2023年中考押题预测卷02（北京卷）-数学（全解全析）

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2023年中考押题预测卷02【北京卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、 选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．随着科学技术的不断提高，5G网络已经成为新时代的“宠儿”，预计到2025年，中国5G用户将超过460 000 000人．将460 000 000科学记数法表示为（　　）
A．4.6×109 B．46×107 C．4.6×108 D．0.46×109
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数
【详解】解：将460 000 000用科学记数法表示为4.6×108．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．如图，下列水平放置的几何体中，侧面展开图是扇形的是（　　）
A．B． C．D．
【答案】D
【分析】根据几何体的展开图：三棱柱的侧面展开图是三个长方形；四棱柱的侧面展开图是四个长方形；圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形；可得答案．
【详解】解：A、侧面展开图是三个长方形，故此选项不符合题意；
B、侧面展开图是四个长方形，故此选项不符合题意；
C、侧面展开图是一个长方形，故此选项不符合题意；
D、侧面展开图是扇形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，记住常用几何体的侧面展开图是解题的关键．
3．下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（　　）
A．B． C．D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度与自身重合．
4．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．a＞b B．﹣a＜b C．|a|＜|b| D．a+b＜0
【答案】D
【分析】利用点在数轴上的位置判断即可．
【详解】解：∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴1＜﹣a＜2，|a|＞|b|，a+b＜0，
∴a＜b，故A选项不符合题意；
1＜﹣a＜2，所以﹣a＞b，故B选项不符合题意；
|a|＞|b|，故C选项不符合题意；
a+b＜0，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握实数大小比较的方法．
5．“天宫课堂”第二课3月23日在中国空间站开讲，包括六个项目：太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验、空间科学设施介绍与展示、天地互动环节．若随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是（　　）
A．13 B．12 C．23 D．56
【答案】C
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】解：∵共6个项目，“实验”项目有太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验共4个，
∴随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是46=23，
故选：C．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．
6．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ABC＝12°，则∠BDC的度数是（　　）

A．68° B．78° C．102° D．112°
【答案】C
【分析】连接AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠ADC＝∠ABC＝12°，然后计算∠ADB+∠ADC即可．
【详解】解：连接AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝∠ABC＝12°，
∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝90°+12°＝102°．
故选：C．

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
7．如图是某手机店1～4月份的统计图，分析统计图，对3、4月份品牌A手机的销售情况四个同学得出的以下四个结论，其中正确的为（　　）

A．4月份品牌A手机销售额为65万元
B．4月份品牌A手机销售额比3月份有所上升
C．4月份品牌A手机销售额比3月份有所下降
D．3月份与4月份的品牌A手机销售额无法比较
【答案】B
【分析】根据两个统计图之间的数量关系，可求出A手机的3月份、4月份的销售额，再做出选择即可．
【详解】解：3月份A手机的销售额：60×18%＝10.8万元，
4月份A手机的销售额：65×17%＝11.05万元，
∵11.05＞10.8，
∴4月份品牌A手机销售额比3月份有所上升，
故选：B．
【点睛】考查条形统计图、折线统计图的意义和制作方法，理清统计图中各个数量之间的关系是正确选择的关键．
8．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：千帕）随气球内气体的体积V（单位：立方米）的变化而变化，P随V的变化情况如下表所示，那么在这个温度下，气球内气体的气压P与气球内气体的体积V的函数关系最可能是（　　）
V（单位：立方米）
64
48
38.4
32
24
…
P（单位：千帕）
1.5
2
2.5
3
4
…
A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数
【答案】D
【分析】根据所给出的数据和常识可直接判断．
【详解】解：由题意可知，64×1.5＝96；48×2＝96；38.4×2.5＝96；32×3＝96；24×4＝96，…
由此可得出P和V的函数关系是为：P=96V．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．若x-1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　x≥1　．
【答案】x≥1．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可解得．
【详解】解：由题意可得x-1≥0，
∴x﹣1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1．
【点睛】此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解．
10．分解因式：a2b﹣2ab2+b3＝　b（a﹣b）2　．
【答案】见试题解答内容
【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
【详解】解：a2b﹣2ab2+b3＝b（a2﹣2ab+b2）﹣﹣（提取公因式）
＝b（a﹣b）2（完全平方公式）．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
11．化简1x+3-69-x2的结果是　1x-3　．
【答案】1x-3．
【分析】原式通分并利用分式同分母分式的加减法运算法则进行计算即可．
【详解】解：1x+3-69-x2
=x-3(x+3)(x-3)+6x2-9
=x-3+6(x+3)(x-3)
=x+3(x+3)(x-3)
=1x-3．
故答案为：1x-3．
【点睛】本题考查了分式的加减法，平方差公式等内容，熟练掌握公式及分式的运算法则是本题解题的关键．
12．正八边形每个外角的度数为 　45°　．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用多边形的外角和等于360度即可得出答案．
【详解】解：因为任何一个多边形的外角和都是360°，
所以正八边形的每个外角的度数是：360°÷8＝45．
故答案为：45°．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟记任何一个多边形的外角和都是360°是解题的关键．
13．某校运动员分组训练，若每组7人，余2人；若每组8人，则缺3人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为　7y+2=x8y-3=x　．
【答案】7y+2=x8y-3=x．
【分析】根据“若每组7人，余2人；若每组8人，则缺3人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意得：7y+2=x8y-3=x．
故答案为：7y+2=x8y-3=x．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连结AO，过点A作AB⊥x轴于点B，AB=3，OB＝1，把△ABO绕点O逆时针旋转120°后，得到△A1B1O，则点A1的坐标为 　（﹣2，0）　．

