70
接种流感疫苗
10
90
(1) 根据小概率值 α＝0．001 的独立性检验，判断感染甲流病毒与接种流感疫苗是否 有关？
(2) 以样本中感染甲流病毒的频率估计概率，现从该医院所有感冒症状就诊者中随机 抽取 3 人进行感染甲流病毒人数统计，求至多有 1 人感染甲流病毒的概率；
(3) 该医院某病房住有 3 位甲流密切接触的病人，医院要对该病房的人员逐一进行甲 流病毒检测，若检测结果出现阳性，则该病房人员全部隔离．假设该病房每位病人检测结果 呈阳性的概率均为p(0＜p＜1) 且相互独立，记该病房至少检测了2 位病人才确定需要隔离 的概率为f( p)，求当p 为何值时，f( p) 最大？
( a＋b ) ( c＋d ) ( a＋c ) ( b＋d )
附：χ2＝ n ( ad－bc ) 2
P(χ2 ≥k )
0．10
0．05
0．01
0．001
k
2．706
3．841
6．635
10．828
21．(12 分)
设抛物线 C：y2＝2px( p＞0) 的焦点为 F，点 D( p，0)，过 F 的直线 l 交 C 于 A，B 两点．当 直线 AD 垂直于 x 轴时，| AF | ＝6．
(1) 求 C 的方程；
( 2) 若线段AB 的垂直平分线交 C 于 M，N 两点，且∠AMB＋∠ANB＝π，求直线l 的方程． 22．(12 分)
已知函数f( x )＝－exlnx，g( x )＝xex－ex ( x＞0)，h ( x )＝
(1) 求函数 h( x ) 的单调递减区间；
(2) 若 h ( x 1 )＝ h ( x2 )＝ h ( x3 )，x3＞x2＞x 1，且 x2＝mx 1，证明：当 m ∈ ( 1，e) 时， x2＋x3＜x 1＋1．
2023 年普通高等学校招生全国统一考试( 模拟)
数学试题参考答案及评分标准
2023．5
说明：
一、本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容参照评分标准酌情赋分．
二、当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可 视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如 果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．
1．A 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．B 8．D
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．BCD 10．BD 11．ACD 12．BC
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．240 14．3 15．320 16．4 3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：(1) 当 n＝ 1 时，S 1 ＝2a 1－1，得 a 1 ＝ 1． 1 分
∵ S ＝2a －1
，－1( n≥2) ，
两式相减得 Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即 an＝2an－2an－1，… … … … … … … … … … … … … 2 分
化简得＝2(n≥2)， … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 3 分
∴ { an } 是首项为 1，公比为 2 的等比数列， … … … … … … … … … … … … … … … … 4 分
∴ an＝2n－1． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5 分
(2) 若选条件①，则 b n ＝(2n－1) ·2n－1，
∴ Tn＝1× 20＋3× 2 1＋…＋(2n－1) ·2n－1， … … … … … … … … … … … … … … … … … … 6 分
2Tn ＝1× 2 1＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1) ·2n， … … … … … … … … … … … … … … … … … 7 分
∴ －Tn ＝1＋2×(2 1＋22＋…＋2n－1 )－(2n－1) ·2n … … … … … … … … … … … … … … … 8 分
＝1＋2×2( 11－2n－2－1 ) －(2n－1) ·2n
＝(3－2n ) ·2n－3， … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 9 分
∴ Tn ＝(2n－3) ·2n＋3．… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 10 分
若选②，则 bn＝＝＝( －)， … … … … … 7 分
∴ Tn＝×[ ( 1－)＋( －)＋…＋( －) ] … … … … … … … … … … … … 8 分
＝×( 1－)
＝． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 10 分
18．证明：(1)在△ABC 中，由 b＝得，c＝b＋2bcosA， … … … … … … … … … … 1 分
由正弦定理得：sinC＝sinB＋2sinBcosA， … … … … … … … … … … … … … … … … … … 2 分
又∵ A＝π－( B＋C)，
∴ sinC＝sin[ π－( A＋B) ] ＝sin( A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB， … … … … … … … … … 3 分
