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河北省张家口市三年（2021届-2023届）高考数学模拟题（一模）按题型汇编
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这是一份河北省张家口市三年（2021届-2023届）高考数学模拟题（一模）按题型汇编，共61页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河北省张家口市三年（2021届-2023届）高考数学模拟题（一模）按题型汇编
一、单选题
1．（2021·河北张家口·统考一模）已知，都是R的子集，且，则（ ）
A．A B．B C． D．R
2．（2021·河北张家口·统考一模）（ ）
A． B． C． D．2
3．（2021·河北张家口·统考一模）小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有（ ）
A．261种 B．360种 C．369种 D．372种
4．（2021·河北张家口·统考一模）溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，人体血液的氢离子的浓度通常在之间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的值的范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·河北张家口·统考一模）某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为，假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·河北张家口·统考一模）已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若的平分线分别交x轴于点，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·河北张家口·统考一模）设是上的奇函数，且在上是减函数，又，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·河北张家口·统考一模）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·河北张家口·统考一模）已知，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·河北张家口·统考一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·河北张家口·统考一模）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022·河北张家口·统考一模）下图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm､底面边长为1cm的正三棱锥，后段是高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·河北张家口·统考一模）为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲､乙､丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（ ）
A．18种 B．12种 C．72种 D．36种
14．（2022·河北张家口·统考一模）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·河北张家口·统考一模）已知当时，函数的图象与函数的图象有且只有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·河北张家口·统考一模）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·河北张家口·统考一模）已知复数，，若，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
18．（2023·河北张家口·统考一模）是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
19．（2023·河北张家口·统考一模）已知正方体，则下列选项不正确的是（ ）
A．直线与所成的角为 B．
C．平面 D．
20．（2023·河北张家口·统考一模）宽和长的比为的矩形称为黄金矩形，它在公元前六世纪就被古希腊学者发现并研究．下图为一个黄金矩形，即．对黄金矩形依次舍去以矩形的宽为边长的正方形，可得到不断缩小的黄金矩形序列，在下面图形的每个正方形中画上四分之一圆弧，得到一条接近于对数螺线的曲线，该曲线与每一个正方形的边围成下图中的阴影部分．若设，当无限增大时，，已知圆周率为，此时阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·河北张家口·统考一模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，，则（ ）
A． B． C． D．2
22．（2023·河北张家口·统考一模）已知向量，，都是单位向量，若，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
23．（2023·河北张家口·统考一模）已知实数a，b，c满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
24．（2021·河北张家口·统考一模）如果平面向量，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在方向上的投影为
25．（2021·河北张家口·统考一模）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ）
A． B． C．X的期望 D．X的方差
26．（2021·河北张家口·统考一模）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
27．（2021·河北张家口·统考一模）已知函数，其导函数为，设，则（ ）
A．的图象关于原点对称 B．在R上单调递增
C．是的一个周期 D．在上的最小值为
28．（2022·河北张家口·统考一模）若，则下列不等式中正确的有（ ）
A． B． C． D．
29．（2022·河北张家口·统考一模）某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和浓度（单位：），得到如下所示的列联表：
PM2.5
64
16
10
10
经计算，则可以推断出（ ）
附：
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
A．该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150的概率估计值是0.64
B．若列联表中的天数都扩大到原来的10倍，的观测值不会发生变化
C．有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关
D．在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度无关
30．（2022·河北张家口·统考一模）已知正方体的棱长为1，点P是线段上（不含端点）的任意一点，点E是线段的中点，点F是平面内一点，则下面结论中正确的有（ ）
A．平面
B．以为球心､为半径的球面与该正方体侧面的交线长是
C．的最小值是
D．的最小值是
31．（2022·河北张家口·统考一模）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）
A．点M到直线l的距离为定值 B．以为直径的圆与l相切
C．的最小值为32 D．当最小时，
32．（2023·河北张家口·统考一模）小明在一次面试活动中，10位评委给他的打分分别为：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100．则下列说法正确的有（ ）
A．用简单随机抽样的方法从10个分数中随机去掉2个分数，则每个分数被去掉的概率都是
B．这10个分数的第60百分位数为91
C．这10个分数的平均数大于中位数
D．去掉一个最低分和一个最高分后，平均数会变大，而分数的方差会变小
33．（2023·河北张家口·统考一模）已知O为坐标原点，过点的直线l与圆交于A，B两点，M为A，B的中点，下列选项正确的有（ ）
A．直线l的斜率k的取值范围是
B．点M的轨迹为圆的一部分
C．为定值
D．为定值
34．（2023·河北张家口·统考一模）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．为偶函数
B．的最小值为
C．在区间上单调递增
D．方程在区间内的所有根的和为
35．（2023·河北张家口·统考一模）已知圆锥PE的顶点为P，E为底面圆的圆心，圆锥PE的内切球球心为，半径为r；外接球球心为，半径为R．以下选项正确的有（ ）
A．当与重合时，
B．当与重合时，
C．若，则圆锥PE的体积的最小值为
D．若，则圆锥PE的体积的最大值为
三、填空题
36．（2021·河北张家口·统考一模）已知两条不同的直线，和不重合的两个平面，，且，有下面四个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则.
其中真命题的序号是___________.
37．（2021·河北张家口·统考一模）若为抛物线上一点，抛物线C的焦点为F，则________．
38．（2021·河北张家口·统考一模）写出一个“公差为2且前3项之和小于第3项”的等差数列的通项公式：___________.
39．（2021·河北张家口·统考一模）早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把按计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于___________．
40．（2022·河北张家口·统考一模）已知向量，，若，则________．
41．（2022·河北张家口·统考一模）已知函数，，用表示m，n中的最小值，设函数，若恰有3个零点，则实数a的取值范围是___________.
42．（2022·河北张家口·统考一模）已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且，若，则椭圆C的离心率是___________.
43．（2022·河北张家口·统考一模）已知函数，，，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为___________.
44．（2023·河北张家口·统考一模）已知是奇函数，则实数__________．
45．（2023·河北张家口·统考一模）已知点为椭圆的右焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为，则C的离心率为__________．
46．（2023·河北张家口·统考一模）小李在2005年10月18日出生，他在设置手机的数字密码时，打算将自己出生日期的后6个数字0，5，1，0，1，8进行某种排列，从而得到密码．如果排列时要求两个1不相邻，两个0也不相邻，那么小李可以设置的不同密码有__________个（用数字作答）．
47．（2023·河北张家口·统考一模）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则__________．
四、双空题
48．（2021·河北张家口·统考一模）已知函数图象的一条对称轴为，则___________，函数在区间上的值域为___________．
五、解答题
49．（2021·河北张家口·统考一模）已知公比小于1的等比数列中，其前n项和为．
（1）求；
（2）求证：．
50．（2021·河北张家口·统考一模）在中，角A，B，C的对边分别为，
(1)求B；
(2)若，的面积为，求的周长.
