2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第十章　§10.4　随机事件与概率

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知识梳理
1．样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．
②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示．
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
2．两个事件的关系和运算
3．古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
4．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(nA,nΩ).
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
5．概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1；
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
6．频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
常用结论
1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件．
2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．( × )
(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．( √ )
(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．( √ )
(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．( × )
教材改编题
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至少有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
答案 B
解析 射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”，与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”．
2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
答案 B
解析 由题意知该同学的身高小于160 cm的概率、该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率和该同学的身高超过175 cm的概率和为1，故所求概率为1－0.2－0.5＝0.3.
3．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．
答案 eq \f(3,10)
解析 从甲、乙等5名同学中随机选3名，有Ceq \\al(3,5)种情况，其中甲、乙都入选有Ceq \\al(1,3)种情况，所以甲、乙都入选的概率P＝eq \f(C\\al(1,3),C\\al(3,5))＝eq \f(3,10).
题型一 随机事件
命题点1 随机事件间关系的判断
例1 (1)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是( )
A．A∩D＝∅ B．B∩D＝∅
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
答案 BC
解析 “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中，“至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，故A∩D≠∅，B∩D＝∅，A∪C＝D，A∪B≠B∪D.
(2)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是( )
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
答案 B
解析 对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两球还可能都是红球，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件．
命题点2 利用互斥、对立事件求概率
例2 某商场进行有奖销售，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解 (1)P(A)＝eq \f(1,1 000)， P(B)＝eq \f(10,1 000)＝eq \f(1,100)，P(C)＝eq \f(50,1 000)＝eq \f(1,20).
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵事件A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝eq \f(1＋10＋50,1 000)＝eq \f(61,1 000)，
故1张奖券的中奖概率为eq \f(61,1 000).
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1 000)＋\f(1,100)))＝eq \f(989,1 000)，
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq \f(989,1 000).
思维升华 事件关系的运算策略
进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式．
跟踪训练1 (1)(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：
Ci＝“点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；
D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；
E＝“点数为奇数”；
F＝“点数为偶数”．
下列结论正确的是( )
A．C1与C2对立 B．D1与D2不互斥
C．D3⊆F D．E⊇(D1∩D2)
答案 BC
解析 对于A，C1＝“点数为1”，C2＝“点数为2”，C1与C2互斥但不对立，故选项A不正确；
对于B，D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，当出现的点数是2时，D1与D2同时发生，所以D1与D2不互斥，故选项B正确；
对于C，D3＝“点数大于5”表示出现6点，F＝“点数为偶数”，所以D3发生时F一定发生，所以D3⊆F，故选项C正确；
对于D，D1∩D2表示两个事件同时发生，即出现2点，E＝“点数为奇数”，所以D1∩D2发生，事件E不发生，所以E⊇(D1∩D2)不正确，故选项D不正确．
(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
①确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
②估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．
解 ①由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.则顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq \f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．
②记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，则可估计概率约为
P(A1)＝eq \f(15,100)＝eq \f(3,20)，P(A2)＝eq \f(30,100)＝eq \f(3,10)，P(A3)＝eq \f(25,100)＝eq \f(1,4)，
因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，
所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq \f(3,20)＋eq \f(3,10)＋eq \f(1,4)＝eq \f(7,10)，
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率约为eq \f(7,10).
题型二 古典概型
例3 (1)(2023·南通质检)我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为( )
A.eq \f(3,56) B.eq \f(3,28) C.eq \f(1,7) D.eq \f(1,5)
答案 D
解析 大于3且不超过20的素数为5,7,11,13,17,19，共6个，
随机选取2个不同的数，分别为(5,7)，(5,11)，(5,13)，(5,17)，(5,19)，(7,11)，(7,13)，(7,17)，(7,19)，(11,13)，(11,17)，(11,19)，(13,17)，(13,19)，(17,19)，共15种选法，其中恰好是一组孪生素数的有(5,7)，(11,13)，(17,19)，共3种，故随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).
