上海市浦东新区三年（2021届-2023届）高考数学模拟题（一模）按题型汇编

这是一份上海市浦东新区三年（2021届-2023届）高考数学模拟题（一模）按题型汇编，共49页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

上海市浦东新区三年（2021届-2023届）高考数学模拟题（一模）按题型汇编

一、单选题
1．（2020·上海·统考一模）若、是实数，则是的（    ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
2．（2020·上海·统考一模）若某线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解的个数为（    ）
A．0个 B．1个 C．无数个 D．不确定
3．（2020·上海·统考一模）下列命题中，正确的是（    ）
A．三点确定一个平面
B．垂直于同一直线的两条直线平行
C．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则
D．若a、b、c是三条直线，且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上
4．（2020·上海·统考一模）已知函数，则以下4个命题：
①是偶函数；
②在上是增函数；
③的值域为；
④对于任意的正有理数，存在奇数个零点.
其中正确命题的个数为（   ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2021·上海浦东新·统考一模）已知直线在平面内，则“直线”是“直线”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2021·上海浦东新·统考一模）的二项展开式中第项是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·上海浦东新·统考一模）若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·上海浦东新·统考一模）函数，零点的个数不可能是（ ）
A．12个 B．13个 C．14个 D．15个
9．（2022·上海浦东新·统考一模）已知，，则“”是“”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
10．（2022·上海浦东新·统考一模）虚数的平方是（    ）
A．正实数 B．虚数 C．负实数 D．虚数或负实数
11．（2022·上海浦东新·统考一模）已知直线l与平面相交，则下列命题中，正确的个数为（    ）
①平面内的所有直线均与直线l异面；
②平面内存在与直线l垂直的直线；
③平面内不存在直线与直线l平行；
④平面内所有直线均与直线l相交.
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2022·上海浦东新·统考一模）已知平面直角坐标系中的直线、.设到、距离之和为的点的轨迹是曲线，、距离平方和为的点的轨迹是曲线，其中、.则、公共点的个数不可能为（    ）
A．0个 B．4个 C．8个 D．12个

二、填空题
13．（2020·上海·统考一模）________.
14．（2020·上海·统考一模）半径为2的球的表面积为________.
15．（2020·上海·统考一模）抛物线的准线方程为______________.
16．（2020·上海·统考一模）已知集合，，则=________．
17．（2020·上海·统考一模）已知复数满足（为虚数单位），则___________.
18．（2020·上海·统考一模）在中，若，，，则_________.
19．（2020·上海·统考一模）函数的反函数的定义域为___________.
20．（2020·上海·统考一模）在的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为_________．（用数字作答）
21．（2020·上海·统考一模）正方形的边长为2，点和分别是边和上的动点，且，则的取值范围为________．
22．（2020·上海·统考一模）若等比数列的前项和为，且满足，则数列的前项和为为________．
23．（2020·上海·统考一模）设函数，若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值构成的集合为________．
24．（2020·上海·统考一模）对于任意的正实数，，则的取值范围为___________.
25．（2021·上海浦东新·统考一模）已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=　_________　．
26．（2021·上海浦东新·统考一模）函数的反函数为，则___________.
27．（2021·上海浦东新·统考一模）若，则__________．
28．（2021·上海浦东新·统考一模）已知集合 ，，则___________.
29．（2021·上海浦东新·统考一模）底面半径长为，母线长为的圆柱的体积为___________.
30．（2021·上海浦东新·统考一模）三阶行列式中，元素2的代数余子式的值为___________.
31．（2021·上海浦东新·统考一模）数列的通项公式为，则___________.
32．（2021·上海浦东新·统考一模）方程的解为___________.
33．（2021·上海浦东新·统考一模）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是___________.
34．（2021·上海浦东新·统考一模）某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的概率为___________.（用数字作答）
35．（2021·上海浦东新·统考一模）已知、、，点是圆上的动点，则的取值范围是___________.
36．（2021·上海浦东新·统考一模）已知实数满足，则的取值范围是___________.
37．（2022·上海浦东新·统考一模）设集合，，则______.
38．（2022·上海浦东新·统考一模）若幂函数的图象经过点，则实数______.
39．（2022·上海浦东新·统考一模）函数的定义域为______.
40．（2022·上海浦东新·统考一模）的二项展开式中的系数为______.
41．（2022·上海浦东新·统考一模）若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形．则圆锥的侧面积是_________．
42．（2022·上海浦东新·统考一模）已知为锐角，若，则______.
43．（2022·上海浦东新·统考一模）已知某射击爱好者的打靶成绩（单位：环）的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，小数部分为“叶”，则这组数据的方差为______.（精确到0.01）

44．（2022·上海浦东新·统考一模）已知抛物线的焦点为，在C上有一点满足，则点到轴的距离为______.
45．（2022·上海浦东新·统考一模）某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“中国进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，恰有1名女医生的概率是______.
46．（2022·上海浦东新·统考一模）如图，在中，点D、E是线段BC上两个动点，且，，则的最小值为______.