51．（2021·河北张家口·统考一模）如图，四边形是正方形，平面，且．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
52．（2021·河北张家口·统考一模）某电器企业统计了近年的年利润额（千万元）与投入的年广告费用（十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令，，得到相关数据如表所示：
15
15
（1）从①；②；③三个函数中选择一个作为年广告费用和年利润额的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；
（2）根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程；
（3）预计要使年利润额突破亿，下一年应至少投入多少广告费用？结果保留到万元
参考数据：，
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
53．（2021·河北张家口·统考一模）已知双曲线上一动点P，左、右焦点分别为，且，定直线，点M在直线上，且满足．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线的斜率，且过双曲线右焦点与双曲线右支交于两点，求的外接圆方程．
54．（2021·河北张家口·统考一模）已知函数．
（1）讨论函数在区间上的最小值；
（2）当时，求证：对任意，恒有成立．
55．（2022·河北张家口·统考一模）已知数列是等比数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和，并证明：.
56．（2022·河北张家口·统考一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的最大值.
57．（2022·河北张家口·统考一模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，四边形是菱形，，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
58．（2022·河北张家口·统考一模）中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热､咳嗽､乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.
(1)设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求；
(2)若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲､乙两种中药哪种药性更好？
59．（2022·河北张家口·统考一模）已知双曲线的离心率是，实轴长是8.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值.
60．（2022·河北张家口·统考一模）已知函数，.
(1)当时，证明：当时，；
(2)若对，都，使恒成立，求实数a的取值范围.
61．（2023·河北张家口·统考一模）已知数列满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
62．（2023·河北张家口·统考一模）在中，．
(1)求；
(2)如图，为平面上外一点，且，，若，求四边形ABDC面积的最大值．
63．（2023·河北张家口·统考一模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，为棱的中点，是棱上一点，且．
(1)证明：平面；
(2)若，直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．
64．（2023·河北张家口·统考一模）某医疗用品生产商用新旧两台设备生产防护口罩，产品成箱包装，每箱500个．
(1)若从新旧两台设备生产的产品中分别随机抽取100箱作为样本，其中新设备生产的100箱样本中有10箱存在不合格品，旧设备生产的100箱样本中有25箱存在不合格品，由样本数据，填写完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“有不合格品”与“设备"有关联？
单位：箱
是否有不合格品设备
无不合格品
有不合格品
合计
新
旧
合计
(2)若每箱口罩在出厂前都要做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱口罩中任取20个做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有口罩做检验．设每个口罩为不合格品的概率都为，且各口罩是否为不合格品相互独立．记20个口罩中恰有3件不合格品的概率为，求最大时的值．
(3)现对一箱产品检验了20个，结果恰有3个不合格品，以（2）中确定的作为的值．已知每个口罩的检验费用为0.2元，若有不合格品进入用户手中，则生产商要为每个不合格品支付5元的赔偿费用．以检验费用与赔偿费用之和的期望为决策依据，是否要对这箱产品余下的480个口罩做检验？
附表：
0.100
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
附：，其中．
65．（2023·河北张家口·统考一模）如图，抛物线与圆交于A，B，C，D四点，直线AC与直线BD交于点E．
(1)请证明E为定点， 并求点E的坐标；
(2)当的面积最大时，求抛物线M的方程．
66．（2023·河北张家口·统考一模）已知函数在区间上有两个极值点，．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：．
参考答案：
1．D
【分析】利用图画出集合A、B、R之间的关系，再得出结论.
【详解】图如图所示，
易知．
故选：D．
2．A
【分析】由，根据复数模的几何含义，即可求模.
【详解】．
故选：A．
3．C
【分析】由题意可知分三种情况求解，一是有1种无氧运动选中，二是有2种无氧运动选中，三是有3种无氧运动选中，再由分类加法计数原理可求得结果
【详解】解：从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有（种）．
故选：C．
4．D
【分析】按题设所给公式求相应的值即可.
【详解】依题意，，因此，正常人体血液的值的范围是．
故选:D．
5．D
【分析】根据互相独立事件的概率公式计算可得；
【详解】解：由题知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为，则，所以，所以，所以该同学一个社团都不进入的概率．
故选：D．
6．C
【分析】由余弦定理求出，即可得到，即，从而，即可得到方程，解得即可；
【详解】解：如下图所示：
因为，所以由余弦定理得，又，所以．因为分别为的平分线，所以，所以．由题意可知，点，则．
由，可得，即，在等式的两边同时除以，可得，解得或．因为，所以
故选：C．
7．B
【分析】分析出函数在、上的单调性，以及，化简得出，结合图象可得出关于实数的不等式组，由此得出原不等式的解集.
【详解】因为是上的奇函数，则，
由于函数在上是减函数，则该函数在上也为减函数，
，则，作出函数的大致图象如下图所示：
由，可得，
由，可得或，此时；
由，可得或，解得.
因此，不等式的解集是.
故选：B.
【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
8．C
【分析】直接求出.
【详解】因为集合，集合，所以.
故选：C.
9．B
【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数，即可判断；
【详解】解：因为，所以，所以的虚部是，
故选：B.
10．B
【分析】根据角的范围，求得，再根据两角和的正弦公式求得答案.
【详解】由，，得，
所以，
故选:B.
11．A
【分析】根据函数的奇偶性且判断函数值的范围，可判断A;利用函数的奇偶性可判断B,C;用特殊值验证，可判断D.
【详解】因为，所以函数为奇函数；
因为，又，所以，
故A正确；
因为，故是非奇非偶函数，
故B错误；
函数满足 为偶函数，故C错误；
因为，故D错误，
故选：A.
12．D
【分析】先求出内切圆半径为r，再分别利用三棱锥体积与圆柱体积公式即可求出总体积.
【详解】因为正三棱锥的底面边长为1，设其内切圆半径为r，由等面积法，可得：，解得：，所以其内切圆半径为.
由三棱锥体积与圆柱体积公式可得：.
故选：D.
13．D
【分析】先将4名教师分为3组，然后再分别派到甲､乙､丙三地，即可得解.
【详解】解：4名教师分为3组，有种方法，然后再分别派到甲､乙､丙三地，
共有种方案，所以共有36种选派方案.
故选：D.
14．C
【分析】根据斐波那契数列的性质进行求解即可.
【详解】由，得
.
故选：C.
