湘豫名校联考2023届高三5月三模理科数学试题及答案

湘豫名校联考2023届高三5月三模理科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知全集，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知，则的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

3．已知向量，则向量在向量方向上的投影为（    ）

A． B． C．5 D．

4．近年来，电动自行车以其快捷､轻便､经济等优点成为老百姓的代步工具，但随之出现了一系列问题，如违规停放､私拉电线充电､占用安全通道等，给人民安全带来隐患.为进一步规范电动自行车管理，某社区持续开展了两轮电动车安全检查和宣传教育，为了解工作效果，该社区将四名工作人员随机分派到三个小区进行抽查，每人被分派到哪个小区互不影响，则三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ）

A． B．

C．或 D．或

6．已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

7．执行如图所示的程序框图，若输入的的值分别为，则输出的（    ）

A．4 B．5 C．18 D．272

8．的展开式中的系数为（    ）

A．18 B．135 C．540 D．1215

9．已知等差数列中，，，则数列的前2022项的和为（    ）

A．1010 B．1011 C．2021 D．2022

10．已知非钝角中，，，是边上的动点.若平面，，且周长的最小值为，则三棱锥外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

11．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，过点作准线的垂线，垂足为，点为准线与轴的交点，若，则四边形的面积为（    ）

A． B． C． D．

12．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．曲线在点处的切线方程为__________.

14．已知直线与圆（为整数，为正整数）相交于两点，若，则满足条件的的值可以为__________.（答案不唯一，答出一个即可）

15．已知等比数列的前项和为，且满足，则当__________时，最大.

16．已知函数的部分图象如图所示，同时满足，若函数在区间上共有8个零点，则这8个零点之和为__________.

三、解答题

17．已知分别为的内角的对边，且.

(1)求角；

(2)若的面积为，求的周长.

18．随着我国居民生活水平的提高和人们对精神生活的追求，如今有越来越多的人养宠物，很多人的朋友圈除了晒美食､晒旅行､晒孩子外，还会晒各自的宠物，宠物也成了很多家庭中的重要角色之一，为记录下宠物可爱､呆萌的瞬间，会有很多人选择去宠物照相馆，为了解顾客的消费需求，某宠物照相馆对近期200名客户的宠物拍照信息进行了相关统计，绘制成如图所示的频率分布直方图.若套餐价格（单位：元）在内的称为“尊享套餐”，在内的称为“普通套餐”.

(1)根据统计数据完成以下列联表，并判断是否有的把握认为是否选择“尊享套餐”与年龄有关？

(2)把频率当作概率，现从年龄低于45岁的所有客户中，随机抽取3名客户，记所抽取的3名客户中选择“普通套餐”的人数为，求的分布列和数学期望.

参考公式：，其中.

参考数据：

19．如图，直三棱柱中，，为上一点，且.

(1)证明：平面平面；

(2)若直三棱柱的体积为，求二面角的余弦值.

20．已知椭圆的上、下焦点分别为，，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于，两点，的周长为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若点A是椭圆的上顶点，设直线，，的斜率分别为，，，当时，求证：为定值.

21．已知函数为函数的导函数.

(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；

(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的值.

22．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若点P的极坐标为，直线与曲线C相交于A，B两点，求的值.

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

参考答案：

1．C

【分析】根据补集的概念结合元素与集合的关系即可得答案.

【详解】因为，所以.

又，所以.

所以，故ABD错误，C正确.

故选：C.

2．C

【分析】由复数相等的充要条件可得的值.

【详解】因为，所以，

由复数相等的充要条件得，所以.

故选：C.

3．B

【分析】先由向量坐标的加减运算求出的坐标，然后求出和，代入向量在向量方向上投影的公式即可求出结果.

【详解】由题知，向量，所以.

又，所以向量在向量方向上的投影为.

故选:B.

4．B

【分析】根据分组分配法求出分配方案数后，由古典概型概率公式计算出概率．

【详解】依题意，可得三个小区中恰有一个小区末分配到任何工作人员的概率为.

故选：B.

5．C

【分析】利用待定系数法，分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况，分别设出双曲线的标准方程，再利用条件建立方程，即可求出结果.

【详解】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点，

当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，

若将点代入，得①，

又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为.

当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④，

联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为，

综上所述，双曲线的标准方程为或.

故选：C.

6．D

【分析】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C.