(2)在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是( )
A.eq \f(1,10) B.eq \f(1,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(3,10)
答案 D
解析 在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，样本点总数n＝Aeq \\al(5,5)＝120，“乙、丙都不与甲相邻出场”包含的样本点个数m＝Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＋Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)＝36，所以“乙、丙都不与甲相邻出场”的概率P＝eq \f(m,n)＝eq \f(36,120)＝eq \f(3,10).
思维升华 利用公式法求解古典概型问题的步骤
跟踪训练2 (1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,5) D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 从写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，共有15种取法，它们分别是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中卡片上的数字之积是4的倍数的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种取法，所以所求概率是P＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).
(2)(2022·宜宾质检)2022年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布置赛场，北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有雪上项目．组委会招聘了包括甲在内的4名志愿者，准备分配到上述3个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到一名志愿者，则志愿者甲正好分到北京赛场的概率为 ________.
答案 eq \f(1,3)
解析 依题意3个赛场分配的志愿者人数只有1,1,2这种情况，则共有n＝Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＝36(种)安排方法，
志愿者甲被分配到北京赛场有m＝Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)＝12(种)安排方法，
所以志愿者甲正好分到北京赛场的概率P＝eq \f(12,36)＝eq \f(1,3).
题型三 概率与统计的综合问题
例4 北京冬奥会顺利闭幕后，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意．
(1)完成下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否推断对讲座活动是否满意与性别有关？
(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生，再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率．
参考数据：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)2×2列联表如表所示.
零假设为H0：对讲座活动是否满意与性别无关．
根据列联表中数据，
经计算得χ2＝eq \f(120×40×30－20×302,60×60×70×50)＝eq \f(24,7)≈3.429>2.706＝x0.10，
根据小概率值α＝0.10的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为对讲座活动是否满意与性别有关．
(2)由(1)知，在样本中对讲座活动满意的学生有70人，从中抽取7人，其中
“男生满意”的有40×eq \f(7,70)＝4(人)，
“女生满意”的有30×eq \f(7,70)＝3(人)，
记“恰好抽中2名男生与1名女生”为事件A，
则P(A)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,3),C\\al(3,7))＝eq \f(18,35)，
所以恰好抽中2名男生与1名女生的概率为eq \f(18,35).
思维升华 求解古典概型的综合问题的步骤
(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；
(2)判断事件是否为古典概型；
(3)选用合适的方法确定样本点个数；
(4)代入古典概型的概率公式求解．
跟踪训练3 从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题．
(1)成绩在[80,90)这一组的频数、频率分别是多少？
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数；(不要求写过程)
(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率．
解 (1)根据题意，成绩在[50,60)这一组的频率为0.015×10＝0.15，在[60,70)这一组的频率为0.025×10＝0.25，在[70,80)这一组的频率为0.035×10＝0.35，在[90,100)这一组的频率为0.005×10＝0.05，则成绩在[80,90)这一组的频率为eq \f(1,2)×[1－(0.15＋0.25＋0.35＋0.05)]＝0.1，其频数为40×0.1＝4.
(2)这次竞赛成绩的平均数约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5；
成绩在[70,80)这一组的频率最大，人数最多，则众数约为75；
70分左右两侧的频率均为0.5，则中位数约为70.
(3)记“选出的2人在同一分数段”为事件E，成绩在[80,90)内的有40×0.1＝4(人)，设为a，b，c，d；成绩在[90,100)内的有40×0.05＝2(人)，设为A，B.从这6人中选出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15种选法，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7种选法，则P(E)＝eq \f(7,15).
课时精练
1．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则( )
A．A∪B表示向上的点数是1或3或5
B．A＝B
C．A∪B表示向上的点数是1或3
D．A∩B表示向上的点数是1或5
答案 A
解析 设A＝{1,3}，B＝{1,5}，
则A∩B＝{1}，A∪B＝{1,3,5}，
∴A≠B，A∩B表示向上的点数是1，A∪B表示向上的点数为1或3或5.