∴ sinAcosB＋cosAsinB＝sinB＋2sinBcosA，即 sinAcosB－cosAsinB＝sinB，
∴ sin( A－B)＝sinB， … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4 分
∵ 0＜sinB＝sin( A－B)，
∴ 0＜A－B＜A＜π， … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5 分
∵ B＋( A－B)＝A＜π，∴ B＝A－B，即 A＝2B；… … … … … … … … … … … … … … … … … 6 分
(2)解：由得 0＜B＜， … … … … … … … … … … … … … … … … … … 7 分
∴ ＜cosB＜1， … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8 分
由 b＝1 及正弦定理＝＝，得 a＝，c＝， … … … … … … … … … 9 分
∴ a＋c＝＝＝
2sinBcosB＋3sinBcos B－sin B23
＝ ＝2cosB＋3cos B－sin B22
sinB
4 4 ，
＝4cos2 B＋2cosB－1＝4( cosB＋ 1 ) 2－5 … … … … … … … … … … … … … … … … … 11 分
∵ 1 ＜cosB＜1
2 ，
∴ 1＜4( cosB＋) 2－＜5，即 1＜a＋c＜5，
即 a＋c 的取值范围为( 1，5)． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 12 分
19．解：(1)如图 1，连接 BD 与 CE 交于点 Q，连接 PQ，
∵ DE∥BC，DE＝BC，
BQ BC 2 ，
又∵ AP＝2PD，∴ DP＝DQ＝ 1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 2 分
∴ DQ＝DE＝ 1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 分
PA QB 2 ，
E
Q B
解得 λ＝或 λ＝2( 舍去) ．
P
E D
P
D
∴ AB∥PQ ，…………………………………………………………………………… 3 分
∵ PQ⊂平面 PEC，AB⊄平面 PEC，
∴ AB∥平面 PEC． …………………………………………………………………… 4 分
A
C
图1
z
A
0
B C
F
x y
图2
(2) 设 BE 中点为 O ，作 OF∥EC 交 BC 于 F，
， ， ，
∵ ∠A＝60° ED＝DC＝2 ∠D＝120°
，
∴ ∠BEC＝90°
∴ OF⊥BE．…………………………………………………………………………… 5 分
以 OB，OF，OA 分别为 x，y，z 轴建空间直角坐标系，如图 2．
则 B( 1 ，0，0) ，A(0，0 ，3 ) ，E(－1 ，0，0) ，C( －1 ，2 3 ，0) ，F(0 ，3 ，0) ， …………… 6 分
→ → → → →
∴ OD＝OE＋ED＝OE＋BF＝(－1 ，0，0) ＋(0 ，3 ，0)－( 1 ，0，0) ＝ ( －2 ，3 ，0) ， ∴ D( －2 ，3 ，0) ，
EC(→)＝(0，2 3 ，0) ，EA(→)＝( 1 ，0 ，3 ) ，…………………………………………………… 7 分
则 3(1) 令 z1 ＝1 ，得 x1 ＝－ 3 ，
∴ n＝( － 3 ，0，1) ，…………………………………………………………………… 8 分
设AP(→)＝λ AD(→)(0≤λ ≤1) ，EP(→)＝EA(→)＋AP(→)＝( 1 ，0 ，3 ) ＋λ ( －2 ，3 ，－ 3 ) ，
∴ EP(→)＝( 1－2 λ ，3 λ ，3 － 3 λ ) ，……………………………………………………… 9 分
设平面 PEC 法向量为 n2 ＝( x2 ，y2 ，z2 ) ，
设平面 AEC 法向量为 n＝( x1 ，y1 ，z1 ) ，
则 2λ
取 x2 ＝ 3 ( λ－1) ，则 z2 ＝ 1－2 λ ，
∴ n2 ＝( 3 ( λ－1) ，0，1－2 λ ) ， ……………………………………………………… 10 分
－3( λ－1) ＋( 1－2 λ ) 3
2 · 3( λ－1) 2＋( 1－2 λ ) 2 2 ，
∴ cos＜n 1 ，n2＞＝ ＝ ………………………………… 11 分
| 4－5 λ |
7 λ2－10λ＋4
，
∴ ＝ 3
∴ 2 λ2－5 λ＋2＝0
，
当 λ＝时，此时 P 为 AD 中点，平面AEC 与平面PEC 夹角为 30°． … … … … … 12 分
20．解：(1)假设为 H0：感染甲流病毒与接种流感疫苗无关，
由列联表可知χ2 的观测值
χ2＝＝＝12．5＞10．828＝x0．001， … … 2 分
根据小概率值 α＝0．001 的独立性检验，推断 H0 不成立，即认为感染甲流病毒与接种流
感疫苗有关．… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 3 分
200 5 ，
(2)由题意得，该医院所有感冒症状中感染甲流病毒的概率为30＋10＝ 1 … … … 4 分
设随机抽取的 3 人中至多有 1 人感染甲流病毒为事件 A，
则 P( A)＝ C 3(0)( ) 0 ( ) 3＋C3(1)( ) 1 ( ) 2＝； … … … … … … … … … … … … … … 7 分
(3)f( p)＝ (1－p) p＋(1－p) 2p＝p(1－p)(2 p)－＝p3－3p2＋2p， … … … … … … … … … … 9 分
则f′( p)＝ 3p2－6p＋2， … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 10 分