【答案】（﹣2，0）．
【分析】解直角三角形求出OA，判断出A1在x轴的负半轴上，可得结论．
【详解】解：在Rt△AOB中，AB=3，OB＝1，
∴tan∠AOB=ABOB=3，
∴∠AOB＝60°，
∴∠A＝30°，
∴OA＝2OB＝2，
∵△ABO绕点O逆时针旋转120°，
∴点A1落在x中点负半轴上，
∴A1（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是 　4　cm．

【答案】4．
【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
【详解】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性质得到：1015=x6．
解得x＝4．
即蜡烛火焰的高度是4cm．
故答案为：4．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
16．在一次数学活动课上，某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：15；丁：8；戊：17，则丙同学手里拿的卡片的数字是 　5和10　．
【答案】5和10．
【分析】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．
【详解】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，
∴每人手里的数字不重复．
由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；
由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；
由丙：15，可知丙手中的数字可能是5和10，6和9；
由丁：8，可知丁手中的数字可能是1和7，2和6，3和5；
由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；
∴丁只能是2和6，甲只能是4和7，丙只能是5和10，戊只能是8和9．
故答案为：5和10．
【点睛】本题考查的是有理数加法的应用，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：（13）﹣1﹣2sin60°-12+|1﹣33|．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值化简即可得出答案．
【详解】解：原式=3-2×32-23+33-1
＝3-3-23+33-1
＝2．
【点睛】本题考查二次根式的化简，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握a﹣p=1ap（a≠0）是解题的关键．
18．解不等式：5x-26＜x2+1，并写出它的正整数解．
【答案】x＜4，正整数解为1，2，3．
【分析】去分母，移项，合并同类项，系数化为1即可求解，然后找出对应的正整数解即可．
【详解】解：去分母得：5x﹣2＜3x+6，
移项得：5x﹣3x＜6+2，
合并同类项得：2x＜8，
系数化为1得：x＜4．
故正整数解为1，2，3．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，解题关键是熟知解一元一次不等式的步骤．
19．已知：如图1，∠MON．
求作：∠BAD，使∠BAD＝∠MON．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法，如图2：
①在OM上取一点A，以A为圆心，OA为半径画弧，交射线OA于点B；
②在射线ON上任取一点C，连接BC，分别以B，C为圆心，大于12BC为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线EF，与BC交于点D；
③作射线AD，∠BAD即为所求．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下列证明．
证明：∵EF垂直平分BC，
∴　BD　＝DC．
∵AO＝AB，
∴AD∥OC（　三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半　）（填推理依据）．
∴∠BAD＝∠MON．

【答案】（1）图形见解答；
（2）BD，三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
【分析】（1）根据题意即可完成作图；
（2）根据作图过程可得EF是BC的垂直平分线，然后根据三角形中位线定理即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，即为补全的图形；

