湖南省邵阳市2023届高三数学三模试题（Word版附答案）

2023年邵阳市高三第三次联考

数学

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的.

1. 已知集合,则

A.

B.

C.或 

D. 或

2. 设复数z满足,则|z|=

A. 2    B. 1    C.    D. 2

3. 在△ABC中,D是BC边上一点,P是线段AD的中点,且.则

A.     B. 1    C.     D. 2

4.“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出 2和 2 以上的自然数，留下第一个数 2不动，剔除掉所有 2 的倍数；接着，在剩余的数中 2后面的一个数3不动，剔除掉所有3 的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为

A.130   B.132   C.134   D.141

5，为加强居民对电信诈骗的认识，提升自我防范的意识和能力，拧紧保障居民的生命财产的“安全阀”，某社区开展了“防电信诈骗进社区，筑牢生命财产防线”专题讲座，为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份防电信诈骗手段知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图（1）所示，则

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数大于75%

B.讲座后问卷答题的正确率的众数为85%

C.讲座前问卷答题的正确率的方差小于讲座后正确率的方差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

6. 如图(2)所示,正八面体的棱长为2,则此正八面体的表面积与体积之比为

A.     B.

C.     D.

7. 拿破仑·波拿巴最早提出了一个几何定理:“以任意三角形的三条边为边,向外构造三个等边三角形,则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(此等边三角形称为拿破仑三角形)的顶点”.在△ABC中,已知,且,,现以BC,AC,AB为边向外作三个等边三角形,其外接圆圆心依次记为 , , ,则 的边长为

A. 3     B. 2    C.      D.

8. 定义在R上的可导函数f(x)满足,且在(0,+∞)上有若实数a满足,则a的取值范围为

A.   B.   C.或  D.

二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符

合题目要求. 全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9. 下列命题中,正确的有

A. 若,则      B. 若,则

C. 若,则     D. 若,则

10. 已知函数,则

A. f(x)的最小正周期为2π     B. f(x)在上单调递增

C. f(x)的图象关于直线对称   D. 若,则f(x)的最小值为-1

11. 已知双曲线C 的左、右焦点分别为 , ,双曲线具有如下光学性质:从右焦点 发出的光线m交双曲线右支于点P,经双曲线反射后,反射光线n的反向延长线过左焦点 ,如图(3)所示. 若双曲线C的一条渐近线的方程为,则下列结论正确的有

A. 双曲线C的方程为:

B. 若,则

C. 若射线n所在直线的斜率为k,则

D. 当n过点M(8,5)时,光由所经过的路程为10

12. 如图(4)所示,已知点A为圆台 下底面圆周上一点,S为上底面圆周上一点,且,则

A. 该圆台的体积为

B. 直线SA与直线 所成角最大值为

C. 该圆台有内切球,且半径为

D. 直线 所成角正切值的最大值为

三、填空题:本题4小题,每小题5分,共20分.

13. 一个袋子中有大小和质地相同的5个球,其中有3个红色球,2个白色球,从袋中不放

回地依次随机摸出2个球,则第2次摸到红色球的概率为___.

14. 三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,,则三棱锥外接球的表面积为___.

15. 过抛物线的焦点F作倾斜角为 的直线l,l与抛物线及其准线从上到下依次交于A,B,C三点.令,则的值为___.

16. 已知函数有两个极值点 , ,且,则实数m的取值范围是___.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)如图(5)所示,D为△ABC外一点,且,,

(1)求sin∠ACD的值;

(2)求BD的长.

18.(12分)记 为等差数列{ }的前n项和,已知,数列{ }满足

(1)求数列{ }与数列{ }的通项公式;

(2)数列{ }满足 ,n为偶数,求{ }前2n项和

19.(12分)如图(6)所示,在直四棱柱ABCD- 中,底面ABCD为菱形,,,E为线段 上一点.

(1)求证:

(2)若平面 与平面ABCD的夹角的余弦值为 ,求直线BE与平面 所成角的正弦值.

20.（12分）某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选取了100名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人数之比为，评价结果分为“喜欢”和“不喜欢”，并将部分评价结果整理如下表所示.

(1)根据所给数据,完成上面的列联表;

(2)依据的独立性检验,能否认为性别因素与评价结果有关系?

(3) 电视台计划拓展男性观众市场,现从参与评价的男性中,按比例分层抽样的方法选取3人,进行节目“建言”征集奖励活动,其中评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为 ,评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为 ,“建言”被采用奖励100元,“建言”不被采用奖励50元,记3人获得的总奖金为X,求X的分布列及数学期望.

21.(12分)已知椭圆C:的离心率为 ,且过点( , ).

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)已知O为坐标原点,A,B,P为椭圆C上不同的三点,若.试问:△ABP的面积是否为定值?如果是,求出这个定值,如果不是,请说明理由.

22.(12分)已知函数

(1)当 时,求曲线在点(0,f(0))处的切线方程;

(2)当时,恒成立,求a的取值范围.