令f′( p)＝ 0，则 p 1＝，p2＝( 舍去)，… … … … … … … … … … … … … … … 11 分
随着p 的变化，f( p)，f′( p)的变化如下表：
p
(0，p 1 )
p
1
( p 1，1)
f ′( p)
＋
0
－
f( p)
递增
极大值
递减
综上，当 p＝时，f( p) 最大． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 12 分
21．解：(1)由题意得 | AF | ＝p＋＝6，… … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 分
∴ p＝4，… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 2 分
∴ C 的方程为 y2＝8x． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 3 分
(2)由(1)知 F(2，0)，设 l 的方程为 x＝my＋2，( m≠0)，A( x，y)，B( x2，y2 )， 由{x(y) 得 y2－8my－16＝0，
则 y1＋y2＝8m，y1 y2＝－16，
∴ x 1＋x2＝my1＋2＋my2＋2＝m ( y1＋y2 )＋4＝8m2＋4，… … … … … … … … … … … … … … 5 分
∴ AB 的中点为 Q(4m2＋2，4m )，
| AB | ＝x 1＋x2＋4＝8m2＋8．… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5 分
又直线 MN 的斜率为－m，
∴ 直线 MN 的方程为：x＝－y＋4m2＋6，
将上式代入 y2＝8x，并整理得 y2＋y－16(2m2＋3)＝ 0， … … … … … … … … … … … 6 分
设 M( x3，y3 )，N( x4，y4 )，则 y3＋y4＝－，y3 y4＝－16(2m2＋3)，… … … … … … … … … 7 分
则 x3＋x4＝－( y3＋y4 )＋2(4m2＋6)＝－(－)＋8m2＋12＝＋8m2＋12， ∴ MN 的中点为 E( ＋4m2＋6，－)，
| MN| ＝1＋ 2 | y3－y4 | ＝ 2 ， … … … … … … … … … … … … … … … 9 分
1 8( m2＋1) 2m2＋1
m m
由 MN 垂直平分 AB，又 ∠AMB＋∠ANB＝π，
得 A，M，B，N 在以 MN 为直径的圆上，
即 E 为圆心，| AE | ＝ | BE | ＝ | MN|， … … … … … … … … … … … … … … … … … … 10 分
从而 | AB | 2＋| EQ | 2＝ | MN| 2，
即 (8m2＋8) 2＋( 2＋4) 2＋(4m＋ ) 2＝ · 4 ，
1 4 4 1 64( m2＋1) 2 (2m2＋1)
4 m m 4 m
解得 m＝1 或 m＝－1， … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 11 分
∴ 直线 l 的方程为 x－y－2＝0 或 x＋y－2＝0．… … … … … … … … … … … … … … … … 12 分
22．解：(1) 令 φ( x ) ＝g( x )－f( x ) ＝xex－ex＋exlnx＝x ( ex＋elnx－e ) ( x＞0)， … … … … 1 分
令 m ( x )＝ex＋elnx－e ( x＞0)，m ′( x )＝ex＋＞0，
则 m ( x ) 在(0，＋∞ ) 递增，
又 m ( 1)＝ 0，∴ 当 0＜x＜1 时，有 m ( x )＜m ( 1)＝ 0，
∴ ex＋elnx－e＜0，
∴ xex＋exlnx－ex＜0，即 xex－ex＜－exlnx，
∴ g( x )＜f( x ) ， 2 分
当 x≥1 时，g( x )＞f( x ) ，
∴ h ( x )＝ {－x．… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 3 分
当 0＜x＜1 时，h ( x )＝－exlnx，h ′( x )＝－elnx－e＝－e ( lnx＋1)
由 h ′( x )＜0，得 x＞，
∴ h ( x ) 在(，1) 上单调递减． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4 分
当 x≥1 时，h ( x )＝xex－ex，h ′( x )＝ ( 1＋x ) ex－e≥2e－e＞0，
∴ h ( x ) 在( 1，＋∞ ) 上单调递增，
故 h( x ) 的单调递减区间为(，1)． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5 分
(2) 证明：由(1) 知( 0，) 是 h ( x ) 的增区间，( ，1) 是 h ( x ) 的减区间；( 1，＋∞ ) 是 h ( x ) 的增区间，
∴ 当 x→0 时，h ( x ) →0，h ( )＝ 1，h ( 1 )＝ 0，
结合函数 h( x ) 的大致图象，
设 h ( x 1 ) ＝h ( x2 ) ＝h ( x3 )＝ et ∈ ( 0，1 )，
∵ g ′ ( x )＝ ( x＋1 ) ex－e，
∴ g ′(1)＝e，而 g( 1 )＝ 0，
∴ g( x ) 在(1，0) 处的切线方程为：y＝e ( x－1 )，… … … … … … … … … … … … … … … 6 分
令 k ( x ) ＝h ( x )－e ( x－1 )＝xex－2ex＋e，x ∈ ( 1，＋∞ )，
k ′ ( x )＝ ( x＋1) ex－2e＞0，则 k( x ) 在( 1，＋∞ ) 上单调递增，而 k ( 1 )＝ 0，
