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    2023届江西省新干中学高三一模数学(文)试题含解析

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    这是一份2023届江西省新干中学高三一模数学(文)试题含解析,共17页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2023届江西省新干中学高三一模数学(文)试题

     

    一、单选题

    1.已知集合,则    

    A B C D

    【答案】B

    【解析】根据对数函数的定义域,求集合,再求.

    【详解】

    .

    故选:B

    2.已知复数是虚数单位),则在复平面内对应的点位于

    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

    【答案】B

    【解析】利用复数的乘法法则将复数化为一般形式,即可得出复数在复平面内对应的点所在的象限.

    【详解】在复平面内对应的点的坐标为,位于第二象限.

    故选:B.

    【点睛】本题考查复数的乘法运算,同时也考查了复数的几何意义,考查计算能力,属于基础题.

    3.在中,的中点,,则    

    A2 B1 C D

    【答案】A

    【分析】利用平面向量基本定理由可得答案.

    【详解】如图,

    ,且,得.

    故选:A.

    4中国剩余定理又称孙子定理,此定理讲的是关于整除的问题,现将正自然数中,能被3除余1且被2除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列,则    

    A103 B109 C115 D121

    【答案】C

    【分析】根据等差数列的通项即可求解.

    【详解】由能被3除余1且被2除余1的数为能被6除余1的数,故是以1为首项,6为公差的等差数列,所以,故.

    故选:C

    5.已知角的顶点在原点,始边与轴的正半轴重合,终边经过点,则    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】先利用三角函数的恒等变换确定点P的坐标,再根据三角函数的定义求得答案.

    【详解】,

    ,

    ,则

    故选:D.

    6.甲、乙、丙三名同学到足球场馆和篮球场馆做志愿者,每名同学只去一个场馆,且每个场馆至少去一名同学,则甲、乙两人安排在同一个场馆的概率为(   

    A B C D

    【答案】B

    【分析】先求得符合条件的所有情况,然后根据古典概型求得结果.

    【详解】甲、乙、丙三名同学到足球场馆和篮球场馆做志愿者,若甲独自一人去某场馆,乙、丙同去另一个场馆,则共2种情况,故总共有6种情况,其中甲、乙两人安排在同一个场馆有2种情况,故所求概率为

    故选:B.

    7.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若,则

    A2 B4 C6 D8

    【答案】D

    【详解】2p=4p=2=x1+x2+p=8

    故选D

    点睛:若为抛物线上一点,由定义易得;若过焦点的弦的端点坐标为,则弦长为可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.

    8.某几何体的三视图如图所示,俯视图是有一条公共边的两个正三角形.该几何体的表面积为(    

    A B C D

    【答案】D

    【解析】画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的表面积即可.

    【详解】解:由题意,几何体的直观图如图:是两个三棱锥的组合体,底面是正三角形,边长为2,棱锥的高为1

    所以几何体的表面积为,.

    故选:

    【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积,考查空间想象能力以及计算能力,属于基础题.

    9.若,平面内一点满足,则的最大值是 (    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】为线段的靠近的一个三等分点,且,由推出的平分线,根据角平分线定理得到,设,则,根据余弦定理以及基本不等式求出的最小值,从而可得的最大值.

    【详解】为线段的靠近的一个三等分点,且

    因为,所以

    所以,所以

    所以的平分线,

    根据角平分线定理可得,设,则

    所以

    当且仅当时,等号成立,

    所以

    的最大值是.

    故选:B

    【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:

    1一正二定三相等”“一正就是各项必须为正数;

    2二定就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;

    3三相等是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.

    10.已知三角形的三边长分别为ab,则三角形的最大内角是(  )

    A135° B120°

    C60° D90°

    【答案】B

    【分析】先比较边的大小,得到最大边,再利用余弦定理求解.

    【详解】因为

    所以长为的边所对的角 最大,

    由余弦定理,得

    因为

    所以三角形的最大内角是

    故选:B.

    11.已知定义域为的奇函数满足上恒成立,且,则不等式的解集为(    

    A B

    C D

    【答案】A

    【分析】由题得上恒成立,设,求出函数的奇偶性和单调性,解不等式得解.

    【详解】由题得上恒成立,

    所以上恒成立,

    ,所以上恒成立,

    所以函数单调递增.

    ,

    所以函数是偶函数,所以函数单调递增,在单调递减.

    ,

    所以.

    时,,所以.

    时,,所以.

    综上所述,.

    故选:A

    【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查函数的奇偶性的判断和应用,考查函数的单调性的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

    12.函数在定义域R内可导,若,若,则abc的大小关系是(    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】确定函数关于对称,再确定函数的单调性,综合两者判断大小得到答案.

    【详解】,即,函数关于对称,

    时,,即,函数单调递减;

    时,,即,函数单调递增.

    ,故.