【详解】因为，，且，

由基本不等式可得（当且仅当时取等号），A正确；

由基本不等式知，则，

即（当且仅当时取等号），B正确；

由题得，

由已知，故，所以，

故，C正确；

由基本不等式可得，

即（当且仅当时取等号），D错误.

故选：D.

7．D

【分析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量的变化情况，即可得到答案.

【详解】执行程序框图，第一次循环：；

第二次循环：；

第三次循环：；

第四次循环：，；

第五次循环：，

此时，退出循环，输出.

故选：D.

8．C

【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.

【详解】，

的展开式的通项为.

因为的展开式中没有项，

的展开式中项为，

所以的展开式中的系数为540.

故选：C.

9．D

【分析】设等差数列的公差为，由与联立可得关于的方程组，求解可得根据等差数列的通项公式可得，再由分组求和法即可求解.

【详解】设等差数列的公差为，

则由,得，

化简得,解得

所以.

设数列的前n项和为，

当时，；

当时，.

所以

.

故选:D.

10．A

【分析】根据勾股定理及三角形的周长公式，利用线面垂直的性质及判定定理，结合球的体积公式即可求解.

【详解】由题意可知，作出图形如图所示

在中，设，则.

所以的周长为.

所以，不等式两边平方，得，解得，即的最小值是1.

所以点A到边BC的距离为1.

当AQ取最小值时，因为在中，，

所以.

又，所以C，Q两点重合，

所以，即.

又平面，平面，所以.

又，平面，所以平面.

因为平面，所以.

因为PB是和的公共斜边，

所以PB为三棱锥的外接球的直径，

设外接球的半径为R，则，

所以三棱锥的外接球的体积.

故选：A.

11．A

【分析】由抛物线的定义可得是正三角形，设，根据几何性质求得点坐标，从而可得直线的方程，联立直线与抛物线可求得点坐标，按照面积分割即可得四边形的面积.

【详解】如图，不妨设点在轴上方，

由抛物线的定义可知，因为，所以，所以是正三角形.

由可知，设，因为，

所以.所以.

所以点的坐标为，所以直线的方程为，整理得.

由，得，解得.

将代入直线的方程，得，所以点的坐标为.

所以.

故选：.

12．B

【分析】对变形得，构造函数，，分别求导确定函数单调性，根据单调性比较函数值大小即可得答案.

【详解】，

令，则，所以在上单调递增.

所以，即.

令，则，所以在上单调递增.

所以，即.

又当时，，所以当时，.

所以当时，，即.

故选：B.

13．

【分析】求导，根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线的斜率为，再求出切点，从而可求切线方程.

【详解】由题得，所以曲线在点处的切线的斜率为.

又，所以曲线在点处的切线方程为，即.

故答案为:.

14．3（答案不唯一）

【分析】根据，利用弦长公式得到，再根据必为整数求解.

【详解】解：因为圆心到直线的距离，

所以，

即.

由题意，得必为整数，且，

所以可取-1或，

此时，因此的值可以取3.

故答案为：3（答案不唯一）

15．7或8

【分析】利用等比数列性质和前n项和公式求基本量，进而写出通项公式，令求n范围，即可确定答案.

【详解】由题意，，所以，解得.

又252，解得.

所以.

令得：，又，

所以当或8时，最大.

故答案为：7或8

16．

【分析】根据题意得出函数的对称轴和周期，进而求出函数的解析式，然后根据正弦函数的图象与性质即可求解.

【详解】由题图知.由知，函数的图象关于直线对称.

则由图象可知，解得.

又，所以.所以，最小正周期.所以.

所以.因为函数的图象经过点，

所以，解得.

又，所以，所以.

设方程在上的8个根从小到大依次为.

令，则.根据的图象的对称性，可得.

由的周期性可得

，

所以.

故答案为：.

17．(1)

(2)6

【分析】（1）根据，利用正弦定理结合两角和与差的正弦函数得到，再利用辅助角公式求解.

（2）由的面积为，结合，得到，再利用余弦定理求解.

【详解】（1）解：因为，

所以由正弦定理得.

因为，

所以，

所以.

因为，

所以，

所以，即.

所以，

即

又，

所以.

（2）因为的面积为，所以.

由，所以.

由余弦定理得，

又，所以.

解得.

故的周长为.

18．(1)列联表见解析，没有

(2)分布列见解析，

【分析】（1）先求得套餐价格在内的频率，再乘以200即可；完善列联表，求得的观测值，再与临界值表对照下结论；

【详解】（1）解：因为套餐价格在内的频率为，

所以选择“尊享套餐”的客户有（名）.