47．（2022·上海浦东新·统考一模）已知定义在上的函数为偶函数，则的严格递减区间为______.
48．（2022·上海浦东新·统考一模）已知项数为m的有限数列是1，2，3，…，m的一个排列.若，且，则所有可能的m值之和为______.

三、解答题
49．（2020·上海·统考一模）如图，直三棱柱中，，，，点为线段的中点．

求直三棱柱的体积；
求异面直线与所成的角的大小．（结果用反三角表示）
50．（2020·上海·统考一模）已知函数的最小正周期为.
（1）求与的单调递增区间；
（2）在中，若，求的取值范围.
51．（2020·上海·统考一模）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施.某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前个月对某种食材的需求总量（公斤）近似地满足．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前个月的进货总量须不低于前个月的需求总量.
（1）如果每月初进货公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？
（2）若每月初等量进货（公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求的最小值．
52．（2020·上海·统考一模）已知椭圆，、为的左、右焦点.
（1）求椭圆的焦距；
（2）点为椭圆一点，与平行的直线与椭圆交于两点A、B，若面积为，求直线的方程；
（3）已知椭圆与双曲线在第一象限的交点为，椭圆 和双曲线上满足的所有点组成曲线．若点是曲线上一动点，求的取值范围．
53．（2020·上海·统考一模）已知函数的定义域是，若对于任意的、，当时，都有，则称函数在上为非减函数.
（1）判断，与，是否是非 减函数?
（2）已知函数在上为非减函数，求实数的取值范围；
（3）已知函数在上为非减函数，且满足条件：①，②，③，求的值.
54．（2021·上海浦东新·统考一模）已知三棱锥中，、、两两互相垂直，且长度均为1.

(1)求三棱锥的全面积；
(2)若点为的中点，求与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
55．（2021·上海浦东新·统考一模）已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数，写出函数的单调递增区间并用定义证明.
56．（2021·上海浦东新·统考一模）某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图，、为直线岸线，米，米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知.

(1)求岸线上点与点之间的直线距离；
(2)如果线段上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段上的网箱每米可获得30元的经济收益.记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）
57．（2021·上海浦东新·统考一模）已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于不同的两点、.

(1)若点和到抛物线准线的距离分别为和，求；
(2)若，求的值；
(3)点，，对任意确定的实数，若是以为斜边的直角三角形，判断符合条件的点有几个，并说明理由.
58．（2021·上海浦东新·统考一模）已知数列，若存在使得数列是递减数列，则称数列是“型数列”.
(1)判断数列，是否为“型数列”；
(2)若等比数列的通项公式为（），，其前项和为，且是“型数列”，求的值和的取值范围；
(3)已知，数列满足，（），若存在，使得是“型数列”，求的取值范围，并求出所有满足条件的（用表示）.
59．（2022·上海浦东新·统考一模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求当n为何值时，数列的前n项和取得最大值.
60．（2022·上海浦东新·统考一模）如图，三棱锥中，侧面PAB垂直于底面ABC，，底面ABC是斜边为AB的直角三角形，且，记O为AB的中点，E为OC的中点.

(1)求证：；
(2)若，直线PC与底面ABC所成角的大小为60°，求四面体PAOC的体积.
61．（2022·上海浦东新·统考一模）在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.

(1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？
(2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
62．（2022·上海浦东新·统考一模）已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于A、B两点.
(1)求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值；
(2)若直线过点且与圆相切，求弦长的值；
(3)若双曲线与椭圆共焦点，离心率为，满足，过点作斜率为的直线交的渐近线于C、D两点，过C、D的中点M分别作两条渐近线的平行线交于P、Q两点，证明：直线PQ平行于.
63．（2022·上海浦东新·统考一模）已知定义域为R的函数.当时，若是严格增函数，则称是一个“函数”.
(1)分别判断函数、是否为函数；
(2)是否存在实数b，使得函数，是函数？若存在，求实数b的取值范围；否则，证明你的结论；
(3)已知，其中.证明：若是R上的严格增函数，则对任意，都是函数.