15．A
【分析】将两个函数的解析式联立，消去，得到等式，问题转化为方程有两个不同的正实根，
根据这个等式运用常变量分离法，通过构造新函数，利用导数的性质进行求解即可.
【详解】由题设，当时，，令，
则，所以当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减.又，，
所以当时，直线与的图象有两个交点，
即函数的图象与函数的图象有且只有两个交点.
故选：A.
【点睛】关键点睛：利用常变量分离法构造函数利用导数的性质是解题的关键.
16．B
【分析】先化简集合A，再利用并集和补集的运算求解.
【详解】解：由，得，故，
所以，，．
故选：B．
17．C
【分析】由共轭复数的定义结合复数的乘法运算化简，再由相等复数的定义即可得出答案.
【详解】因为，
所以，，解得．
故选：C．
18．A
【分析】根据诱导公式和三角函数绝对值即可求解.
【详解】因为，可得成立，
而由，可得，
所以不一定成立．
故选：A.
19．D
【分析】运用作平行线求得异面直线所成角可判断A项，运用线面垂直判定定理及性质可判断B项、C项，运用同一个三角形的内角不可能有两个直角可判断D项.
【详解】如图所示，
对于A项，如图，因为，所以异面直线与所成的角为或其补角．
又因为为等边三角形，所以，故A项正确；
对于B项、C项，因为四边形为正方形，则．
又因为平面，
所以．
又因为平面，平面，，
所以平面．
又平面，
所以．
同理：，，
又平面，平面，，
所以平面，故B项、C项正确；
对于D项，∵面，
∴，即：在中，，
由三角形内角和可知，，故D项错误；
故选：D．
20．A
【分析】由，得，则，在根据题意可得是等比数列，再根据等比数列前项和公式即可的解.
【详解】由，得，得，
因为，则，同理每一个小正方形的边长均为前一个正方形边长的倍，
设曲线与第一个正方形的边围成的阴影部分的面积为，，
从第二个正方形开始曲线与正方形的边围成的阴影部分的面积依次为，，．．．，，
设第个正方形的边长为，则第个正方形的边长，
所以曲线与第个正方形的边围成的阴影部分的面积为，
曲线与第个正方形的边围成的阴影部分的面积为
，
故，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
设阴影部分的面积为，则，
又当无限增大时，，
所以时，，
又，所以阴影部分的面积为．
故选：A．
21．B
【分析】运用双曲线定义求得a、c的值，进而求得两条渐近线方程，结合点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由，得．
因为，
所以．
又因为，
所以，
故双曲线的方程为，
所以两条渐近线的方程为．
设，则，
故．
不妨设，则，
所以，
所以．
故选：B．
22．C
【分析】根据数量积的运算律得到，设，即可得到，再由求出的范围，即可得解.
【详解】由，得，即．
设，则，显然，
所以．
又，所以，
所以，即的最大值为．
故选：C．
23．D
【分析】由，可得，而，然后利用指数函数的性质可比较的大小，再求出，则可得，再根据对数函数和指数函数的性质逐个分析判断.
【详解】由，得，
所以，
又函数单调递减，，
所以，即，
所以
由，得，
所以，
所以函数在上单调递增，函数和在上单调递减，
故，，所以A错误；
，．
又，所以，，所以C错误；
由，得．
因为，所以，
故，所以B错误；
因为在上单调递增，且，
所以．
因为在上单调递减，且，
所以，故．
故选：D．
24．AB
【分析】根据向量坐标运算及向量共线的意义可得解.
【详解】因为，所以．
在A中，由，可得，故A正确；
在B中，由，可得，故B正确；
在C中，由，可得与的夹角为，故C错误；
在D中，在方向上的投影为，故D错误．
故选:AB．
25．ACD
【分析】分别计算概率，计算期望与方差.
【详解】从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，
并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，
取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，
所以随机变量服从二项分布，故A正确；
，记其概率为，故B错误；
因为，所以的期望，故C正确；
因为，所以的方差，故D正确．
故选：ACD．
26．ABC
【分析】对于A，由已知条件可得，再由指数函数的性质可得，然后给不等式两边开平方可得结果；对于B，对化简可得，两边开方可得结果；对于C，由于，化简后可得结果；对于D，由基本不等式可得，再结合已知条件可得，从而可判断D，
【详解】对于A，因为，且，所以，所以，所以，故A正确；
对于B，，所以，当且仅当，即时取等号，故，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时取等号，故，得，故C正确；
对于D，已知，且，所以，即，则，当且仅当，即时取等号，故D错误．
故选：ABC．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
27．AC
【分析】对A：求出的定义域，再利用奇偶性的定义判断即可；
对B：利用的导数可判断；
对C：计算，看是否等于即可；
对D：设，根据对勾函数的单调性可得最值.
【详解】的定义域是，其定义域关于坐标原点对称，
且，
所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，故A项正确；
由，得，则．
恒成立，所以在上单调递增，并不是在R上单调递增，故B项错误；
由，得函数的定义域是，故C项正确；
设，当时，，
此时，，根据对勾函数的单调性，在上单调递减，
，故D项错误.
故选：AC．
28．AB
【分析】根据作差法，判断A;根据指数函数的单调性，判断B;举反例可说明C的正误；同样据反例，判断D.
【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确；
对于B选项，因为函数在R上单调递增，所以，故B正确；
对于C选项，当时，不成立，故C不正确；
对于D选项，当，时，，故D不正确,
故选:AB.
29．AC
【分析】对于A选项，根据表格，进行数据分析，直接求概率；
对于B，C，D选项，进行独立性检验，计算后对照参数下结论.
【详解】解：补充完整列联表如下：
PM2.5
合计
64
16
80
10
10
20
合计
74
26
100
对于A选项，该市一天中，空气中PM2.5浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值为，故A正确；
对于B选项，，故B不正确；
因为，根据临界值表可知，在犯错的概率不超过的条件下，
即有超过的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关，故C正确，D错误.
故选：AC.
30．ABD
【分析】对于A选项：利用线面平行的判定定理证明出平面，即可判断；
对于B选项：先作出球面与侧面的交线为弧，再求弧长；
对于C，D选项：将沿翻折到与在同一平面作于点G，交于P.利用几何法判断出最小.解三角形求出最小值，即可判断C、D.
【详解】对于A选项：
因为平面即为平面，又因为，且平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B选项：
该球面与侧面的交线为弧，是以为圆心，圆心角为的弧，所以弧长为，故B正确；
对于C，D选项：
将沿翻折到与在同一平面且点，D在直线的异侧，作于点G，交于P.由两点之间，直线最短.可得G、F重合时，最小.此时，设，则,
所以.
在中，,所以，则的最小值是，故C不正确，D正确.
故选:ABD.