2．杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图．现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,9) D.eq \f(1,9)
答案 C
解析 记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为A，B，C，则样本点有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，
其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的样本点有(A，B)，(B，A)，共2个，
所以所求的概率P＝eq \f(2,9).
3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
A．134石 B．169石
C．338石 D．1 365石
答案 B
解析 这批米内夹谷约为eq \f(28,254)×1 534≈169(石)．
4. 在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则在一次试验中，事件A＋eq \x\t(B)发生的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(5,6)
答案 C
解析 掷一枚骰子的试验有6种等可能的结果，依题意知P(A)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)，
所以P(eq \x\t(B))＝1－P(B)＝1－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，
因为eq \x\t(B)表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与eq \x\t(B)互斥，从而P(A＋eq \x\t(B))＝P(A)＋P(eq \x\t(B))＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
5．(2022·莆田质检)将5名支援某地区抗疫的医生分配到A，B，C三所医院，要求每所医院至少安排1人，则其中甲、乙两名医生恰好分配到同一医院的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(6,25) C.eq \f(7,16) D.eq \f(4,9)
答案 B
解析 由题意可知，分配情况分为两类：3,1,1或2,2,1，其方法总数为Ceq \\al(3,5)Aeq \\al(3,3)＋eq \f(C\\al(2,5)C\\al(2,3)C\\al(1,1),A\\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)＝150.
其中甲、乙两名医生恰好分配到同一医院的方法共有Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,3)·Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,1)·Aeq \\al(3,3)＝36(种)，
则甲、乙两名医生恰好分配到同一医院的概率为eq \f(36,150)＝eq \f(6,25).
6．(多选)下列说法中正确的有( )
A．若事件A与事件B是互斥事件，则P(AB)＝0
B．若事件A与事件B是对立事件，则P(A＋B)＝1
C．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D．把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件
答案 ABC
解析 事件A与事件B互斥，则A，B不可能同时发生，所以P(AB)＝0，故A正确；
事件A与事件B是对立事件，则事件B即为事件eq \x\t(A)，所以P(A＋B)＝1，故B正确；
事件“至少有两次中靶”与“至多有一次中靶”不可能同时发生，且二者必有一个发生，所以为对立事件，故C正确；
事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，所以不是互斥事件，故D错误．
7．通过手机验证码注册某APP时，收到的验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码(a1，a2，a3，a4)满足a1答案 eq \f(7,2 000)
解析 ∵a1＝2,2∴a2，a3，a4从3,4,5,6,7,8,9中选，
选出3个数，让其按照从小到大的顺序有Ceq \\al(3,7)＝35(种)排法，
又四位验证码共有10×10×10×10＝10 000(种)，
∴它是首位为2的递增型验证码的概率为eq \f(35,10 000)＝eq \f(7,2 000).
8．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
答案 eq \f(6,35)
解析 从正方体的8个顶点中任选4个，取法有Ceq \\al(4,8)＝70(种)．
其中4个点共面有以下两种情况：
(1)所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，如图1，有6种取法；
(2)所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图2，也有6种取法．
故4个点在同一个平面共有6＋6＝12(种)情况．
所以所取的4个点在同一个平面的概率P＝eq \f(12,70)＝eq \f(6,35).
9．经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：
求：(1)至多2人排队等候的概率；
(2)至少3人排队等候的概率．
解 记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)方法一 记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
方法二 记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
10.某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计得到其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；
(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图估计这90个服务网点中优秀服务网点的个数；
(3)从随机抽取的6个服务网点中任取2个做网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率．
解 (1)由题意知，样本数据的平均数eq \x\t(x)＝eq \f(4＋6＋12＋12＋18＋20,6)＝12.