    故选:C.

    【点睛】本题考查了利用函数的单调性和对称性判断函数值的大小关系,意在考查学生对于函数性质的综合应用能力.

     

    二、填空题

    13.双曲线的两条渐近线的夹角的弧度数为________________.

    【答案】

    【详解】试题分析:双曲线的两条渐近线为,斜率为,倾斜角分别为,它们的夹角为.

    【解析】双曲线的渐近线.

    14.若的展开式的第项的二项式系数为,则其展开式中的常数项为________.

    【答案】

    【分析】根据第项的二项式系数可知,求出,进而得到展开式的通项公式;令的幂指数为零可知;代入通项公式可求得常数项.

    【详解】由二项式定理可知,第项的二项式系数:,解得:

    展开式通项公式为:

    ,解得:

    常数项为:

    本题正确结果:

    【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的系数的问题,关键是能够明确二项式系数的定义、二项展开式的通项公式的形式.

    15.在中,是中线,已知,定义,求的最小值是____________.

    【答案】

    【分析】2,连接CE,可得BDCE,运用三点共线的向量表示,结合图形求得A到直线EC的距离,即可得到所求最小值.

    【详解】

    2|•(2+1|

    2,连接CE,可得BDCE

    AEC30°,

    •(2+1

    1)=1,可得H在直线EC上,

    即有AEC的距离为|AH|4sin30°=2

    fλ)的最小值为2×24

    故答案为:4

    .

    【点睛】本题考查向量模的最值,注意运用三点共线的向量表示,考查运算能力和数形结合思想,属于中档题.

    16.已知三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上,,则该三棱锥体积的最大值是__

    【答案】

    【分析】结合球体,画出具体的几何体图像,设,则外接圆的半径为,表示出三棱锥的高为,表示出三棱锥的体积公式,结合基本不等式,换元法,导数即可求得答案

    【详解】

    如图所示,设,则外接圆的半径为

    则三棱锥的高为,三棱锥的体积公式为

    ,则

    ,解得单增,单减,

    所以三棱锥体积最大值为

    【点睛】本题考查球体的内接三棱锥最大体积的求法,综合性强,结合了基本不等式、换元法、导数求导方法,对思维转化能力,运算能力要求较高

     

    三、解答题

    17.设是公比为正数的等比数列,.

    (1)的通项公式;

    (2)是首项为1,公差为2的等差数列,求数列的前n项和.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)设为等比数列的公比,由已知易得值,则数列的通项可求;

    2)由已知可得的通项,利用分组求和法,求解.

    【详解】1)设为等比数列的公比,

    则由,解得q3

    的通项为

    2)由已知可得

    .

    18.为培养学生在高中阶段的数学能力,某校将举行数学建模竞赛.已知该竞赛共有60名学生参加,他们成绩的频率分布直方图如图所示.

    1)估计这60名参赛学生成绩的中位数;

    2)为了对数据进行分析,将60分以下的成绩定为不合格.60分以上(含60分)的成绩定为合格,某评估专家决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人,然后从这10人中抽取4人参加座谈会,记为抽取的4人中,成绩不合格的人数,求的分布列与数学期望;

    3)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩服从正态分布,其中可用样本平均数近似代替,可用样本方差近似代替(同一组数据用该区间的中点值作代表),若成绩在46分以上的学生均能得到奖励,本次数学建模竞赛满分为100分,估计此次竞赛受到奖励的人数(结果根据四舍五入保留整数).

    参考数据:.

    【答案】1)中位数为65;(2)分布列见解析;期望为;(3.

    【分析】1)由图中的数据可判断中位数在60分到80分之间,若设中位数为,则,从而可求得中位数;

    2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知,抽取的10人中合格的人数为6人,不合格的人数为4人,则的可能取值为01234,求出各自的概率,从而可得的分布列与数学期望;

    3)由已知求出,从而可得,再利用正态分布的对称性可求得结果

    【详解】1)设中位数为,则,解得,所以这60名参赛学生成绩的中位数为65.

    2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知,抽取的10人中合格的人数为,不合格的人数为.

    由题意可知的可能取值为01234.

    .

    所以的分布列为

    0

    1

    2

    3

    4

    所以的数学期望.

    3)由题意可得,,则

    服从正态分布,得,则,所以此次竞赛受到奖励的人数为.

    【点睛】此题考查频率分布直方图、分层抽样、离散型随机变量的分布列、正态分布等知识,考查分析问题的能力和计算能力,属于中档题

    19分别是椭圆的左、右焦点,ME上一点,直线MF2x轴垂直,且.

    (1)求椭圆E的方程;

    (2)ABCD是椭圆E上的四点,ACBD相交于点F2,且ACBD,求四边形ABCD面积的最小值.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)根据已知条件求得,由此求得椭圆的方程.