31．BCD
【分析】设直线方程，并联立抛物线方程，利用根与系数的关系式，求得点M的横坐标，结合抛物线定义，可判断A;利用抛物线定义推得,由此判断B;
计算出弦长，可得的表达式，利用基本不等式求得其最小值，判断C;
求出的表达式，采用换元法，利用二次函数的单调性求得其最小值，判断D.
【详解】设，，，， ，
直线的方程为，则直线的方程为,
将直线的方程代入，化简整理得，
则，，
故,
所以，,
因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，
点M到直线l的距离，
又，所以，故A错误；
因为，
所以以为直径的圆的圆心M到l的距离为，
即以为直径的圆与l相切，故B正确；
同理，，所以，，，
则，当且仅当时等号成立，故C正确；
.
设，则，，.
当时，即时，最小，这时，故D正确,
故选:BCD.
【点睛】本题考查了抛物线的焦点弦的性质，具有较强的综合性，要求学生有较好的计算能力和思维能力，解答时要注意直线方程的设法，以及联立后结合根与系数的关系式的化简，涉及到焦半径以及弦长和距离的计算，比较繁杂，要细心运算.
32．BD
【分析】对于A，根据古典概型的概率公式计算判断，对于B，根据百分位数的定义计算判断，对于C，计算出平均数和中位数进行判断，对于D，通过计算平均数和方差进行判断即可.
【详解】从10个分数中随机去掉2个分数，则每个分数被去掉的概率都是，故A错误；
，所以第60百分位数是第6个数90与第7个数92的平均数，即，所以B正确；
对于C选项：这10个数的平均数为．
因为，所以中位数是第5个数90与第6个数90的平均数90，所以C错误；
对于D选项：
10个数的方差为．
去掉70和10后，平均数为，
方差为，
，，所以D正确．
故选： BD．
33．ABD
【分析】利用直线和圆相交可求斜率范围，利用平面向量的数量积和直线与圆的位置关系即得结果.
【详解】对于A选项，方法1：设，，直线l的方程为．
由得，
所以，
解得，所以A正确；
方法2：如图，设直线l与圆的切点为，，在直角三角形中，，
所以，所以，由图形对称性可知，所以A正确；
对于B选项，由，可得，所以点的轨迹是以为直径的圆的一部分，故B正确；
对于C选项，由，可得，
又，所以C错误；
对于D选项，由，
得，，
，
又，，
所以
．故D正确．
故选：ABD．
34．ACD
【分析】运用函数奇偶性定义可判断A项，研究函数的周期性并画出图象可判断B项、C项，（也可运用整体法研究函数单调性可判断C项）运用对称性可判断D项.
【详解】对于A项，的定义域为，，故A项正确；
对于B项，由得：，
所以，
又因为，
所以函数是以为周期的周期函数，
所以，，
即，
故函数的图象如图所示．
则，
所以函数的最小值为，故B项错误；
对于C项，方法1：如图，当时，函数在上单调递增，故C项正确；
方法2：当时，，
所以，
所以函数在上单调递增，故C项正确；
对于D项，如上图可知，方程在区间有四个根，且，
所以，故D项正确．
故选：ACD．
35．BC
【分析】A.当与重合时，易得为等边三角形求解判断；B.当与重合时，由，求解判断；C.由，设圆锥底面半径为，则，设圆锥的高为，得到母线长为，轴截面的面积，进而得到，再由体积公式求解判断；D.由，设圆锥底面半径为，圆锥的高为，易得，再由圆锥的体积，利用导数求解判断.
【详解】设为底面圆的一条直径，
圆锥的内切球半径和外接球半径分别为其轴截面内切圆半径和外接圆半径．当与重合时，
如图，
为重合的圆心（球心），为一个切点，
由，，均为对应角的角平分线，
所以，所以，又，
所以为等边三角形，故，所以，所以A错误；
当与重合时，如图：
，
所以，故，
所以，故B正确；
若，设圆锥底面半径为，则，
设圆锥的高为，则母线长为，轴截面的面积，
即，平方整理得，
圆锥的体积，
所以当时，最小，最小值为，故C正确；
若，设圆锥底面半径为，圆锥的高为，
则，易得，
所以，圆锥的体积，则．
当 时，，当时，，
所以当时，最大，最大值为，故D错误．
故选BC．
36．①②
【分析】根据线面、面面的关系一一判断.
【详解】因为两条不同的直线和不重合的两个平面，且，
对于①，由，可得，故①正确；
对于②，若，可得，故②正确；
对于③，若，则有可能，故③错误；
对于④，当时，则有可能，故④错误．
综上，真命题的序号是①②．
故答案为：①②．
37．5
【分析】先把点的坐标代入抛物线方程中求出，再由抛物线的定义可求得的值
【详解】由为抛物线上一点，得，可得，
则．
故答案为：5
38．（答案不唯一）
【分析】由得出，设得出通项公式.
【详解】前3项之和小于第3项则，设，，则.
故答案为：（答案不唯一）
39．
【分析】可得正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为，可得，，即可表示出外接球的表面积和正二十面体的表面积，得出答案.
【详解】由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，
设外接球半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为，
则，得，
所以正五棱锥的顶点到底面的距离是，
所以，即，解得．
所以该正二十面体的外接球表面积为，
而该正二十面体的表面积是，
所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于．
故答案为：.
【点睛】本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是将正二十面体的外接球等价于上方正五棱锥的外接球，表示出半径.
40．/-1.5
【分析】由向量平行的坐标表示进行计算．
【详解】由题意，．
故答案为：
41．
【分析】分析函数的零点情况，可确定符合题意的情况，从而得到不等式组，解得答案.
【详解】函数恒过点 ，且其图象开口向上，的零点为1，
当的零点至少有一个大于或等于1时，如图示：
函数的零点至多有两个，不符合题意，
故要使恰有3个零点，则函数在区间上存在两个零点，如图示，
故
解得，
故答案为：
42．
【分析】设右焦点为，连接，.判断出四边形为矩形.在中，解三角形求出，，利用椭圆的定义得到，即可求出离心率.
【详解】设右焦点为，连接，.
因为，即，可得四边形为矩形.
在中，，.
由椭圆的定义可得，所以，所以离心率.
故答案为：.
43．/8.25
【分析】根据题意列出方程组，求出 的表达式，求出符合条件的，再根据在区间上有且只有一个极大值点，分类讨论确定的值是否适合题意，可得答案.
【详解】由题意知，,，，则,，，
其中，,
当时，，，；当时，，，.
又在区间上有且只有一个极大值点，所以，
得，即，所以.