参考答案：
1．C
【解析】根据是增函数可得出.
【详解】因为是增函数，所以是的充要条件.
故选：C.
2．C
【解析】将线性方程组转化为方程，即可判断解的个数.
【详解】该线性方程组可化为方程，故有无数组解，
故选：C.
3．D
【分析】利用空间点、线、面位置关系直接判断.
【详解】A.不共线的三点确定一个平面，故A错误；
B.由墙角模型，显然B错误；
C.根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，若直线与平面内的无数条平行直线垂直，则直线与平面不一定垂直，故C错误；
D.因为，所以确定唯一一个平面，又与都相交，故直线共面，故D正确；
故选：D.
4．B
【解析】取特殊值可判断①②；根据值域中不含负无理数可判断③；根据为有理数或为无理数，解出可判断④.
【详解】①因为，所以，所以不是偶函数，故错误；
②因为，所以在不是增函数，故错误；
③因为，显然的值域中不含负无理数，
故的值域不为，故错误；
④的零点即为有理数或为无理数，
对于为有理数，必有解，
对于为无理数，必有解或无解，
故有三个零点或一个，故正确；
故选：B.
5．B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的判定和性质分析判断.
【详解】当直线在平面内，时，直线有可能在平面内，直线有可能与平行，也有可能相交不垂直，
而当直线在平面内，时，一定成立，
所以“直线”是“直线”的必要不充分条件，
故选：B
6．C
【分析】根据二项展开式通项公式直接计算.
【详解】的通项公式为，
故第项，
故选：C.
7．B
【分析】根据双曲线标准方程直接判断.
【详解】方程即为，
由方程表示双曲线，可得，
所以，，
所以虚轴长为，
故选：B.
8．D
【分析】的零点个数，即为的图象与直线的交点个数，在正弦函数的一个周期内，即在区间上总有两个交点，然后考虑，40减去6个周期后，在区间中的交点个数，根据的不同取值可确定结论．
【详解】的零点个数，即为的图象与直线的交点个数，易知在上它们有两个交点，而，因此我们主要研究它们在区间中的交点个数，
当时，它们在区间上无交点，当时，它们在区间上有1个交点，当时，它们在区间上有2个交点，
因此交点个数可能为，不可能是15．
故选：D．

9．B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得；
【详解】解：若，则x，y同号，则成立，所以“”是“”的必要条件；但成立时，x，y不异号，即，所以不一定成立，故“”不是“”的充分条件．因此“”是“”的必要而不充分条件．
故选：B．
10．D
【分析】根据复数的乘方运算以及复数的分类即可判断.
【详解】设，则，
若，则，即负实数；
若，则，即虚数；
故选：D.
11．B
【分析】利用长方体模型举反例判断命题①④，分情况证明命题②，利用反证法证明命题③正确.
【详解】在长方体中，取平面为平面，直线为直线，
则直线l与平面相交，满足条件，
对于命题①，因为直线平面，直线与直线相交，所以命题①错误，
对于命题④，因为直线平面，直线与直线不相交，所以命题④错误，

对于命题②，若直线l与平面垂直，则任取直线，都有，即平面内存在与直线l垂直的直线；若直线l与平面不垂直，如图，，在直线上任取异于点的点，过点作平面，垂足为，连接，在平面过点作直线，因为平面，，所以，又，，平面，所以平面，直线平面，所以直线，故平面内存在与直线l垂直的直线；命题②正确，