∴ k ( x )＞0 在( 1，＋∞ ) 上恒成立，即 x ∈ ( 1，＋∞ ) 时，h ( x )＞e ( x－1 )． … … … … … … 7 分
设直线 y＝e ( x－1) 与 y＝et 交点横坐标为 x ′3，则 x ′3 ＝1＋t，有 x3＜x′3，
∵－x 1 lnx 1＝－x2 lnx2＝t，
∴ x 1 lnx 1＝mx 1 ln ( mx 1 )，
∴ lnx 1＝ln ( mx 1 ) m，
∴ x 1 ＝( mx 1 ) m，可得 x 1＝m ， … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8 分
∴ t＝－x 1 lnx 1＝－x 1 ( ) lnm，又 x2＝mx 1，
∴ x2＋x3＜x2＋x ′3＝x2＋1＋t
＝mx 1＋1－x 1 ( ) lnm＝x 1 ( m＋)＋1 … … … … … … … … … … … … … … … … … 9 分
令 φ( m )＝ m＋mlnm 则 φ ′ ( m )＝ m ( m－1 )－lnm
m－1 ， ( m－1 ) 2
令 p( m )＝m ( m－1)－lnm，则 p ′ ( m )＝ 2m－1－＝，
当 m ∈ (1，e ) 时，可得p ′( m )＞0 恒成立，p( m ) 在(1，e ) 上单调递增；
∴ p( m )＞p(1)＝ 0，即 φ ′( m )＞0 恒成立，φ( m ) 在( 1，＋∞ ) 上单调递增， 11 分
e－1，
当 m ∈ (1，e ) 时，φ( m )＜φ( e )＝e＋ e
∴ x2＋x3＜x 1 ( e＋ )＋1＝x 1＋1
即 x2＋x3＜x 1＋1． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 12 分
2023 年普通高等学校招生全国统一考试( 模拟)
数 学
2023．5
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 。 回答非选择题时，将答案写在答题卡 上 。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．
1．集合 A＝ { 1，2，3，4 }，B＝ { x |－1 ≤log2 2x ≤2 }，则 A ∩B＝
A．{ 1，2 } B．{ x | 1 ≤x ≤4 } C．{ x | ≤x ≤2 } D．{ 2，3，4 }
2．i 为虚数单位，若＝1＋2i，则实数 a＝
A．2 B． 2 C． 3 D．－2
3．若向量 a＝( m，1 )，b＝(－1，3)，则“m＝1”是“a⊥( a－b) ”的
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．若 a＞0，b＞0，且＋＝1，则 a＋b 的最小值为
A．2 2－1 B．2 2＋2 C．2
5．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱， 俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每 珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在百 位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字 170．若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再 随机选择两个档位各拨 一 颗下珠，则所拨数字小于 200 的
D．4
概率为
A． B． C． D．
6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，若在此三角形内挖去一个以 C 为圆心、 圆弧与 AB 相切的扇面，则图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得几何体的表面积为
—4 2
A
C．15π D．3π
4 C B
A．2π B．
7．已知椭圆＋＝1( a＞b＞0) 的左焦点为 F，上顶点为 A．若存在直线 l 与椭圆交于不同的
两点B，C，△ABC 的重心为 F，则 l 的斜率的取值范围是
A．( － 2 0) B．[ －3 0) C．(－1 0) D．[－2 0)
， 2 ， ， ，
A 1 B 1 C1 D 1 E1 F1，上 部 分 的 形 状 是 侧 棱 长 为 3 m 的 正 六 棱 锥 F AB C
8．现有一个帐篷，下部分的形状是高为 1 m 的正六棱柱 ABCDEF－ E0 D
A 1 B 1 C1 D 1 E1 F1 所成角的正弦值为 F1 A1 B1 C1
O－ABCDEF，如 图．当 该 帐 篷 的 体 积 最 大 时，直 线 OA 与 底 面 E1 D 1
A． B． C． D．
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．某兴趣小组研究光照时长 x ( h) 和向日葵种子发芽数量y( 颗) 之
间的关系，采集 5 组数据，作如图所示的散点图．若去掉D( 10，2) 后，下列说法正确的是
A．相关系数 r 变小
B．决定系数 R2 变大
C．残差平方和变小
D．解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强
y
E ⃞8 ⃞ 11⃞
B ⃞2 ⃞ 6 ⃞
C ⃞3 ⃞ 5 ⃞
A ⃞1 ⃞ 4 ⃞
D ⃞10 ⃞ 2 ⃞
0 Y
10．已知函数f( x )＝A sin ( ωx＋φ) ( A＞0，ω＞0，0＜φ＜π ) 在一个周期内的图象如图，则
A．f( x )＝ 2sin ( x＋)
2 ，
B．点(－π 0) 是一个对称中心
C．f( x ) 的单调递减区间是[3k π－，3k π＋] ( k ∈Z)
y
2
Y
0 T T