当时，，，此时，此时有2个极大值点，舍去；
当时，，，此时，此时有1个极大值点，成立，
所以的最大值为，
故答案为：
44．2
【分析】利用奇函数的定义代入函数式，化简即可求出所要的值.
【详解】由题意得，所以，解得．
45．
【分析】运用点差法及中点坐标公式代入可求得a、c关系式 ，结合离心率公式即可求得结果.
【详解】设，，代入椭圆的方程可得，．
两式相减可得①，
又因为，，，
所以代入①可得：，化简得．
经检验符合题意.
又因为，
所以，
故离心率．
故答案为：.
46．84
【分析】先排1,5,8，再利用插空法把0排好，根据两个计数原理可得答案.
【详解】先排列1，1，5，8这四个数，当1和1不相邻时，有种排法，再插入两个0，有种排法；
当1和1相邻时，有种排法，再插入两个0，有种排法．
所以共有（种）排法．
故答案为：84.
47．51
【分析】运用函数奇偶性及对称性可得函数的周期性，给x赋值可求得一个周期内的各式的值，进而求得结果.
【详解】由为奇函数，得，
所以①，
又因为②，
所以③，
所以
所以，
所以函数是以4为周期的周期函数，
因为，
所以将代入③得：，解得：，
将代入②得：，解得：，
将代入①得：，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：51.
48．
【分析】（1）由题可得，由此即可解出；
（2）可得，即可由求出值域.
【详解】因为函数的对称轴为，
由辅助角公式可得，
所以，即，
即，解得．
所以．
由，得，所以，
所以，故函数在区间上的值域为．
故答案为：；.
【点睛】本题考查三角函数的性质，解题的关键是根据对称轴结合辅助角公式得出，继而求出.
49．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由已知，利用等比数列的性质列出关于公比的方程，求出公比，进而可得答案；
（2）利用等比数列的求和公式求出，再利用放缩法结合数列的单调性求解即可.
【详解】（1）解：设等比数列的公比为q．
由得
解得或（舍去），
所以．
（2）证明：由（1）得，
所以．
因为在R上为减函数，且恒成立，
所以当，即时，，
所以．
【点睛】方法点睛：等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
50．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式和正弦定理对已知式子化简变形，可求出角B；
（2）由三角形的面积和，，可求出的值，再利用余弦定理求出，从而可求出三角形的周长
（1）
∵，
∴
∴，
∴
由正弦定理可得：，
∵，
∴，∴，
∵
∴
（2）
∵的面积为，
∵，得，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
由余弦定理可得，
∵，∴，
∴三角形的周长为
51．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）先由线面平行判定定理证明平面，平面，再由面面平行判定定理证明平面平面，最后由面面平行的性质得出平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可.
【详解】（1）证明：因为四边形是正方形，所以．
又平面平面
所以平面．
因为，同理，可证平面
又，所以平面平面
又因为平面，所以平面．
（2）
解：分别以为轴建立如下图所示的空间直角坐标系．
因为，所以，则
则
设平面的法向量为
则由得
令，得平面的一个法向量为
设直线与平面所成角为，则
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】关键点睛：在第一问中关键是由先证明面面平行，进而由其性质得出线面平行；在第二问中关键是建立坐标系，利用向量法进行求解.
52．（1）选择回归类型更好；（2）；（3）下一年应至少投入万元广告费用．
【分析】（1）根据散点图形状可确定回归类型；
（2）对两边取对数，利用最小二乘法可求得，由此可得回归方程；
（3）令可解出的范围，进而确定结果.
【详解】（1）由散点图知，年广告费用和年利润额的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，
所以选择回归类型更好．
（1）对两边取对数，得：，即，
由表中数据得：，，，
年广告费用和年利润额的回归方程为．
（3）由（2）知：，
令得：，解得：，
，（十万元），十万元万元
下一年应至少投入万元广告费用．
53．（1）；（2）．
【分析】（1）设点，由，结合各点的坐标可得，由动点P在双曲线上，即可写出双曲线的标准方程；
（2）设，而直线，联立双曲线方程，应用韦达定理得， ，即可求，而外接圆圆心在的垂直平分线上，根据弦长、弦心距、半径的关系，结合两点距离公式，求圆心、半径即可写出圆的方程.
【详解】（1）由题意，知，设点，则，
∴，得，整理得，
即双曲线的标准方程为．
（2）由题意，知直线，设，
联立方程，得，整理得，故， ，而，
∴中点为，而外接圆圆心在的垂直平分线上，则，
又由焦点弦长公式，可知．
设圆心满足，解得
∴半径，故外接圆方程为．
【点睛】关键点点睛：
（1）设动点坐标，根据线段的比例关系，结合两点距离公式列方程，整理即可得双曲线的标准方程；
（2）由直线与双曲线的位置关系，应用弦长公式求弦长；由三角形外接圆圆心的性质，结合弦长、弦心距、半径间的几何关系，求圆心坐标及半径，进而写出圆的方程.
54．（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导，当时，导数恒小于零，则可得函数在上为减函数，从而可求出函数的最小值，当时，由导数可得函数在上单调递减，在上单调递增，然后分，和三种情况讨论可求得函数的最小值；
（2）要证，即证，即证，当时，上式恒成立，当时，令，再利用导数可得，从而可得成立．
【详解】（1）解：函数的定义域是，
．
①当时，，则，
则函数在上单调递减，即函数在区间上单调递减，
故函数在区间上的最小值为．
②当时，令，得；令，得；
故函数在上单调递减，在上单调递增．
（i）当，即时，函数在区间上单调递增，故函数在区间上的最小值为；
（ii）当，即时，函数在区间上单调递减，故函数在区间上的最小值为；
（iii）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时函数在区间上的最小值为．
综上，当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为．
（2）证明：当时，，
要证，即证，
因为，所以两边同时乘x，得，
即证．
当时，，而，
所以成立，即成立．
当时，令，
则．
设，，则因为．
因为，所以，
所以当时，单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增，
所以，即成立．
综上，对任意，恒有成立．
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，利用导数求函数的最值，考查分类讨论的数学思想，第2问解题的关键是把等价转化为，然后构造函数，利用导数证明即可，属于中档题
55．(1)；
(2)，证明见解析.
【分析】（1）利用等比数列的通项公式进行求解即可；
（2）运用裂项相消法进行运算证明即可.
【详解】（1）设等比数列的公比是q，首项是.
由，可得.
由，可得，所以，
所以；
（2）证明：因为，
所以
.
又，所以.
56．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理，角化边，结合余弦定理求得，即可得答案;
（2）由余弦定理可得，配方后利用基本不等式可求得,从而求得三角形周长的最大值.
【详解】（1）由正弦定理，得,即，
由余弦定理得，，
又，所以.