对于命题③，如图，假设平面内存在直线与直线l平行；

因为，，，所以，与矛盾，所以平面内不存在直线与直线l平行；命题③正确，
故选：B.
12．D
【分析】由题意结合点到直线距离公式，整理等式，可判断曲线为矩形，曲线为椭圆，通过联立方程组求曲线、公共点的个数.
【详解】由题意，直线与直线相互垂直，设曲线上的点为，满足，即，
则当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，，
所以曲线是以、、、为顶点的矩形，
设曲线上的点为，满足，即，所以的轨迹为椭圆，
当时，联立可得，方程组无解，即直线与椭圆没有交点，同理可得与椭圆没有交点，
联立可得，方程组无解，即直线与椭圆没有交点，同理直线与椭圆没有交点，所以曲线、公共点的个数0，
当时，联立可得，所以，即直线与椭圆有一个交点，同理可得与椭圆有一个交点，
联立可得，解得，即直线与椭圆有一个交点，同理直线与椭圆有一个交点，所以曲线、公共点的个数4，
当时，联立可得，所以，即直线与椭圆有两个交点，同理可得与椭圆有两个交点，
联立可得，解得，即直线与椭圆有两个交点，同理直线与椭圆有两个交点，所以曲线、公共点的个数8，
故选：D
13．
【分析】由，再求解即可.
【详解】解：因为，
故答案为：.
【点睛】本题考查了数列的极限的运算，属基础题.
14．
【分析】代入球的表面积公式:即可求得.
【详解】，
由球的表面积公式可得,
,
故答案为:
【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题.
15．
【解析】根据抛物线的性质得结论．
【详解】由抛物线方程得，焦点为，准线方程为．
故答案为：．
16．
【解析】利用集合间的运算直接求解
【详解】，所以.
故答案为：.
17．
【解析】求出，再根据复数模的求法即可求解.
【详解】，所以.
故答案为：
18．
【解析】由内角和求得，然后由正弦定理求得．
【详解】，
由正弦定理得，所以.
故答案为：．
19．
【解析】根据原函数与反函数的关系，直接求原函数的值域.
【详解】函数的值域为，反函数的定义域是原函数的值域，
故其反函数的定义域为.
故答案为：
20．
【解析】根据二项展开式的通项，确定有理项所对应的的值，从而确定其概率.
【详解】展开式的通项为，
，
当且仅当为偶数时，该项系数为有理数，
故有满足题意，
故所求概率.
【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
21．
【解析】与的交点为它们的中点，这样，结合表示出，计算数量积易得取值范围．
【详解】连接交于点，则正方形中，由于，得，∴，，
，
因为正方形的边长为，所以，
所以.
故答案为：．

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积．解题关键是的中点也是的中点，从而只要用表示出，就易求得取值范围．
22．
【解析】由可得，令，，求得和，确定数列的前项和为.
【详解】（*），
在（*）式中，分别令，得，即，
因为是等比数列，所以公比，解得，
所以
故答案为：.
23．
【解析】将方程的解转化为两个函数交点问题求解.
【详解】由得有两个不同的解，
令，
的顶点在上，
而与的交点坐标为，
联立得，
由，解得或，
数形结合，要使得有两个不同的解，
则实数的取值范围是或或.
故答案为：

24．
【解析】法一，原式上下同时除以，再构造斜率的几何意义，求表示打算的取值范围；法二，原式上下同时除以后，利用换元，再变形，利用基本不等式求表达式的取值范围.
【详解】法一：转化为斜率
先把化作，故可看作
与两点的斜率
其中点在上，数形结合（如下图），