完善列联表如下：

的观测值.

所以没有的把握认为是否选择“尊享套餐”与年龄有关.

（2）由题设，年龄低于45岁的所有客户中，估计选择“普通套餐”的概率为，

易知.

所以，，

所以的分布列为

所以.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）几何法：作交于点，交于点，连接，利用勾股定理和相似比可得四边形是平行四边形，所以，再根据面面垂直的性质定理和判断定理即可证明；向量法：利用勾股定理和线面垂直的性质定理可得两两垂直，以点为原点，以所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；

（2）由直三棱柱体积可得，利用勾股定理和线面垂直的性质定理可得两两垂直，以点为原点，以所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用空间向量法求解即可.

【详解】（1）方法一（几何法）:如图，作交于点，交于点，连接，

因为，

所以，所以，

所以由等面积可得，

由勾股定理得，

所以，所以，

又，，所以，

所以四边形是平行四边形，所以，

因为直三棱柱平面平面，平面平面，

所以平面，

所以平面，

又平面，所以平面平面.

方法二（向量法）：因为，

所以，所以，

由题知平面，又平面，

所以两两垂直，

以点为原点，以所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，

所以，

设平面的法向量为，

则，

令，得平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，

则，

令得平面的一个法向量为，

因为，

所以，平面平面.

（2）因为直三棱柱的体积为，所以，解得，

所以，

由题知平面，又平面，

所以两两垂直，

以点为原点，以所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

所以，

设平面的法向量为，

则，

令，得平面的一个法向量为，

易知平面的一个法向量为

设二面角的大小为，则，

易知为锐角，

所以二面角的余弦值为.

20．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由条件结合椭圆的定义和离心率的定义列方程求，由此可得椭圆方程；

（2）由已知设的方程为，联立方程组利用设而不求法求，由此证明结论.

【详解】（1）依题意，的周长为，

解得.

设椭圆的半焦距为，

因为椭圆的离心率为，

所以，即，解得.

因为，

所以.

所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知，，.易知直线的方程为.

由消去得，

.

设，，则，.

所以，.

所以.

.

所以.

所以，为定值.

【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

21．(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义求导函数，根据切线斜率列方程求解实数的值；

（2）由不等式恒成立构造函数，求导函数，确定函数的极值，求得实数的值，再检验函数的单调性即可.

【详解】（1）由，得.

所以曲线在点处的切线的斜率为.

所以，解得.

（2）由（1）知，，

所以不等式，即对任意恒成立.

令，

则

因为，

所以，即为的最小值，为的一个极小值点.

所以，解得.

当时，，

所以.

令，易知在上单调递增.

①当时，，

所以（当且仅当时等号成立），所以在上单调递增.

②当时，若，则，

所以；

若，则，

所以.

所以在上单调递减.

综上所述，在上单调递减，在上单调递增.

所以当时，.

【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查逻辑推理､数学运算的核心素养.解决本题中不等式恒成立问题中参数问题的关键是构造函数后，求导确定函数的极值点，即可得的值，但是要检验函数单调性，由其复杂的导函数构成，需要结合分离函数的思想确定导数符号，属于难题.

22．(1)，

(2)

【分析】（1）利用消元法将参数方程化为普通方程即可得到直线l的普通方程；利用极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得到曲线C的直角坐标方程；

（2）将点P的极坐标化为直角坐标判断得P在直线l上，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线l代入曲线C的直角坐标方程，结合韦达定理即可求解.

【详解】（1）因为直线的参数方程为（t为参数），

所以消去参数t可得直线的普通方程为.

因为曲线的极坐标方程为，即，

所以.

由得.

所以曲线C的直角坐标方程为

（2）因为点P的极坐标为，

所以点P的直角坐标为.

易得，点P在直线上，

将直线的参数方程（t为参数）代入，

化简得，.

设A，B两点所对应的参数分别为，，则，，

所以，.

所以.

23．(1)

(2)

【分析】（1）把代入，将函数化为分段函数的形式，然后列出不等式组求解即可得到结果．

（2）利用绝对值三角不等式可得，即可转化为，解出即可．

【详解】（1）当时，，

不等式，即为.

则或或

解得或或.

故不等式的解集为.

（2）（当且仅当时等号成立）

因为恒成立，所以.

所以①或②.

由①解得，由②解得.

综上所述，，

故实数的取值范围是.