（2）由和（1）可知，
则，
得，即，
所以（当且仅当时，取得等号），
所以周长的最大值为.
57．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明出平面，可得出，由可得出，由已知条件结合线面垂直的判定定理可证得平面，由此可得出平面；
（2）连接，证明出平面，设，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.
【详解】（1）证明：连接，因为四边形是菱形，则，
因为，故为等边三角形，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
平面，所以.
因为，所以.
又，且，所以平面，所以平面.
（2）解：连接，因为，，是的中点，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.
设，因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，.
设平面的法向量是，
则，取，可得.
设平面的法向量是，
则，取，可得.
所以，
由图可知，二面角为钝角，因此，二面角的余弦值是.
58．(1)
(2)甲种中药药性更好
【分析】（1）分别计算出示A组中恰好有1人康复， B组中恰好有1人康复的概率，根据相互独立事件同时发生的概率的计算方法，求得答案;
（2）根据二项分布的期望公式求得A组中服用甲种中药康复人数积分的期望值，再计算出B组中服用乙种中药康复人数积分的期望值，比较可得答案.
【详解】（1）依题意有，，
.
又事件C与D相互独立，
则，
所以.
（2）设A组中服用甲种中药康复的人数为，则，
所以.
设A组的积分为，则，
所以.
设B组中服用乙种中药康复的人数为，则的可能取值为：0,1,2,3,
，
，
，
，
故的分布列为
0
1
2
3
所以,
设B组的积分为，则，
所以,
因为，
所以甲种中药药性更好.
59．(1)；
(2)证明见解析，定值为.
【分析】（1）根据双曲线的离心率公式、实轴长的定义进行求解即可；
（2）设出直线l的方程与双曲线的方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解证明即可.
【详解】（1）依题意得，
解得所以双曲线C的方程是.
（2）证明：设，，，直线l的方程为.
将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，
，
则，.
要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足
即解得.
由，得，故，
所以.
又，
所以点D的纵坐标为定值.
【点睛】关键点睛：利用一元二次不等式的根与系数的关系进行求解是解题的关键.
60．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）通过构造函数利用导数证明、，利用放缩法进行证明即可；
（2）构造函数利用二次求导法得到，再通过构造函数，利用导数的性质进行求解即可.
【详解】（1）当时，.
令，则，
所以在上单调递增，且，
所以，即.
令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以，
所以.
所以当时，有，
所以当时，.
（2）因为，使恒成立，令，
只需，即在上恒成立，.
整理得.（*）.
设，则，设，
又，可得时，，单调递增；时，，单调递减，因此当时，有最小值，
所以在R上单调递增.
所以（*）式即，所以，即.
设，，则，令，解得.
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.
所以，所以.
所以实数a的取值范围为
【点睛】关键点睛：通过构造函数，利用二次求导法是解题的关键.
61．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等比数列的定义证明即可；
（2）由错位相减法求和即可得出答案.
【详解】（1）因为，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）得数列，所以，
则数列的前项和：
①，
所以②．
由①-②，得，
所以
62．(1)
(2)
【分析】（1）由，利用二倍角公式得到求解；
（2）在中，利用余弦定理得到，易得为等边三角形，再由表示，然后由四边形的面积求解.
【详解】（1）解：由，
得，
化简得，
所以，故．
又，所以．
（2）在中，
．
由（1）知．又，所以为等边三角形，
所以的面积
．
又的面积，
故四边形的面积，
，
，
当时，四边形的面积最大，最大值为．
63．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取棱PB和PC的中点，利用平行四边形的判定及性质证明线线平行，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用线面角求得，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求两个平面夹角的余弦值.
【详解】（1）如图，设E，F分别为棱PB和PC的中点，连接AE，EF，FD，
则，且，
又，，所以，且，
所以四边形ADFE为平行四边形，故，
因为，E为棱PB的中点，所以，
又M为棱AP的中点，所以，故，
又平面PDC，平面PDC，所以平面PDC；
（2）设，所以，
又，所以，所以，所以和为等边三角形，
设O为棱CD的中点，连接OP，OB，故，
又，，，平面POB，平面POB，
所以平面POB．又平面ABCD，所以平面平面ABCD，
故直线PB与平面ABCD所成的角为，所以，
又，所以，
综上OP，OB，OC两两垂直，以为坐标原点，以OB，OC，OP分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则，，，，
因为，所以，
又为棱的中点，则，
所以，，，
设为平面MCD的法向量，
则,即，令，可得，
设为平面BMD的法向量，
则，即，令，可得，
所以，
故平面BMD与平面MCD夹角的余弦值为.
64．(1)填表见解析；认为箱中有不合格品与新旧设备有关联
(2)
(3)应该对余下的480个口罩进行检验
【分析】（1）根据题中的条件可填写列联表，利用卡方计算公式计算出卡方值，结合标准误差可以判断出关联性；
（2）利用独立重复性实验的计算公式得出20个口罩中恰有3件不合格品的概率为的表达式，利用求导方法解出的最大时的；
（3）先设表示余下的480件产品中不合格品的数量，符合二项分布，解出期望，再设产品的检验费用与赔偿费用的和记为，找出、的等式关系，即可求出，进而判断结果.
【详解】（1）解： 单位：箱
是否有不合格品设备
无不合格品
有不合格品
合计
新
90
10
100
旧
75
25
100
合计
165
35
200
零假设为：有不合格品与新旧设备无关联．
由列联表可知的观测值
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为箱中有不合格品与新旧设备有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）由题意，得，
则，
令，又，得．
当时，，当时，，
所以最大时的值．
（3）由（2）知．
设表示余下的480件产品中不合格品的数量，依题意知，
所以．
若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，则，
所以．
如果对余下的产品做检验，这一箱产品所需要的检验费为（元）．
364远大于100，所以应该对余下的480个口罩进行检验．
65．(1)证明见解析，
(2)
【分析】
（1）设出A、B两点的坐标，将抛物线与圆方程联立，消去，得到二元一次方程，表示出直线的方程，结合上面韦达定理和抛物线的点可得E点坐标；
（2）根据对称性，的面积可以由表示，利用第（1）问的韦达定理得出的结论化简，可找出的面积的表达式，结合函数的最值，求出，即可求出抛物线M的方程.
【详解】（1）证明：设，，则，．
由得，
则有
解得．又，所以．
由圆与抛物线的对称性可知，点在轴上，
设．直线的方程为，
则，所以．
又，得，
所以，所以为定点，坐标为．
（2）由题意知的面积与的面积相等，设的面积为．
如图，连接AD，BC，AB，CD四边形ABCD为等腰梯形，其面积为，
则
由（1）知，，，
所以，
所以
，
当时，的最大值为6，这时抛物线的方程为．
66．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）函数在区间上有两个极值点，即方程在区间上有两个不等实根，即在区间上有两个不等实根．设，对求导，讨论的单调性和最值，即可得出答案；
（2）要证，即证，设，即证当时，成立，令，对求导，得到的单调性，即可证明.