(2)样本中优秀服务网点有2个，频率为eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点约有90×eq \f(1,3)＝30(个)．
(3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，
从随机抽取的6个服务网点中任取2个的可能情况有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15种，
记“恰有1个网点是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8种，
故所求概率P(M)＝eq \f(8,15).
11．如果事件A，B互斥，记eq \x\t(A)，eq \x\t(B)分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A．A∪B是必然事件
B.eq \x\t(A)∪eq \x\t(B)是必然事件
C.eq \x\t(A)与eq \x\t(B)一定互斥
D.eq \x\t(A)与eq \x\t(B)一定不互斥
答案 B
解析 如图①所示，A∪B不是必然事件，eq \x\t(A)∪eq \x\t(B)是必然事件，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)不互斥；如图②所示，A∪B是必然事件，eq \x\t(A)∪eq \x\t(B)是必然事件，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)互斥．
12．整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘．古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质：220的所有真因数(不包括本身的因数)之和恰好等于284，同时284的所有真因数之和也等于220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮．已知220和284，1 184和1 210,2 924和2 620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个数，另一组4个数，则220和284在同一组的概率为( )
A.eq \f(1,15) B.eq \f(2,5) C.eq \f(7,15) D.eq \f(1,5)
答案 C
解析 由题意可得一共有Ceq \\al(2,6)种分组方法，若要满足220和284在同一组，则分两种情况讨论：①220和284在2个数这一组中，有Ceq \\al(2,2)种分组方法，②220和284在4个数这一组中，有Ceq \\al(2,4)种分组方法．故所求概率P＝eq \f(C\\al(2,2)＋C\\al(2,4),C\\al(2,6))＝eq \f(7,15).
13．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说．河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从阳数和阴数中各取一数分别记为a，b，则满足|a－b|≥2的概率为( )
A.eq \f(8,25) B.eq \f(9,25) C.eq \f(16,25) D.eq \f(18,25)
答案 C
解析 若从阳数和阴数中各取一数分别记为a，b.则样本点(a，b)共有5×5＝25(个)，满足
|a－b|<2的样本点有(1,2)，(3,2)，(3,4)，(5,4)，(5,6)，(7,6)，(7,8)，(9,8)，(9,10)，共9个，记事件B为满足|a－b|<2的事件，则P(B)＝eq \f(9,25)，所以满足|a－b|≥2的事件的概率为P(eq \x\t(B))＝
1－P(B)＝1－eq \f(9,25)＝eq \f(16,25).
14．一个盒子装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个．从中随机拿出4个玻璃球，这4个球都是红色的概率为P1，恰好有三个红色和一个白色的概率为P2，恰好有两个红色、一个白色和一个蓝色的概率为P3，四种颜色各一个的概率为P4.若恰好有P1＝P2＝P3＝P4，则这个盒子里玻璃球的个数的最小值为( )
A．17 B．19
C．21 D．以上都不正确
答案 C
解析 设红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球数量分别为a，b，c，d.
由题意得Ceq \\al(4,a)＝Ceq \\al(3,a)Ceq \\al(1,b)＝Ceq \\al(2,a)Ceq \\al(1,b)Ceq \\al(1,c)＝Ceq \\al(1,a)Ceq \\al(1,b)Ceq \\al(1,c)Ceq \\al(1,d)，
则有eq \f(aa－1a－2a－3,4×3×2×1)＝eq \f(aa－1a－2,3×2×1)·b＝eq \f(aa－1,2×1)·bc＝abcd，
即a＝4b＋3＝3c＋2＝2d＋1.
经验证，玻璃球的个数的最小值为21，此时a＝11，b＝2，c＝3，d＝5.含义
符号表示
包含关系
若A发生，则B一定发生
A⊆B
相等关系
B⊇A且A⊇B
A＝B
并事件(和事件)
A与B至少有一个发生
A∪B或A＋B
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
A∩B＝∅
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B＝∅，且A∪B＝Ω
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
120
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
满意
不满意
合计
男生
40
20
60
女生
30
30
60
合计
70
50
120
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04