故最小值为相切时取得，
设，联立
由解得（舍）
当时，（极限思想）
故的取值范围是.
法二：令，则，
再令，则原式，
当且仅当时取等号，
再令，则，
当且仅当时取等号，故原式，
又时，，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题上下同时除以后，法一的关键是点在上运动，宜采用数形结合分析问题，法二的关键是通过换元，降次，变形再利用基本不等式求取值范围.
25．
【详解】复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|==．
故答案为．
26．4
【分析】求出反函数，将代入即可求解.
【详解】函数的反函数是，
，
互换，，得，
则.
故答案为：.
27．/
【分析】用二倍角公式展开代入计算.
【详解】
故答案为：
28．
【分析】解分式不等式得集合，然后由交集定义计算．
【详解】，又，
所以．
故答案为：
29．
【分析】由圆柱体积公式直接计算即可.
【详解】由圆柱底面半径长为，得，
所以圆柱体积，
故答案为：.
30．3
【分析】根据元素代数余子式定义，求出对应的行列式，即可求解.
【详解】行列式中元素2的代数余子式为行列式：
.
故答案为: .
31．2
【分析】根据题意，结合通项公式，以及极限思想，即可求解.
【详解】根据题意，易得.
故答案为：2.
32．
【分析】利用对数的运算法则将对数方程转化为关于的方程，求解即可．
【详解】原方程可化为,
即 .
所以,
解得 或.
又 且,
所以 .所以不满足题意,
因此应舍去.故方程的解为.
故答案为：.
【点睛】本题考查解对数方程，求解对数方程时，利用对数运算性质转化为关于真数的方程时，要注意等价变化，同时要满足真数大于0的条件，是基础题．
33．
【分析】对任意，恒成立，等价于在上恒成立，令，求其在上的最小值即可.
【详解】对任意，恒成立，
等价于在上恒成立，
令，
则其在上的最小值为，所以，得.
故答案为：
34．/0.8
【分析】由排列组合知识求得所选3人中男女生都有的方法数及总的选取方法数后可计算概率．
【详解】从6名男生和4名女生中选出3人的方法数是，
所选3人中男女生都有的方法数为，
所以概率为．
故答案为：．
35．/
【分析】将圆转化成参数方程，等价于，结合数量积公式和辅助角公式即可求解.
【详解】因为点是圆上的动点，可设为，又因为、、，则，
，
，
因为，所以，
所以.
故答案为：
36．
【分析】讨论得到其图象是椭圆，双曲线的一部分组成图形，根据图象可得的取值范围，进而可得的取值范围.
【详解】
因为实数满足，
当时，方程为的图象为椭圆在第一象限的部分；
当时，方程为的图象为双曲线在第四象限的部分；
当时，方程为的图象为双曲线在第二象限的部分；
当时，方程为的图象不存在；
在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，
根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为，
令，即，与双曲线渐近线平行，
当最大时，直线与椭圆相切，
联立方程组，得，
，
解得，
又因为椭圆的图象只有第一象限的部分，
所以，
当直线与双曲线渐近线重合时，z最小但取不到最小值，即，所以
综上所述，，
所以，
即，
故答案为：.
【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
37．
【分析】根据交集的定义计算即可.
【详解】因为，，
所以，
故答案为：.
38．4
【分析】将点的坐标代入函数解析式解方程求即可.
【详解】因为幂函数的图象经过点，所以，
所以，所以，
故答案为：4.
39．
【分析】由真数大于0求出定义域.
【详解】由题意得：，解得：，
故定义域为.
故答案为：.
40．80
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】的二项展开式中含的项为，
所以的系数为.
故答案为：
41．
【分析】根据题意可得圆锥的底面半径和母线长，进而根据圆锥侧面积公式求得结果.
【详解】若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，则圆锥的底面半径，母线，
故圆锥的侧面积.
故答案为：.
42．
【分析】由条件结合诱导公式可求，再由同角关系求，结合两角和正切公式求.
【详解】因为，所以，又为锐角，所以，，所以.
故答案为：.
43．0.36
【分析】先求样本数据的平均数，再由方差的定义求方差.
【详解】由已知样本数据的平均数为，
所以样本数据的方差    
化简可得，，
所以.
故答案为：0.36.
44．12
【分析】由条件结合抛物线的定义求出点横坐标，再由抛物线方程求其纵坐标，由此可求点到x轴的距离.
【详解】因为抛物线的方程为，所以其焦点的坐标为，其准线方程为，
设点的坐标为，因为，所以点到准线的距离为12，即，
所以，因为点在抛物线上，
所以，所以，
所以点的坐标为或，故点到轴的距离为12.
故答案为：12.
45．
【分析】先求出从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合，再求出选出的3名医生中，恰有1名女医生的组合，古典概型概率公式求概率.
【详解】从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合有种，再求出选出的3名医生中恰有1名女医生的组合有种，所以事件恰有1名女医生的概率.
故答案为：
46．8
【分析】以向量为基底，表示向量,结合平面向量基本定理可得，再利用基本不等式求的最小值.
【详解】设，，则，，，，所以，
所以，又，
所以，所以，
因为，，所以，，所以，
即，同理可得，若则，，因为，，所以，所以，即，此时三点重合，与已知矛盾，所以，同理
所以，
当且仅当，即，时取等号；
所以的最小值为8．
故答案为：8．
47．和
【分析】由偶函数的性质求，再由导数与函数的单调性的关系求的严格递减区间.
【详解】因为函数在为偶函数，
所以恒成立，即，
所以，所以，又，故，
所以，其中，
所以，令，或，解得或，所以的严格递减区间为和，
故答案为：和.
48．9
【分析】首先通过试值法可知，当或3不满足题意，当或时满足题意，然后证明当，不满足题意即可.
【详解】当时，显然不合题意;
当时,因为,
所以,不符合题意;
当时,数列为，此时,
符合题意，
当时,数列为.
此时,符合题意;
下证当时,不存在满足题意.
令,
则,且,
所以有以下三种可能: ①；
②；  ③
当时,因为,
即.
所以或.
因为数列的各项互不相同,所以.
所以数列是等差数列.
则是公差为1(或的等差数列.
当公差为1时,由得或,
所以或,与已知矛盾.当公差为时,
同理得出与已知矛盾.
所以当时,不存在满足题意.
其它情况同理可得.
综上，的所有取值为4或5，故所有可能的值之和为9.
故答案为：9.
【点睛】关键点睛：本题作为填空题易通过试值知或，但对于不合题意的证明是一个难点，我们通过找到的所有情况，选定一种情况，利用题意得到数列是等差数列，则有或，从而得到与已知条件相矛盾的结论.
49．；.
【解析】利用体积公式代入数据求值即可；
是异面直线与所成的角或其补角，在中，利用余弦定理求得结果即可.
【详解】解：因为，，，
所以，
因为，
所以．
因为，
是异面直线与所成的角或其补角.
在中，,,,，
,
由余弦定理得，，.
异面直线与所成的角为.
【点睛】本题考查棱柱的体积、异面直线夹角的求法，利用平移的思想找出一面直线的夹角是解题的关键点，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题.
50．（1），；（2）
【解析】（1）根据函数的最小正周期为，可求，并写出函数式进而求的单调递增区间；
（2）由（1）结论，求角，根据三角形内角和的性质可知角B、C的关系，进而求B的范围，即可求的取值范围.
【详解】（1）因为的最小正周期为，即
∴，令
解得
∴的单调递增区间是
（2）在中，若，
由（1）得，，所以
因为 所以，即