【详解】（1）由题意得，
函数在区间上有两个极值点，即方程在区间上有两个不等实根．
又，所以在区间上有两个不等实根．
设，则．
当时，，函数单调递增，与方程在区间有两个根矛盾．
当时，由，得，
当时，，为单调递减函数；
当时，，为单调递增函数．
，，
当时，与方程在区间上有两个根矛盾．
当时，．
又，．
设，，
当时，，，
所以，
故函数在区间上和区间上各存在一个零点．
综上，时，函数在区间上有两个极值点．
（2）证明：不妨设，故有，
要证，即证，即．
由得
故．
要证，即证，
即证，即．
设，即证当时，成立．
设，．
所以在区间上为增函数，
故，即当时，成立，
综上，成立．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不不等式，等价转化的数学思想、同构的数学思想等知识，属于中等题，常用方法有如下几种：
方法一：等价转化是证明不等式成立的常见方法，其中利用函数的对称性定义，构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略；
方法二：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可，例如对数平均不等式的证明；
方法三：利用不等式的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立.
河北省张家口市三年（2021届-2023届）高考数学模拟题（一模）按题型汇编
一、单选题
1．（2021·河北张家口·统考一模）已知，都是R的子集，且，则（ ）
A．A B．B C． D．R
2．（2021·河北张家口·统考一模）（ ）
A． B． C． D．2
3．（2021·河北张家口·统考一模）小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有（ ）
A．261种 B．360种 C．369种 D．372种
4．（2021·河北张家口·统考一模）溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，人体血液的氢离子的浓度通常在之间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的值的范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·河北张家口·统考一模）某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为，假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·河北张家口·统考一模）已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若的平分线分别交x轴于点，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·河北张家口·统考一模）设是上的奇函数，且在上是减函数，又，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·河北张家口·统考一模）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·河北张家口·统考一模）已知，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·河北张家口·统考一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·河北张家口·统考一模）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022·河北张家口·统考一模）下图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm､底面边长为1cm的正三棱锥，后段是高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·河北张家口·统考一模）为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲､乙､丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（ ）
A．18种 B．12种 C．72种 D．36种
14．（2022·河北张家口·统考一模）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·河北张家口·统考一模）已知当时，函数的图象与函数的图象有且只有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·河北张家口·统考一模）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·河北张家口·统考一模）已知复数，，若，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
18．（2023·河北张家口·统考一模）是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
19．（2023·河北张家口·统考一模）已知正方体，则下列选项不正确的是（ ）
A．直线与所成的角为 B．
C．平面 D．
20．（2023·河北张家口·统考一模）宽和长的比为的矩形称为黄金矩形，它在公元前六世纪就被古希腊学者发现并研究．下图为一个黄金矩形，即．对黄金矩形依次舍去以矩形的宽为边长的正方形，可得到不断缩小的黄金矩形序列，在下面图形的每个正方形中画上四分之一圆弧，得到一条接近于对数螺线的曲线，该曲线与每一个正方形的边围成下图中的阴影部分．若设，当无限增大时，，已知圆周率为，此时阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·河北张家口·统考一模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，，则（ ）
A． B． C． D．2
22．（2023·河北张家口·统考一模）已知向量，，都是单位向量，若，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
23．（2023·河北张家口·统考一模）已知实数a，b，c满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
24．（2021·河北张家口·统考一模）如果平面向量，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在方向上的投影为
25．（2021·河北张家口·统考一模）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ）
A． B． C．X的期望 D．X的方差
26．（2021·河北张家口·统考一模）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
27．（2021·河北张家口·统考一模）已知函数，其导函数为，设，则（ ）
A．的图象关于原点对称 B．在R上单调递增
C．是的一个周期 D．在上的最小值为
28．（2022·河北张家口·统考一模）若，则下列不等式中正确的有（ ）
A． B． C． D．
29．（2022·河北张家口·统考一模）某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和浓度（单位：），得到如下所示的列联表：
PM2.5
64
16
10
10
经计算，则可以推断出（ ）
附：
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
A．该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150的概率估计值是0.64
B．若列联表中的天数都扩大到原来的10倍，的观测值不会发生变化
C．有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关
D．在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度无关
30．（2022·河北张家口·统考一模）已知正方体的棱长为1，点P是线段上（不含端点）的任意一点，点E是线段的中点，点F是平面内一点，则下面结论中正确的有（ ）
A．平面
B．以为球心､为半径的球面与该正方体侧面的交线长是
C．的最小值是
D．的最小值是
31．（2022·河北张家口·统考一模）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）
A．点M到直线l的距离为定值 B．以为直径的圆与l相切
C．的最小值为32 D．当最小时，
32．（2023·河北张家口·统考一模）小明在一次面试活动中，10位评委给他的打分分别为：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100．则下列说法正确的有（ ）
A．用简单随机抽样的方法从10个分数中随机去掉2个分数，则每个分数被去掉的概率都是
B．这10个分数的第60百分位数为91
C．这10个分数的平均数大于中位数
D．去掉一个最低分和一个最高分后，平均数会变大，而分数的方差会变小
33．（2023·河北张家口·统考一模）已知O为坐标原点，过点的直线l与圆交于A，B两点，M为A，B的中点，下列选项正确的有（ ）
A．直线l的斜率k的取值范围是
B．点M的轨迹为圆的一部分
C．为定值
D．为定值
34．（2023·河北张家口·统考一模）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．为偶函数
B．的最小值为
C．在区间上单调递增
D．方程在区间内的所有根的和为
35．（2023·河北张家口·统考一模）已知圆锥PE的顶点为P，E为底面圆的圆心，圆锥PE的内切球球心为，半径为r；外接球球心为，半径为R．以下选项正确的有（ ）
A．当与重合时，
B．当与重合时，
C．若，则圆锥PE的体积的最小值为
D．若，则圆锥PE的体积的最大值为
三、填空题
36．（2021·河北张家口·统考一模）已知两条不同的直线，和不重合的两个平面，，且，有下面四个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则.
其中真命题的序号是___________.
37．（2021·河北张家口·统考一模）若为抛物线上一点，抛物线C的焦点为F，则________．
38．（2021·河北张家口·统考一模）写出一个“公差为2且前3项之和小于第3项”的等差数列的通项公式：___________.