（2）证明：∵EF垂直平分BC，
∴BD＝DC，
∵AO＝AB，
∴AD∥OC（三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），
∴∠BAD＝∠MON．
故答案为：BD，三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．
（1）不解方程，判断此方程根的情况；
（2）若x＝2是该方程的一个根，求代数式﹣2k2+8k+5的值．
【答案】（1）有两个不相等的实数根．
（2）11．
【分析】（1）利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac判断即可．
（2）将x＝2代入一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0，整理得k2﹣4k＝﹣3，再将﹣2k2+8k+5变形为﹣2（k2﹣4k）+5，代入求值即可．
【详解】解：（1）∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0，
∴此一元二次方程有两个不相等的实数根．
（2）将x＝2代入一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0，
得4﹣4k+k2﹣1＝0，
整理得k2﹣4k＝﹣3，
∴﹣2k2+8k+5
＝﹣2（k2﹣4k）+5
＝﹣2×（﹣3）+5
＝11．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，牢记：当Δ＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，一元二次方程无实数根．
21．已知一次函数y＝kx+b的图象经过（1，2），（3，﹣4）两点且与y轴交于A点．
（1）求函数解析式及点A的坐标；
（2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值都小于函数y＝kx+b的值，求m的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣3x+5；
（2）m＜2．
【分析】（1）把2个已知点的坐标分别代入y＝kx+b中得到关于k、b的方程组，再解方程组求出k、b，从而得到以此函数解析式，然后计算自变量为0对应的函数值得到点A的坐标；
（2）根据题意，当m≥0，x＝1时，函数y＝mx的函数值比y＝﹣3x+5的函数值小，所以m≤﹣3+5；当m＜0时，函数y＝mx的图象与函数y＝kx+b的图象的交点只能在第四象限或平行，所以﹣3≤m＜0．
【详解】解：（1）把（1，2），（3，﹣4）分别代入y＝kx+b得k+b=23k+b=-4，
解得k=-3b=5，
∴一次函数解析式为y＝﹣3x+5，
当x＝0时，y＝﹣3x+5＝5，
∴A点坐标为（0，5）；
（2）∵x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值都小于函数y＝﹣3x+5的值，
当m≥0时，x＝1时，m≤﹣3+5，即m≤2，
当m＜0时，函数y＝mx的图象与函数y＝kx+b的图象的交点只能在第四象限或平行，则﹣3≤m＜0，
∴m的取值范围为﹣3≤m≤2．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数图象与系数的关系．
22．如图，在平行四边形BFDE中，对角线EF，BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DE，BC于点A，C，连结AB，DC．
（1）AC与BD满足什么位置关系时，四边形ABCD是菱形？并证明；
（2）在（1）的条件下，若AB＝4，CF＝1，∠ABC＝60°，求sin∠DEO的值．

【答案】（1）AC⊥BD，理由见解析；
（2）217．
【分析】（1）证△BOC≌△DOA（AAS），得OC＝OA，再证四边形ABCD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）证△ABC和△ADC为等边三角形，得AC＝AB＝4，∠CAD＝60°，过点O作OM⊥AD于M，由含30°角的直角三角形的在得OM=3，AM＝1，再求出EM＝AE+AM＝2，然后由勾股定理得OE=7，即可解决问题．
【详解】解：（1）AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，理由如下：
∵四边形BFDE是平行四边形，
∴BF∥DE，OB＝OD，
∴∠CBO＝∠ADO，
在△BOC和△DOA中，
∠CBO=∠ADOOB=OD∠BOC=∠DOA，
∴△BOC≌△DOA（AAS），
∴OC＝OA，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝BC＝AD＝CD＝4，∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADO＝∠CDO=12∠ADC＝30°，
∴△ABC和△ADC为等边三角形，
∴AC＝AB＝4，∠CAD＝60°，
∴AO=12AC＝2，∠OAD＝60°，
∴OD=AD2-OA2=42-22=23，
如图，过点O作OM⊥AD于M，
∴OM=12OD=3，
∵∠AOM＝90°﹣∠OAM＝30°，AM=12OA＝1，
∵四边形BFDE是平行四边形，
∴BF＝DE，
∴DE﹣AD＝BF﹣BC，即AE＝CF＝1，
∴EM＝AE+AM＝2，
∴OE=EM2+OM2=22+(3)2=7，
在Rt△EOM中，sin∠DEO=OMOE=37=217．

【点睛】此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质解此题的关键．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，且AD=CD，连接AC、BC，连接BD交AC于点E，延长BD到点F，使ED＝DF，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，BC＝2，求AF的长．