D．把函数 y＝2sinx 的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位，可得f( x ) 的图象
11．一 口袋中有除颜色外完全相同的 4 个红球和 3 个白球，从中无放回的随机取两次，每次 取 1 个球，记事件 A 1：第一次取出的是红球；事件 A2：第一次取出的是白球；事件 B：取出 的两球同色；事件 C：取出的两球中至少有一个是白球．则
A．事件 A 1，A2 为互斥事件
C．P( B)＝
B．事件 B，C 为独立事件
D．P( C | A 1 )＝
k
12．设定义在 R 上的函数f( x ) 与g( x ) 的导函数分别为f′( x ) 和g′( x )，若f( x )－g(4－x )＝ 1， g ′( x )＝f ′( x－2)，且f( x＋2) 为奇函数，则
2023
B． f( k )＝ 0
＝1
D．k(2)1(3)g( k )＝ 0
A．∀x∈R，f( x＋2)＋f(－x )＝ 0
C．g(3)＋g(5)＝－2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知( x－) n 的展开式中二项式系数和为 64，则 x－3 的系数为 (用数字作答)．
14．某工厂为研究某种产品的产量 x ( 吨) 与所需某种原材料y( 吨) 的相关性，在生产过 程中收集了对应数据如下表：
x
3
4
5
6
y
2
m
3．8
5
根据表中数据，得出 y 关于 x 的经验回归方程为y^＝0．6x＋0．75，则 m＝ ． 15．“ 中国剩余定理”又称“ 孙子定理”，讲的是一个关于同余的问题．现有这样一个问
题：将正整数中能被 3 除余 2 且被 2 除余 1 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 { an }，则其前 10 项和 S 10＝ ．
16．已知双曲线－＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过右焦点 F2 且倾斜角为的直线 l 与该双曲线交于 M，N 两点( 点 M 位于第一象限)，△MF1 F2 的内切圆 O 1 的半径为 R 1，
△NF1 F2 的内切圆 O2 的半径为 R2，则点 O 1 的横坐标为 ，＝ ( 第一空 2 分，
第二空 3 分)．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10 分)
已知数列{ an } 的前 n 项和为 Sn，Sn＝2an－1．
(1) 求{ an } 的通项公式；
(2) 从下面两个条件中选择一个作为条件，求数列{ bn } 的前 n 项和 Tn．
①bn＝(2n－1) an； ②bn＝．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18．(12 分)
记△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b＝．
(1) 证明：A＝2B；
(2) 若 b＝1，求 a＋c 的取值范围．
19．(12 分)
如图 ①，在 ▱ABCD 中，AD ＝ 2AB ＝ 4， ∠A＝60°，E 为 AD 的中点．沿 BE 将△ABE 折起，点 P在线段AD 上，如图②．
A E D
B C
B
A
P
E
D
C
(1) 若AP＝2PD，证明：AB∥平面 PEC；
(2) 若平面ABE ⊥ 平面 BCDE，是否存在点 P，使得平面 AEC 与平面 PEC 的夹角为 30°？ 若存在，求点 P 的位置；若不存在，说明理由．
20．(12 分)
甲流和普通感冒都属于上呼吸道感染，而甲流是流行性感冒中致病力最强的一种流 感，在医学检测中发现未接种过流感疫苗者感染该病毒的比例较大．某医院选取 200 个有 感冒症状的就诊患者作为样本，统计了感染甲流病毒的情况，得到下面的列联表：
接种流感疫苗与否／人数
感染甲流病毒
未感染甲流病毒
未接种流感疫苗
30
70
接种流感疫苗
10
90
(1) 根据小概率值 α＝0．001 的独立性检验，判断感染甲流病毒与接种流感疫苗是否 有关？
(2) 以样本中感染甲流病毒的频率估计概率，现从该医院所有感冒症状就诊者中随机 抽取 3 人进行感染甲流病毒人数统计，求至多有 1 人感染甲流病毒的概率；
(3) 该医院某病房住有 3 位甲流密切接触的病人，医院要对该病房的人员逐一进行甲 流病毒检测，若检测结果出现阳性，则该病房人员全部隔离．假设该病房每位病人检测结果 呈阳性的概率均为p(0＜p＜1) 且相互独立，记该病房至少检测了2 位病人才确定需要隔离 的概率为f( p)，求当p 为何值时，f( p) 最大？
( a＋b ) ( c＋d ) ( a＋c ) ( b＋d )
附：χ2＝ n ( ad－bc ) 2
P(χ2 ≥k )
0．10
0．05
0．01
0．001
k
2．706
3．841
6．635
10．828
21．(12 分)
设抛物线 C：y2＝2px( p＞0) 的焦点为 F，点 D( p，0)，过 F 的直线 l 交 C 于 A，B 两点．当 直线 AD 垂直于 x 轴时，| AF | ＝6．
(1) 求 C 的方程；
( 2) 若线段AB 的垂直平分线交 C 于 M，N 两点，且∠AMB＋∠ANB＝π，求直线l 的方程． 22．(12 分)
已知函数f( x )＝－exlnx，g( x )＝xex－ex ( x＞0)，h ( x )＝
(1) 求函数 h( x ) 的单调递减区间；
(2) 若 h ( x 1 )＝ h ( x2 )＝ h ( x3 )，x3＞x2＞x 1，且 x2＝mx 1，证明：当 m ∈ ( 1，e) 时， x2＋x3＜x 1＋1．
2023 年普通高等学校招生全国统一考试( 模拟)
数学试题参考答案及评分标准
2023．5
说明：