因为，所以；
所以
所以的取值范围
【点睛】关键点点睛：
（1）由最小正周期求参数，利用整体代入法求的单调递增区间；
（2）应用三角形内角和性质可得内角B、C的关系，进而用其中一角表示另一角并确定角的范围，进而求函数值的范围.
51．（1）前7个月每月该食材都够用；（2）为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量的最小值为公斤．
【解析】（1）由题意知恒成立，讨论、确定不等式是否成立即可.
（2）保证全年每一个月该食材都够用有恒成立，即，可求的最小值．
【详解】（1）当时，每月需求量公斤，每月进货公斤，1到6月都够用；
当时，因为，第7个月该食材够用．
所以，前7个月每月该食材都够用
（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式对恒成立．
当时，恒成立，可得；
当时，恒成立，即恒成立，而当时，的最大值为
综上，可得．
∴为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量的最小值为公斤．
52．（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由椭圆方程，根据参数关系以及焦距的含义即可求焦距.
（2）由直线与椭圆关系，令，与椭圆方程联立有，应用弦长公式、点线距离公式、三角形面积公式，结合已知面积为1，即可求m的值.
（3）由题意知则曲线由双曲线、椭圆中的部分构成，令应用向量数量积的坐标表示即可得，讨论N在椭圆部分或双曲线部分，求的取值范围.
【详解】（1）由椭圆的方程知：，即焦距为.
（2）设，代入得，
由得，，
所以，
所以Q到直线的距离，由，得
所以
（3）由解得，设是曲线上一点，又，，，，
∴，

当在曲线上时，，
当时，，当时，，
所以；
当在曲线上时，；
当时，，；
综上，.
【点睛】关键点点睛：
（1）由椭圆方程求参数c，进而求焦距.
（2）设直线方程，由直线与椭圆相交关系联立方程求，结合弦长公式、点线距离公式、三角形面积公式求参数，写出直线方程.
（3）由题意知曲线由双曲线、椭圆中的部分构成，结合向量数量积的坐标表示构造函数，讨论N点的位置求向量数量积的范围.
53．（1）在上不是非减函数，在上是非减函数；（2）；（3）.
【解析】（1）化简两个函数的解析式，结合二次函数和一次函数的单调性可得出结论；
（2）任取、且，由题中定义可得，通过作差法得出，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围；
（3）根据题意计算出，根据非减函数的定义得知，对任意的，，由已知条件得出，进而可得出，即可得解.
【详解】（1），
所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，
则函数在区间上不是非减函数，
当时，，
所以，函数在区间上为非减函数；
（2）任取、且，即，
因为函数在上为非减函数，
有，
，， ，，
，则，则，，即，
因此，实数的取值范围是；
（3）由已知得，，得，
从而，，所以，，
因为函数为上的非减函数，
对任意的，，即，所以，，
，所以，，
所以，，
，则，因此，.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义“非减函数”，解题时要充分理解“非减函数”的定义，本题第（2）问，在解题时充分利用定义，结合函数单调性、作差法以及参变量分离得出，进而可求得参数的取值范围；在求解第（3）问时，要结合赋值法以及非减函数的定义得出对任意的恒成立，再结合已知条件将所求函数值转化至已知区间进行求解.
54．(1)
(2)