【答案】（1）证明见解答；
（2）AF的长是32．
【分析】（1）连接AD，由AB是⊙O的直径，∠ADB＝∠C＝90°，则AD垂直平分EF，所以AF＝AE，则∠F＝∠AEF＝∠CEB，由AD=CD，得∠ABD＝∠CBD，则∠F+∠ABD＝∠CEB+∠CBD＝90°，所以∠BAF＝90°，即可证明AF是⊙O的切线；
（2）先由勾股定理求得AC=AB2-BC2=42，再证明△ABF∽△CBE，得AFCE=ABBC=3，则AE＝AF＝3CE，所以AF＝AE=34AC＝32．
【详解】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠C＝90°，
∴AD⊥EF，
∵ED＝DF，
∴AF＝AE，
∴∠F＝∠AEF＝∠CEB，
∵AD=CD，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠F+∠ABD＝∠CEB+∠CBD＝90°，
∴∠BAF＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AF⊥OA，
∴AF是⊙O的切线．
（2）解：∵∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，
∴AC=AB2-BC2=62-22=42，
∵∠BAF＝∠C＝90°，∠ABF＝∠CBE，
∴△ABF∽△CBE，
∴AFCE=ABBC=62=3，
∴AF＝3CE，
∵AF＝AE，
∴AE＝3CE，
∴AE=34AC=34×42=32，
∴AF＝32，
∴AF的长是32．

【点睛】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24．某研究中心建立了自己的科技创新评估体系，并对2021年中国城市的科技创新水平进行了评估．科技创新综合指数由科技创新总量指数和科技创新效率指数组成（以下简称：综合指数、总量指数和效率指数）．该研究中心对2021年中国城市综合指数得分排名前40的城市的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．综合指数得分的频数分布表（数据分成6组：65.0x≤70.0，70.0≤x＜75.0，75.0≤x＜80.0，80.0≤x＜85.085.0≤x＜90.0，90.0≤x＜95.0）：
综合指数得分
频数
65.0x≤70.0
8
70.0≤x＜75.0
16
75.0≤x＜80.0
8
80.0≤x＜85.0
m
85.0≤x＜90.0
2
90.0≤x＜95.0
1
合计
40
b．综合指数得分在70.0≤x＜75.0这一组的是：70.0，70.4，70.6，70.7，71.0，71.0，71.1，71.2，71.8，71.9，72.5，73.8，74.0，74.4，74.5，74.6．
c．40个城市的总量指数与效率指数得分情况统计图：╞
（数据来源于网络《2021年中国城市科技创新指数报告》）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）综合指数得分的频数分布表中，m＝　5　；
（2）40个城市综合指数得分的中位数为 　73.9　；
（3）以下说法正确的是 　②　．
①某城市创新效率指数得分排名第1，该城市的总量指数得分大约是86.2分；
②大多数城市效率指数高于总量指数，可以通过提升这些城市的总量指数来提升城市的综合指数．
【答案】（1）5；
（2）73.9；
（3）②．
【分析】（1）用总数减去其它各组频数即可得出m的值；
（2）根据中位数的定义判断即可，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；
（3）根据图表数据判断即可．
【详解】解：（1）m＝40﹣8﹣16﹣8﹣2﹣1＝5，
故答案为：5；
（2）40个城市综合指数得分从小到大排列，排在第20和21位的两个数分别为73.8，74.0，故中位数为73.8+74.02=73.9，
故答案为：73.9；
（3）由题意可知，某城市创新效率指数得分排名第1，该城市的总量指数得分大约是84分，故①说法错误；
大多数城市效率指数高于总量指数，可以通过提升这些城市的总量指数来提升城市的综合指数，故②说法正确．
故答案为：②．
【点睛】本题考查了频数分布表、统计图、中位数；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．
25．如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x，水流的最高点到地面的距离记为y．
y与x的几组对应值如下表：
x（单位：m）
0
12
1
32
2
52
3
4
…
y（单位：m）
1
98
54
118
32
138
74
2
…
（1）该喷枪的出水口到地面的距离为 　1　m；
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y与x的函数图象；
（3）结合（2）中的图象（图2），估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为8m时，水流的最高点到地面的距离为 　3　m（精确到1m）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为 　18　m（精确到1m）．