一、本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容参照评分标准酌情赋分．
二、当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可 视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如 果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．
1．A 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．B 8．D
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．BCD 10．BD 11．ACD 12．BC
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．240 14．3 15．320 16．4 3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：(1) 当 n＝ 1 时，S 1 ＝2a 1－1，得 a 1 ＝ 1． 1 分
∵ S ＝2a －1
，－1( n≥2) ，
两式相减得 Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即 an＝2an－2an－1，… … … … … … … … … … … … … 2 分
化简得＝2(n≥2)， … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 3 分
∴ { an } 是首项为 1，公比为 2 的等比数列， … … … … … … … … … … … … … … … … 4 分
∴ an＝2n－1． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5 分
(2) 若选条件①，则 b n ＝(2n－1) ·2n－1，
∴ Tn＝1× 20＋3× 2 1＋…＋(2n－1) ·2n－1， … … … … … … … … … … … … … … … … … … 6 分
2Tn ＝1× 2 1＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1) ·2n， … … … … … … … … … … … … … … … … … 7 分
∴ －Tn ＝1＋2×(2 1＋22＋…＋2n－1 )－(2n－1) ·2n … … … … … … … … … … … … … … … 8 分
＝1＋2×2( 11－2n－2－1 ) －(2n－1) ·2n
＝(3－2n ) ·2n－3， … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 9 分
∴ Tn ＝(2n－3) ·2n＋3．… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 10 分
若选②，则 bn＝＝＝( －)， … … … … … 7 分
∴ Tn＝×[ ( 1－)＋( －)＋…＋( －) ] … … … … … … … … … … … … 8 分
＝×( 1－)
＝． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 10 分
18．证明：(1)在△ABC 中，由 b＝得，c＝b＋2bcosA， … … … … … … … … … … 1 分
由正弦定理得：sinC＝sinB＋2sinBcosA， … … … … … … … … … … … … … … … … … … 2 分
又∵ A＝π－( B＋C)，
∴ sinC＝sin[ π－( A＋B) ] ＝sin( A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB， … … … … … … … … … 3 分
∴ sinAcosB＋cosAsinB＝sinB＋2sinBcosA，即 sinAcosB－cosAsinB＝sinB，
∴ sin( A－B)＝sinB， … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4 分
∵ 0＜sinB＝sin( A－B)，
∴ 0＜A－B＜A＜π， … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5 分
∵ B＋( A－B)＝A＜π，∴ B＝A－B，即 A＝2B；… … … … … … … … … … … … … … … … … 6 分
(2)解：由得 0＜B＜， … … … … … … … … … … … … … … … … … … 7 分
∴ ＜cosB＜1， … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8 分
由 b＝1 及正弦定理＝＝，得 a＝，c＝， … … … … … … … … … 9 分
∴ a＋c＝＝＝
2sinBcosB＋3sinBcos B－sin B23
＝ ＝2cosB＋3cos B－sin B22
sinB
4 4 ，
＝4cos2 B＋2cosB－1＝4( cosB＋ 1 ) 2－5 … … … … … … … … … … … … … … … … … 11 分
∵ 1 ＜cosB＜1
2 ，
∴ 1＜4( cosB＋) 2－＜5，即 1＜a＋c＜5，
即 a＋c 的取值范围为( 1，5)． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 12 分
19．解：(1)如图 1，连接 BD 与 CE 交于点 Q，连接 PQ，
∵ DE∥BC，DE＝BC，
BQ BC 2 ，
