2023届湘豫名校联考高三第三次模拟考试（5月）文科数学试题

湘豫名校联考

2023年5月高三第三次模拟考试

数学（文科）

注意事项：

1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知向量，满足，，则（    ）

A. B.29 C. D.13

4.已知x，y满足约束条件则的最大值为（    ）

A.4 B.9 C.11 D.12

5.某学校统计了10位同学一周的课外体育运动总时长（单位：小时），数据分别为6.3，7.4，7.6，8.0，8.1，8.3，8.3，8.5，8.7，8.8，则以下数字特征中数值最大的为（    ）

A.平均数 B.中位数 C.方差 D.众数

6.若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ）

A.  B.

C.或 D.或

7.函数的部分图象大致为（    ）

A. B.

C. D.

8.执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，m分别为1，1，4，则输出的（    ）

A.4 B.5 C.18 D.272

9.已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

10.已知等差数列中，，，则数列的前2022项的和为（    ）

A.1010 B.1011 C.2021 D.2022

11.已知非钝角中，，，是边上的动点.若平面，，且周长的最小值为，则三棱锥外接球的体积为（    ）

A. B. C. D.

12.已知函数在上的最小值为，则实数b的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若数列是公比为2的等比数列，，写出一个满足题意的通项公式______.

14.已知点P为圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为______.

15.已知是定义在上的奇函数，且满足，又当时，，则______.

16.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是______.

三、解答题：共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，.

（1）求证：a，b，c成等比数列；

（2）若，求的值.

18.（本小题满分12分）

随着人们生活水平的提高，健康越来越成为当下人们关心的话题，因此，健身也成了广大市民的一项必修课.某健身机构统计了2022年1∼5月份某初级私人健身教练课程的月报名人数y（单位：人）与该初级私人健身教练价格x（单位：元/小时）的情况，如下表所示.

（1）求（，2，3，4，5）的相关系数r，并判断月报名人数y与价格x是否有很强的线性相关性?（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）

（2）请建立y关于x的线性回归方程；（精确到0.001）

（3）当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为多少人?（结果保留整数）

参考公式：对于一组数据（，2，3，⋯，n），相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：.

19.（本小题满分12分）

如图，直三棱柱中，，，，为上一点，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若直三棱柱的表面积为，求五面体的体积.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆的上、下焦点分别为，，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于，两点，的周长为12.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若点A是椭圆C的上顶点，设直线，，的斜率分别为，，，当时，求证：为定值.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若，恒成立，求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若点P的极坐标为，直线与曲线C相交于A，B两点，求的值.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围.

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2023年5月高三第三次模拟考试

数学（文科）参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.B  【命题意图】本题考查集合的交集运算，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.

【解析】因为集合，，所以.故选B.

2.C  【命题意图】本题考查复数的几何意义，考查数学运算、直观想象的核心素养.

【解析】因为复数，所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.故选C.

3.A  【命题意图】本题考查向量的数量积，考查数学运算的核心素养.

【解析】因为向量，所以①.又②，①②两式相减得，所以，.所以.故选A.

4.C  【命题意图】本题考查线性规划，考查数学运算、直观想象的核心素养.

【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，由可得，平移直线，当直线经过点时，取最大值.由解得所以.故.故选C.

5.D  【命题意图】本题考查数字特征的应用，考查数学运算的核心素养.

【解析】经计算，这10位同学一周课外体育运动总时长的平均数为8，而众数为8.3，中位数为8.2，方差小于，故最大值为8.3，为众数.故选D.

6.C  【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.

【解析】设双曲线的方程为或，因为和有相同的焦距，双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距.若的焦点在x轴上，将点代入，得①.又②，联立①②两式得，.所以双曲线的标准方程为.若的焦点在y轴上，将点代入，得③.又④，联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为.综上所述，双曲线的标准方程为或.故选C.

7.B  【命题意图】本题考查函数的图象识别，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.

【解析】，易知的定义域为.因为，所以为奇函数，图象关的原点对称.排除A，D选项；又，，所以排除C选项.故选B.

8.C  【命题意图】本题考查算法程序框图，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.

【解析】执行程序框图，第一次循环：，，，，；第二次循环：，，，，；第三次循环：，，，，；第四次循环：，，，，，此时，退出循环，输出.故选C.

9.D  【命题意图】本题考查四个平均数的大小关系，基本不等式的性质，考查数学运算的核心素养.

【解析】方法一：（当且仅当时取等号），A正确；易知，则，即（当且仅当时取等号），B正确；由题得，，故，C正确；易知，即（当且仅当时取等号），D错误.故选D.

方法二（特殊情况）：取，则，D错误.故选D.

10.D  【命题意图】本题考查等差数列的基本运算，数列的前n项和，考查数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.

【解析】设等差数列的首项为，公差为，则由得化简得解得所以.设数列的前n项和为，则.故选D.

11.A  【命题意图】本题考查三棱锥的外接球的体积，考查直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.

【解析】在中，设，则.所以的周长为.所以，不等式两边平方，得，解得，即的最小值是1.所以点A到边BC的距离为1.当AQ取最小值时，因为在中，，所以.又，所以C，Q两点重合，所以，即.又平面，平面，所以.因为，所以平面.因为平面，所以.因为PB是和的公共斜边，所以PB为三棱锥的外接球的直径，设外接球的半径为R，则，所以三棱锥的外接球的体积.故选A.

12.D  【命题意图】本题考查通过导数判断函数的最值，求参数的取值范围，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.

【解析】方法一：由题可得.