【答案】（1）1；
（2）图象见解析；
（3）3，18．
【分析】（1）由图象可得出水口到地面的距离；
（2）直接描点可得图象；
（3）求出y与x的关系式，把x＝8代入可得水流的最高点到地面的距离，再根据顶点式得到水流轨迹的关系式，可得水流的射程．
【详解】解：（1）由图象可得，喷枪的出水口到地面的距离为1m，
故答案为：1；
（2）如图，

（3）由（2）得，y与x是一次函数关系，
设y＝kx+b，把（0，1）（4，2）代入得b=14k+b=2，
解得k=14b=1，
∴y与x的关系式为y=14x+1，
当x＝8时，y＝2+1＝3；
设水流轨迹w＝a（x﹣8）2+3，
把（0，1）代入得，a=-132，
∴w=-132（x﹣8）2+3，
当w＝0时，x＝8±46（负值舍去），
∴水流的射程为8+46≈18（m）．
故答案为：3，18．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据点的坐标得到函数关系式是解题关键．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3．
（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；
（2）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；
（3）若抛物线与x轴相交于A，B两点，且AB≤4，求a的取值范围．
【答案】（1）（0，1）；（2）（3，﹣9a+1）；（3）19＜a≤15．
【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征，即可求出答案；
（2）根据抛物线的对称轴为直线x＝3，求出b＝﹣6a，进而得出抛物线解析式，最后将x＝3代入抛物线解析式求出顶点坐标的纵坐标，即可得出结论；
（3）①当a＜0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，由（1）知，抛物线y＝ax2+bx+1与y轴的交点为（0，1），进而判断出xA＜0，xB＞6，得出AB＝|xB﹣xA|＞6，判断出此种情况不符合题意，
②当a＞0时，抛物线的开口向上，判断出在x轴上关于抛物线的对称轴x＝3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），再由当x＝1时，得出a﹣6a+1≥0，求出a≤15，再根据y顶点＝﹣9a+1＜0，即可得出答案．
【详解】解：（1）针对于抛物线y＝ax2+bx+1，
令x＝0，则y＝1，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；

（2）∵抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3，
∴-b2a=3，
∴b＝﹣6a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣6ax+1，
当x＝3时，y＝9a﹣18a+1＝﹣9a+1，
∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣9a+1）；

（3）①当a＜0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，
由（1）知，抛物线y＝ax2+bx+1与y轴的交点为（0，1），
∵抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝3，
∴xA＜0，xB＞6，
∴AB＝|xB﹣xA|＞6，
∵AB≤4，
∴此种情况不符合题意，
②当a＞0时，抛物线的开口向上，
由（2）知，抛物线的解析式为y＝ax2﹣6ax+1，
在x轴上关于抛物线的对称轴x＝3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），
∵AB≤4，
∴当x＝1时，y＝ax2﹣6ax+1＝a﹣6a+1≥0，
∴a≤15，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴y顶点＝﹣9a+1＜0，
∴a＞19，
∴19＜a≤15．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，顶点坐标的求法，掌握二次函数的性质是解本题的关键．
27．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．
（1）如图1，若AD＝AM，∠DAM＝120°．
①求证：BD＝CM；
②若∠CMD＝90°，求BDDC的值；
（2）如图2，点E为线段CD上一点，且CE＝1，AB＝23，∠DAE＝60°，求DE的长．

【答案】（1）①证明见解答；
②BDCD=12；
（2）DE=73
【分析】（1）①利用SAS证明△ABD≌△ACM可得结论；
②由①知：△ABD≌△ACM，得∠ACM＝∠B＝30°，根据直角三角形含30°角的性质可得CD＝2BD，从而得结论；
（2）介绍两种解法：
解法一：如图2，过点E作EG⊥AC于G，过A作AF⊥BC于F，证明△ADF∽△AEG，列比例式可得DF的长，由勾股定理可得EF的长，相加可得结论；
解法二：如图3，作辅助线构建全等三角形，由（1）同理得△ABD≌△ACM，设CQ＝x，则CM＝2x，QM=3x，证明△ADE≌△AME（SAS），得EM＝DE＝5﹣2x，最后利用勾股定理列方程可解答．
【详解】（1）①证明：如图1，