又∵ AP＝2PD，∴ DP＝DQ＝ 1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 2 分
∴ DQ＝DE＝ 1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 分
PA QB 2 ，
E
Q B
解得 λ＝或 λ＝2( 舍去) ．
P
E D
P
D
∴ AB∥PQ ，…………………………………………………………………………… 3 分
∵ PQ⊂平面 PEC，AB⊄平面 PEC，
∴ AB∥平面 PEC． …………………………………………………………………… 4 分
A
C
图1
z
A
0
B C
F
x y
图2
(2) 设 BE 中点为 O ，作 OF∥EC 交 BC 于 F，
， ， ，
∵ ∠A＝60° ED＝DC＝2 ∠D＝120°
，
∴ ∠BEC＝90°
∴ OF⊥BE．…………………………………………………………………………… 5 分
以 OB，OF，OA 分别为 x，y，z 轴建空间直角坐标系，如图 2．
则 B( 1 ，0，0) ，A(0，0 ，3 ) ，E(－1 ，0，0) ，C( －1 ，2 3 ，0) ，F(0 ，3 ，0) ， …………… 6 分
→ → → → →
∴ OD＝OE＋ED＝OE＋BF＝(－1 ，0，0) ＋(0 ，3 ，0)－( 1 ，0，0) ＝ ( －2 ，3 ，0) ， ∴ D( －2 ，3 ，0) ，
EC(→)＝(0，2 3 ，0) ，EA(→)＝( 1 ，0 ，3 ) ，…………………………………………………… 7 分
则 3(1) 令 z1 ＝1 ，得 x1 ＝－ 3 ，
∴ n＝( － 3 ，0，1) ，…………………………………………………………………… 8 分
设AP(→)＝λ AD(→)(0≤λ ≤1) ，EP(→)＝EA(→)＋AP(→)＝( 1 ，0 ，3 ) ＋λ ( －2 ，3 ，－ 3 ) ，
∴ EP(→)＝( 1－2 λ ，3 λ ，3 － 3 λ ) ，……………………………………………………… 9 分
设平面 PEC 法向量为 n2 ＝( x2 ，y2 ，z2 ) ，
设平面 AEC 法向量为 n＝( x1 ，y1 ，z1 ) ，
则 2λ
取 x2 ＝ 3 ( λ－1) ，则 z2 ＝ 1－2 λ ，
∴ n2 ＝( 3 ( λ－1) ，0，1－2 λ ) ， ……………………………………………………… 10 分
－3( λ－1) ＋( 1－2 λ ) 3
2 · 3( λ－1) 2＋( 1－2 λ ) 2 2 ，
∴ cos＜n 1 ，n2＞＝ ＝ ………………………………… 11 分
| 4－5 λ |
7 λ2－10λ＋4
，
∴ ＝ 3
∴ 2 λ2－5 λ＋2＝0
，
当 λ＝时，此时 P 为 AD 中点，平面AEC 与平面PEC 夹角为 30°． … … … … … 12 分
20．解：(1)假设为 H0：感染甲流病毒与接种流感疫苗无关，
由列联表可知χ2 的观测值
χ2＝＝＝12．5＞10．828＝x0．001， … … 2 分
根据小概率值 α＝0．001 的独立性检验，推断 H0 不成立，即认为感染甲流病毒与接种流
感疫苗有关．… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 3 分
200 5 ，
(2)由题意得，该医院所有感冒症状中感染甲流病毒的概率为30＋10＝ 1 … … … 4 分
设随机抽取的 3 人中至多有 1 人感染甲流病毒为事件 A，
则 P( A)＝ C 3(0)( ) 0 ( ) 3＋C3(1)( ) 1 ( ) 2＝； … … … … … … … … … … … … … … 7 分
(3)f( p)＝ (1－p) p＋(1－p) 2p＝p(1－p)(2 p)－＝p3－3p2＋2p， … … … … … … … … … … 9 分
则f′( p)＝ 3p2－6p＋2， … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 10 分
令f′( p)＝ 0，则 p 1＝，p2＝( 舍去)，… … … … … … … … … … … … … … … 11 分
随着p 的变化，f( p)，f′( p)的变化如下表：
p
(0，p 1 )
p
1
( p 1，1)
f ′( p)
＋
0
－
f( p)
递增
极大值
递减
综上，当 p＝时，f( p) 最大． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 12 分
21．解：(1)由题意得 | AF | ＝p＋＝6，… … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 分
∴ p＝4，… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 2 分
∴ C 的方程为 y2＝8x． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 3 分
(2)由(1)知 F(2，0)，设 l 的方程为 x＝my＋2，( m≠0)，A( x，y)，B( x2，y2 )， 由{x(y) 得 y2－8my－16＝0，
则 y1＋y2＝8m，y1 y2＝－16，
∴ x 1＋x2＝my1＋2＋my2＋2＝m ( y1＋y2 )＋4＝8m2＋4，… … … … … … … … … … … … … … 5 分
∴ AB 的中点为 Q(4m2＋2，4m )，
| AB | ＝x 1＋x2＋4＝8m2＋8．… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5 分
又直线 MN 的斜率为－m，
∴ 直线 MN 的方程为：x＝－y＋4m2＋6，
将上式代入 y2＝8x，并整理得 y2＋y－16(2m2＋3)＝ 0， … … … … … … … … … … … 6 分