    2)根据直线的斜率进行分类讨论,求得四边形的面积,结合基本不等式求得四边形的面积的最小值.

    【详解】1)依题意

    由于轴,且

    结合

    所以椭圆的方程为.

    2)设四边形的面积为.

    当直线的斜率不存在时,

    .

    当直线的斜率为时,同理可求得.

    当直线的斜率存在且不为时,

    设直线的方程为

    消去并化简得

    所以

    所以

    直线的方程为

    同理可求得.

    所以

    当且仅当时等号成立,且.

    综上所述,四边形的面积的最小值为.

    【点睛】求解椭圆中四边形面积的最值问题,关键步骤有两个,第一个是求得面积的表达式,这一步求弦长时需要很强的运算能力.第二个是求面积的最值,可考虑利用基本不等式、二次函数的性质、三角换元法来进行求解.

    20.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCDPA=BC=CD=BD=2AB=AD=ACBD交于点O,点M在线段PA上,且PM=3MA.

    1)证明:平面

    2)求三棱锥P-MCD的体积.

    【答案】1)证明见解析;(2.

    【分析】(1)由已知条件求出的长,从而可得,进而可知,结合线面平行的判定定理,从而可证明平面.

    (2)中结合余弦定理求出,从而可知CDAD,根据线面垂直的性质和判定可得CD平面PAD,从而求出三棱锥P-MCD的高,进而可求出三棱锥的体积.

    【详解】解:(1)由已知可得ABC≌△ADCACBDOBD的中点,

    BC=CD=BD=2AB=AD=,得OA=OC=.

    OMPC,又OM平面PBCPC平面PBCOM平面PBC.

    2PA底面ABCDPACD.

    ABD中,AB=AD=BD=2,由余弦定理得,又CDB=60°

    ∴∠CDA=90°,即CDADCD平面PAD.∴=.

    【点睛】关键点睛:

    本题考查了线面平行的判定,考查了线面垂直的性质,考查了三棱锥体积的求解.本题的关键是求体积时,证明线面垂直从而找出三棱锥的高.

    21.已知函数.

    (1)时,求曲线处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

    (2)若关于的方程恰有四个不同的解,求的取值范围.

    【答案】(1)1

    (2).

     

    【分析】1)利用导数的几何意义求出切线方程,最后根据切线与横轴、纵轴的交点坐标进行求解即可;

    2)由题可得有四个不同的解,构造函数,利用导数研究函数的性质,然后利用数形结合即得.

    【详解】1)当时,

    所以

    所以切线的斜率

    则切线方程为

    该切线与轴交于点,与轴交于点

    所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

    2)由可得,

    ,即

    ,则

    ,则

    变化时,变化如下,

    0

    2

    0

    0

    极小值0

    极大值

    函数的图象如图,

    要使方程恰有四个不同的解,

    因为与函数的图象有一个交点,则与函数的图象有三个交点,

    ,即

    的取值范围为.

    【点睛】利用导数研究零点问题:

    1)确定零点的个数问题:可利用数形结合的办法判断交点个数,如果函数较为复杂,可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象;

    2)方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法,把问题转化为研究构造的函数的零点问题;

    3)利用导数研究函数零点或方程根,通常有三种思路:利用最值或极值研究;利用数形结合思想研究;构造辅助函数研究.

    22.在直角坐标系中,曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为为参数,.

    1)求曲线和直线的直角坐标方程;

    2)若直线与曲线交于两点,且,求以为直径的圆的方程.

    【答案】1)曲线的直角坐标方程为,直线的直角坐标方程为;(2.

    【分析】1)利用,把化成直角坐标方程;直线的参数方程为因为为参数,所以消,得到直角坐标方程.

    2)直线方程与曲线方程联立,求出A,B两点横坐标之和,再利用抛物线的定义,可求出的值,直线方程确定,可以求出AB中点的坐标,以及半径,最后求出圆的方程.

    【详解】1)曲线的直角坐标方程为,直线的直角坐标方程为

    2)设Ax1y1),Bx2y2)由

    所以.因直线过抛物线的焦点

    所以.由题设知,又,故

    因此的方程为

    的中点坐标为(32),因此所求圆的方程为

    【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化、韦达定理、抛物线的定义、圆的方程.

    23.设函数.

    1)若,求的解集;

    2)若,求a的取值范围.

    【答案】1;(2.

    【分析】1)代入的值,得到关于的不等式组,利用分类讨论法,解出即可;

    2)依题意可得恒成立,令根据绝对值三角不等式可得,所以解得即可;

    【详解】解:(1)由

    时,,解得,所以

    时,,解得,所以

    时,,解得:

    综上可得:,所求的解集为.    

    2)因为恒成立,

    恒成立,

    ,或

    所求的a的取值范围是:.

    【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式,绝对值三角不等式的应用,属于中档题.

     

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