【详解】（1）、、两两互相垂直，且长度均为1，则，
三棱锥的全面积
；
（2）取的中点，连接和，则，
又、、两两互相垂直，所以，，
，平面，
所以平面，
所以是与平面所成角；
因为，，
所以， ，
所以与平面所成角的大小为.

55．(1)答案见解析
(2)，证明见解析

【分析】（1）分、两种情况， 利用函数奇偶性的定义判断出结果；
（2）求得，可以确定的单调递增区间为，之后利用函数单调性证明即可.
（1）
当时，，
定义域为， 任选，都有，
所以时函数为偶函数；
当，
则；
时函数既非奇函数又非偶函数；
（2）
函数的单调递增区间为.
证明：，
任取且，
，
由于，则；
由于，则；
所以，即.  
函数的单调递增区间为.
56．(1)米
(2)55076元

【分析】（1）由余弦定理计算即可；
（2）先由正弦定理计算出相关长度，再计算收益表达式，最后由辅助角公式求最值.
【详解】（1）
，
岸线上点与点之间的直线距离为米.
（2）△中，，
，，（），
设两段网箱获得的经济总收益为元，则


，
当，即时，
（元）
所以两段网箱获得的经济总收益最高约为55076元.
57．(1)
(2)
(3)一个，理由见解析

【分析】（1）根据抛物线的定义求得焦点弦长；
（2）直线的方程为，代入抛物线方程后应用韦达定理得，利用焦半径公式及已知，得出的关系，与韦达定理结合可求得；
（3）把用坐标表示出来，代入韦达定理的结论，得出关于的方程，由一元二次方程根的分布可得的正数解的个数．
【详解】（1）根据抛物线定义，，∴.
（2）直线的方程为，
由 ，，，
  
，
，
，
，
代入（5）得：，
（舎）或，∴ .
（3）∵ 是以为斜边的直角三角形，
∴ ，，
, ，
即，
，
（或者），
∴ ，，
， ，方程仅有一个正实数解，
存在一个满足条件的点.
58．(1)是；
(2)，；
(3)，.

【分析】（1）根据型数列的新定义直接判断即可；
（2）分，和分别求出的前项和为，再判断是否存在满足递减即可求解；
（3）分和两种情况讨论，首先判断不符合题意，当时，先证明，进而可得以及符合题意的的值，再证明是唯一的即可.
（1）
因为，“型数列的定义可知该数列是“型数列”.
（2）
若，，不存在使得数列是递减数列，此时不是“型数列”；
若，，因为为递增数列，对于任意，存在，
当时，，递增，因此不存在，此时不是“型数列”；
若，，取，，递减；此时符合题意，综上所述，的取值范围.
（3）
（i）若，则，，. 此时若存在使得是型数列，则，从而且，矛盾；
（ii）当时，首先证明（）. 用反证法.
由题意，此时，，. 因此，若存在，使得，则.
假设为使得的最小正整数，则，
故，而，与的最小性矛盾. 故（），从而对一切成立.
据此，可解得. 故当时，，
即：为递减数列. 于是为型数列.
再证明是唯一解. 用反证法.
假设存在使得是型数列.
若，则由得，当时，. 故，
不是递减数列，从而不是型数列.
同理可证时，也不是型数列，
综上，，相应的.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是理解数列的新定义，熟练判断数列的单调性，准确利用不等式放缩，选择反证法证明，问题即可巧妙解决.
59．(1)；
(2)或时，取得最大值.