设 M( x3，y3 )，N( x4，y4 )，则 y3＋y4＝－，y3 y4＝－16(2m2＋3)，… … … … … … … … … 7 分
则 x3＋x4＝－( y3＋y4 )＋2(4m2＋6)＝－(－)＋8m2＋12＝＋8m2＋12， ∴ MN 的中点为 E( ＋4m2＋6，－)，
| MN| ＝1＋ 2 | y3－y4 | ＝ 2 ， … … … … … … … … … … … … … … … 9 分
1 8( m2＋1) 2m2＋1
m m
由 MN 垂直平分 AB，又 ∠AMB＋∠ANB＝π，
得 A，M，B，N 在以 MN 为直径的圆上，
即 E 为圆心，| AE | ＝ | BE | ＝ | MN|， … … … … … … … … … … … … … … … … … … 10 分
从而 | AB | 2＋| EQ | 2＝ | MN| 2，
即 (8m2＋8) 2＋( 2＋4) 2＋(4m＋ ) 2＝ · 4 ，
1 4 4 1 64( m2＋1) 2 (2m2＋1)
4 m m 4 m
解得 m＝1 或 m＝－1， … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 11 分
∴ 直线 l 的方程为 x－y－2＝0 或 x＋y－2＝0．… … … … … … … … … … … … … … … … 12 分
22．解：(1) 令 φ( x ) ＝g( x )－f( x ) ＝xex－ex＋exlnx＝x ( ex＋elnx－e ) ( x＞0)， … … … … 1 分
令 m ( x )＝ex＋elnx－e ( x＞0)，m ′( x )＝ex＋＞0，
则 m ( x ) 在(0，＋∞ ) 递增，
又 m ( 1)＝ 0，∴ 当 0＜x＜1 时，有 m ( x )＜m ( 1)＝ 0，
∴ ex＋elnx－e＜0，
∴ xex＋exlnx－ex＜0，即 xex－ex＜－exlnx，
∴ g( x )＜f( x ) ， 2 分
当 x≥1 时，g( x )＞f( x ) ，
∴ h ( x )＝ {－x．… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 3 分
当 0＜x＜1 时，h ( x )＝－exlnx，h ′( x )＝－elnx－e＝－e ( lnx＋1)
由 h ′( x )＜0，得 x＞，
∴ h ( x ) 在(，1) 上单调递减． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4 分
当 x≥1 时，h ( x )＝xex－ex，h ′( x )＝ ( 1＋x ) ex－e≥2e－e＞0，
∴ h ( x ) 在( 1，＋∞ ) 上单调递增，
故 h( x ) 的单调递减区间为(，1)． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5 分
(2) 证明：由(1) 知( 0，) 是 h ( x ) 的增区间，( ，1) 是 h ( x ) 的减区间；( 1，＋∞ ) 是 h ( x ) 的增区间，
∴ 当 x→0 时，h ( x ) →0，h ( )＝ 1，h ( 1 )＝ 0，
结合函数 h( x ) 的大致图象，
设 h ( x 1 ) ＝h ( x2 ) ＝h ( x3 )＝ et ∈ ( 0，1 )，
∵ g ′ ( x )＝ ( x＋1 ) ex－e，
∴ g ′(1)＝e，而 g( 1 )＝ 0，
∴ g( x ) 在(1，0) 处的切线方程为：y＝e ( x－1 )，… … … … … … … … … … … … … … … 6 分
令 k ( x ) ＝h ( x )－e ( x－1 )＝xex－2ex＋e，x ∈ ( 1，＋∞ )，
k ′ ( x )＝ ( x＋1) ex－2e＞0，则 k( x ) 在( 1，＋∞ ) 上单调递增，而 k ( 1 )＝ 0，
∴ k ( x )＞0 在( 1，＋∞ ) 上恒成立，即 x ∈ ( 1，＋∞ ) 时，h ( x )＞e ( x－1 )． … … … … … … 7 分
设直线 y＝e ( x－1) 与 y＝et 交点横坐标为 x ′3，则 x ′3 ＝1＋t，有 x3＜x′3，
∵－x 1 lnx 1＝－x2 lnx2＝t，
∴ x 1 lnx 1＝mx 1 ln ( mx 1 )，
∴ lnx 1＝ln ( mx 1 ) m，
∴ x 1 ＝( mx 1 ) m，可得 x 1＝m ， … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8 分
∴ t＝－x 1 lnx 1＝－x 1 ( ) lnm，又 x2＝mx 1，
∴ x2＋x3＜x2＋x ′3＝x2＋1＋t
＝mx 1＋1－x 1 ( ) lnm＝x 1 ( m＋)＋1 … … … … … … … … … … … … … … … … … 9 分
令 φ( m )＝ m＋mlnm 则 φ ′ ( m )＝ m ( m－1 )－lnm
m－1 ， ( m－1 ) 2
令 p( m )＝m ( m－1)－lnm，则 p ′ ( m )＝ 2m－1－＝，
当 m ∈ (1，e ) 时，可得p ′( m )＞0 恒成立，p( m ) 在(1，e ) 上单调递增；
∴ p( m )＞p(1)＝ 0，即 φ ′( m )＞0 恒成立，φ( m ) 在( 1，＋∞ ) 上单调递增， 11 分
e－1，
当 m ∈ (1，e ) 时，φ( m )＜φ( e )＝e＋ e
∴ x2＋x3＜x 1 ( e＋ )＋1＝x 1＋1
即 x2＋x3＜x 1＋1． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 12 分
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