（1）当，即时，在上单调递减，函数的最小值为，符合题意，所以符合题意.

（2）当，即时，①当，即时，为开口向下的拋物线，且，恒成立，所以在上单调递减，函数的最小值为，符合题意.②当，即时，为开口向上的抛物线，且.令，则.解得或.当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又，所以在上的最小值为.令，得，化简得，解得（舍去）或（舍去）.当，即，即时，函数在上单调递减，所以函数在上的最小值为，符合题意.③当，即时，为开口向下的拋物线，且.令，则.解得或.当时，，即，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以此时在上的最小值为或.令，得，化简得，解得，故，

综上所述，实数b的取值范围是.故选D.

方法二：由题可得，，即，所以，即，即.当或时，不等式显然成立；当时，，因为，所以，，，所以；当时，，因为，所以，，，所以.综上可得，实数b的取值范围是.故选D.

方法三（间接法）：当时，在单调递减，且最小值为，满足条件，可排除A，B选项；当时，，，因为当时，，在上单调递減，所以的最小值为，满足条件，可排除C选项.故选D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.  （答案不唯一）【命题意图】本题考查等比数列的通项公式，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.

【解析】设等比数列的首项为，且公比，则由，得，即，即，所以.令，所以，所以可取.（答案不唯一）

14.  【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，考查直观想象和数学运算的核心素养.

【解析】由题可得，圆心，半径，圆心到直线的距离等于，所以点到直线的距离的最大值为.

15.  【命题意图】本题考查函数的奇偶性、周期性、对数运算求值，考查数学抽象、数学运算的核心素养.

【解析】因为为奇函数，所以.因为，所以，所以，所以.所以的一个周期为8..因为，所以，所以.因为当时，，是周期为8的奇函数，所以.

16.  【命题意图】本题考查三角函数的图象平移、函数的零点，考查直观想象和逻辑推理的核心素养.

【解析】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到函数的图象，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.当时，.由在上没有零点，得，即，解得或.故的取值范围是.

三、解答题：共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.【命题意图】本题考查解三角形，等比数列的判定，考查逻辑推理和数学运算的核心素养.

【解析】（1）因为，

所以.……1分

所以.……2分

根据余弦定理，得，……3分

所以.……4分

所以.……5分

所以a，b，c成等比数列.……6分

（2）由余弦定理，得.……8分

因为，所以由正弦定理，得.……9分

所以.……10分

所以.……12分

18.【命题意图】本题考查线性回归关系的判断，线性回归方程及其应用，考查数据分析和数学运算的核心素养.

【解析】（1）由已知数据可得，，……1分

，……2分

，……3分

，……4分

所以相关系数.……5分

因为，所以与有很强的线性相关性.……6分

（2）因为，……7分

，……8分

所以y关于x的线性回归方程为.……9分

（3）当时，，

故当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为4人.……12分

19.【命题意图】本题考查面面垂直的证明、三棱柱的表面积、五面体的体积，考查直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.

【解析】（1）如图，作于点E，交于点F，连接DF.

因为，，，

所以.

所以.……1分

所以.

由勾股定理得.

所以，所以.……3分

又，，所以.

所以四边形是平行四边形，所以.……4分

因为平面平面，平面平面，，

所以平面.……5分

所以平面.

又平面，所以平面平面.……6分

（2）由题易得五面体即四棱锥

由（1）知，

又，，所以平面.……8分

所以四棱锥的高为.

因为直三棱柱的表面积为，

所以，解得，即.

所以，.

又……10分

所以.

故五面体的体积为.……12分

20.【命题意图】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、三角形的周长等，考查直观想象和数学运算的核心素养.

【解析】（1）依题意，的周长为，

解得.……1分

设椭圆的半焦距为，

因为椭圆的离心率为，

所以，即，解得.……2分

因为，

所以.……3分

所以椭圆的标准方程为.……4分

（2）由（1）知，，.易知直线的方程为.……5分

由消去得，.

设，，则，.……7分

所以，.……8分

所以.

.

所以.……11分

所以，为定值.……12分

21.【命题意图】本题考查导数的几何意义、不等式恒成立求参数问题，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.

【解析】（1）当时，.……1分

因为，所以.……2分

又，……3分

所以曲线在点处的切线方程为，即.

（2）当时，易得，，

所以，恒成立.……6分

当时，，即.

不等式两边同时除以，且，

得.……7分

令，，

则.……8分

今，则.

当时，；当时，，

所以在上单调递增；在上单调递减.……10分

所以.

因为在上恒成立，

所以，即.

综上所述，实数的取值范围为.……12分

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.【命题意图】本题考查极坐标与参数方程，考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.

【解析】（1）因为直线的参数方程为（t为参数），

所以消去参数t可得直线的普通方程为.……2分

因为曲线的极坐标方程为，即，

所以.

由得.

所以曲线C的直角坐标方程为.……4分

（2）因为点P的极坐标为，

所以点P的直角坐标为.

易得，点P在直线上，

将直线的参数方程（t为参数）代入，……6分

化简得，.

设A，B两点所对应的参数分别为，，则，，

所以，.

所以.……10分

23.【命题意图】本题考查绝对值不等式的求解，绝对值不等式恒成立问题，考查逻辑推理和数学运算的核心素养.

【解析】（1）当时，，……1分

不等式，即为.

则或或……3分

解得或或.……4分

故不等式的解集为.……5分

（2）

（当且仅当时等号成立）.……6分

因为恒成立，所以.……7分

又，所以.……8分

解得.……9分

故实数a的取值范围是.……10分