【分析】（1）根据题意列出关于公差的方程，求得d，可得答案；
（2） 等差数列的前n项和公式求，结合二次函数性质求最大值.
【详解】（1）设数列的公差为d，，由，，成等比数列，得，即，解得.
所以数列的通项公式为.
（2）由
得，，
当或5时，取得最大值，最大值为10.
60．(1)证明见解析
(2)

【分析】(1)由面面垂直性质定理证明底面，由此证明，再证明，由线面垂直判定定理证明平面，最后证明；(2)结合线面角的定义可得，结合锥体体积公式求四面体PAOC的体积.
【详解】（1）连接，因为，所以，
侧面垂直于底面，平面，平面平面，
所以底面，底面，所以，
是斜边为的直角三角形，且，所以，
又因为O为AB的中点，所以,所以为等边三角形，
又E为OC的中点，所以，
因为，，，，
所以平面，又平面，
所以；

（2）由（1）知底面ABC，所以直线PC与底面ABC所成角为，因为直线PC与底面ABC所成角的大小为，，
因为，所以，在中，，
，所以.
61．(1)247.4m
(2)应使得，来修建观赏步道.

【分析】（1）由三角形面积公式求出，得到，利用余弦定理求出m；
（2）解法一：先得到烧烤区的占地面积最大时，m，，设，利用正弦定理得到，由面积公式得到，结合，得到面积的最大值，及，得到答案.
解法二：先得到烧烤区的占地面积最大时，m，，设，，由余弦定理得到，结合基本不等式求出，，此时，得到结论.
【详解】（1），
解得：，
因为C是钝角，所以.
由余弦定理得：
，
故需要修建247.4m的隔离防护栏；
（2）解法一：，
当且仅达时取到等号，此时m，设，，
在中，，
解得：，
故
，
因为，所以，
故当，即时，取的最大值为1，
，
当且仅当时取到等号，此时
答：修建观赏步道时应使得，.
解法二：，
当且仅达时取到等号，此时，
设，.则由余弦定理，
，
故由平均值不等式，，
从而，
等号成立当且仅当.
答：修建观赏步道时应使得，.
62．(1)左焦点、右焦点，离心率；
(2)2；
(3)证明见解析.

【分析】(1)根据椭圆方程求，结合焦点坐标和离心率的定义求解；(2)由直线与圆相切列方程求切线斜率，再利用设而不求法结合弦长公式求解，(3)由条件利用待定系数法求双曲线方程，联立方程组求交点，求出的坐标，再求方程，联立求坐标，求直线斜率，由此证明直线PQ平行于.
【详解】（1）设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，因为椭圆的方程为，所以，
所以左焦点的坐标为、右焦点的坐标为，离心率.
（2）圆的圆心为原点，半径为1，
当直线AB的斜率不存在时，因为直线AB过点，所以其方程为，圆的圆心到直线的距离为，直线与圆不相切，与条件矛盾，故直线AB斜率存在，因而设直线方程为，则.
联列方程：
，化简得，方程的判别式，设，，则，
所以，
即弦长的值为2；
（3）设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，因为双曲线与椭圆共焦点，所以双曲线的
左焦点的坐标为、右焦点的坐标为，
由题可知，所以，，故，
因而双曲线方程：，双曲线的渐近线方程为，
设，直线，
联立，，
同理，，
所以，，
设，
则，化简得，
所以
同理
所以
，所以
所以

，所以
因而
因而直线直线PQ.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
63．(1)不是，是；
(2)存在，；
(3)证明见解析.

【分析】（1）根据题意，得到，，根据单调性得到结论；
（2）令，分与两种情况，先得到时，严格增，根据时，要想严格增，得到，验证后得到函数为函数；
（3）根据是R上的严格增函数求出，再证明时，得到时，从而为函数.
【详解】（1）当时，不是严格增函数，
故不是函数；
当时，，是严格增函数，
故是函数；
（2）令，
当时，由，得，
令，，
则在上恒成立，故在上单调递增，
所以，
故此时，得，从而严格增.
当时，，后者严格增，
当且仅当，即，
又因为当时，，
从而上，严格增，
故为所求.
（3），
令，，
若“严格增”等同于（或），
当时，恒成立，故符合要求，
当时，，解得：，
当时，，等号成立当且仅当，
故在与上分别严格增，且当时，；
当时，.故此时也是R上的严格增函数.
综上：，
下设.则对任意，.
令，则.
当时，，等号成立当且仅当.
因，故同上可知，为上的严格增函数，且.
因而，当时，从而为函数.
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.