∵∠BAC＝∠DAM＝120°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAM﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAM，
∵AB＝AC，AD＝AM，
∴△ABD≌△ACM（SAS），
∴BD＝CM；
②解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD＝30°，
由①知：△ABD≌△ACM，
∴∠ACM＝∠B＝30°，
∴∠DCM＝60°，
∵∠CMD＝90°，
∴∠CDM＝30°，
∴CM=12CD，
∵BD＝CM，
∴BDCD=12；
（2）解：解法一：如图2，过点E作EG⊥AC于G，过A作AF⊥BC于F，

Rt△CEG中，∠C＝30°，CE＝1，
∴EG=12CE=12，CG=123，
∵AC＝AB＝23，
∴AG＝AC﹣CG＝23-32=332，
∵AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴AF=12AC=3，
∵∠DAE＝∠FAC＝60°，
∴∠DAF＝∠EAG，
∵∠AFD＝∠AGE＝90°，
∴△ADF∽△AEG，
∴AFAG=DFEG，即3332=DF12，
∴DF=13，
由勾股定理得：AE2＝AF2+EF2＝AG2+EG2，
∴(3)2+EF2=(332)2+(12)2，
解得：EF＝2或﹣2（舍），
∴DE＝DF+EF=13+2=73；
解法二：如图3，线段AD绕点A逆时针旋转120°到AM，连接CM，EM，过M作MQ⊥BC于Q，

由（1）同理得△ABD≌△ACM，
∴∠ACM＝∠B＝30°＝∠ACB，∠BAD＝∠CAM，
∴∠MCQ＝60°，
Rt△QMC中，CQ=12CM，
由图2知：AB＝23，AF=3，
由勾股定理得得：BF＝CF＝3，
∵CE＝1，
∴BE＝3+3﹣1＝5，
设CQ＝x，则CM＝BD＝2x，QM=3x，
∴EQ＝x﹣1，
∵∠DAE＝60°，∠BAC＝120°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠EAC+∠CAM＝60°，
∴∠DAE＝∠EAM，
∵AD＝AM，AE＝AE，
∴△ADE≌△AME（SAS），
∴EM＝DE＝5﹣2x，
由勾股定理得：EM2＝EQ2+QM2，
∴（3x）2+（x﹣1）2＝（5﹣2x）2，
解得：x=43，
∴DE＝5﹣2x=73．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于△ABC和直线l给出如下定义：
若△ABC的一条边关于直线l的对称线段PQ是⊙O的弦，则称△ABC是⊙O的关于直线l的“关联三角形”，直线l是“关联轴”．
（1）如图1，若△ABC是⊙O的关于直线l的“关联三角形”，请画出△ABC与⊙O的“关联轴l”（至少画两条）；
（2）若△ABC中，点A坐标为（2，3），点B坐标为（4，1），点C在直线y＝﹣x+3图象上，存在“关联轴l”使△ABC是⊙O的关联三角形，求点C横坐标的取值范围；
（3）已知A（3，1），将点A向上平移2个单位得到点M，以M为圆心MA为半径画圆，B，C为⊙M上的两点，且AB＝2（点B在点A右侧），若△ABC与⊙O的关联轴至少有两条，直接写出OC的最小值和最大值，以及OC最大时AC的长．


【答案】（1）作图见解析部分；
（2）0≤x≤4．；
（3）OC的最小值为23-2，OC的最大值为27，此时AC的长为23．
【分析】（1）根据题意画出直线l1，直线l2即可；
（2）利用图象法解决问题即可；
（3）如图，连接OM，AM．由题意M（3，3），推出OM=32+(3)2=23，当点C在线段OM上时，OC的值最小，且符合题意，推出OC的最小值为23-2，当BC＝2时，符合题意，此时OC的值最大，连接BM，CM，此时△ABM，△MBC都是等边三角形，推出AM＝CM＝BC＝AB＝2，可得结论．
【详解】解：（1）如图，直线l1，直线l2即为所求．


（2）由题意可知，点C横坐标x的取值范围是0≤x≤4．


（3）如图，连接OM，AM．

由题意M（3，3），
∴OM=32+(3)2=23，
当点C在线段OM上时，OC的值最小，且符合题意，
∴OC的最小值为23-2，
当BC＝2时，符合题意，此时OC的值最大，
连接BM，CM，此时△ABM，△MBC都是等边三角形，
∴AM＝CM＝BC＝AB＝2，
∴四边形AMCB是菱形，
∴C（23，4），
∴OC的最大值=(23)2+42=27，此时AC的长为23．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，轴对称，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．