39．（2021·河北张家口·统考一模）早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把按计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于___________．
40．（2022·河北张家口·统考一模）已知向量，，若，则________．
41．（2022·河北张家口·统考一模）已知函数，，用表示m，n中的最小值，设函数，若恰有3个零点，则实数a的取值范围是___________.
42．（2022·河北张家口·统考一模）已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且，若，则椭圆C的离心率是___________.
43．（2022·河北张家口·统考一模）已知函数，，，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为___________.
44．（2023·河北张家口·统考一模）已知是奇函数，则实数__________．
45．（2023·河北张家口·统考一模）已知点为椭圆的右焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为，则C的离心率为__________．
46．（2023·河北张家口·统考一模）小李在2005年10月18日出生，他在设置手机的数字密码时，打算将自己出生日期的后6个数字0，5，1，0，1，8进行某种排列，从而得到密码．如果排列时要求两个1不相邻，两个0也不相邻，那么小李可以设置的不同密码有__________个（用数字作答）．
47．（2023·河北张家口·统考一模）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则__________．
四、双空题
48．（2021·河北张家口·统考一模）已知函数图象的一条对称轴为，则___________，函数在区间上的值域为___________．
五、解答题
49．（2021·河北张家口·统考一模）已知公比小于1的等比数列中，其前n项和为．
（1）求；
（2）求证：．
50．（2021·河北张家口·统考一模）在中，角A，B，C的对边分别为，
(1)求B；
(2)若，的面积为，求的周长.
51．（2021·河北张家口·统考一模）如图，四边形是正方形，平面，且．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
52．（2021·河北张家口·统考一模）某电器企业统计了近年的年利润额（千万元）与投入的年广告费用（十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令，，得到相关数据如表所示：
15
15
（1）从①；②；③三个函数中选择一个作为年广告费用和年利润额的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；
（2）根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程；
（3）预计要使年利润额突破亿，下一年应至少投入多少广告费用？结果保留到万元
参考数据：，
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
53．（2021·河北张家口·统考一模）已知双曲线上一动点P，左、右焦点分别为，且，定直线，点M在直线上，且满足．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线的斜率，且过双曲线右焦点与双曲线右支交于两点，求的外接圆方程．
54．（2021·河北张家口·统考一模）已知函数．
（1）讨论函数在区间上的最小值；
（2）当时，求证：对任意，恒有成立．
55．（2022·河北张家口·统考一模）已知数列是等比数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和，并证明：.
56．（2022·河北张家口·统考一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的最大值.
57．（2022·河北张家口·统考一模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，四边形是菱形，，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
58．（2022·河北张家口·统考一模）中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热､咳嗽､乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.
(1)设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求；
(2)若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲､乙两种中药哪种药性更好？
59．（2022·河北张家口·统考一模）已知双曲线的离心率是，实轴长是8.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值.
60．（2022·河北张家口·统考一模）已知函数，.
(1)当时，证明：当时，；
(2)若对，都，使恒成立，求实数a的取值范围.
61．（2023·河北张家口·统考一模）已知数列满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
62．（2023·河北张家口·统考一模）在中，．
(1)求；
(2)如图，为平面上外一点，且，，若，求四边形ABDC面积的最大值．
63．（2023·河北张家口·统考一模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，为棱的中点，是棱上一点，且．
(1)证明：平面；
(2)若，直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．
64．（2023·河北张家口·统考一模）某医疗用品生产商用新旧两台设备生产防护口罩，产品成箱包装，每箱500个．
(1)若从新旧两台设备生产的产品中分别随机抽取100箱作为样本，其中新设备生产的100箱样本中有10箱存在不合格品，旧设备生产的100箱样本中有25箱存在不合格品，由样本数据，填写完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“有不合格品”与“设备"有关联？
单位：箱
是否有不合格品设备
无不合格品
有不合格品
合计
新
旧
合计
(2)若每箱口罩在出厂前都要做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱口罩中任取20个做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有口罩做检验．设每个口罩为不合格品的概率都为，且各口罩是否为不合格品相互独立．记20个口罩中恰有3件不合格品的概率为，求最大时的值．
(3)现对一箱产品检验了20个，结果恰有3个不合格品，以（2）中确定的作为的值．已知每个口罩的检验费用为0.2元，若有不合格品进入用户手中，则生产商要为每个不合格品支付5元的赔偿费用．以检验费用与赔偿费用之和的期望为决策依据，是否要对这箱产品余下的480个口罩做检验？
附表：
0.100
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
附：，其中．
65．（2023·河北张家口·统考一模）如图，抛物线与圆交于A，B，C，D四点，直线AC与直线BD交于点E．
(1)请证明E为定点， 并求点E的坐标；
(2)当的面积最大时，求抛物线M的方程．
66．（2023·河北张家口·统考一模）已知函数在区间上有两个极值点，．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：．
参考答案：
1．D
【分析】利用图画出集合A、B、R之间的关系，再得出结论.
【详解】图如图所示，
易知．
故选：D．
2．A
【分析】由，根据复数模的几何含义，即可求模.
【详解】．
故选：A．
3．C
【分析】由题意可知分三种情况求解，一是有1种无氧运动选中，二是有2种无氧运动选中，三是有3种无氧运动选中，再由分类加法计数原理可求得结果
【详解】解：从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有（种）．
故选：C．
4．D
【分析】按题设所给公式求相应的值即可.
【详解】依题意，，因此，正常人体血液的值的范围是．
故选:D．
5．D
【分析】根据互相独立事件的概率公式计算可得；
【详解】解：由题知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为，则，所以，所以，所以该同学一个社团都不进入的概率．
故选：D．
6．C
【分析】由余弦定理求出，即可得到，即，从而，即可得到方程，解得即可；
【详解】解：如下图所示：
因为，所以由余弦定理得，又，所以．因为分别为的平分线，所以，所以．由题意可知，点，则．
由，可得，即，在等式的两边同时除以，可得，解得或．因为，所以
故选：C．
7．B
【分析】分析出函数在、上的单调性，以及，化简得出，结合图象可得出关于实数的不等式组，由此得出原不等式的解集.
【详解】因为是上的奇函数，则，
由于函数在上是减函数，则该函数在上也为减函数，
，则，作出函数的大致图象如下图所示：
由，可得，
由，可得或，此时；
由，可得或，解得.
因此，不等式的解集是.
故选：B.
【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
8．C
【分析】直接求出.
【详解】因为集合，集合，所以.
故选：C.
9．B
【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数，即可判断；
【详解】解：因为，所以，所以的虚部是，
故选：B.
10．B
【分析】根据角的范围，求得，再根据两角和的正弦公式求得答案.
【详解】由，，得，
所以，
故选:B.
11．A
【分析】根据函数的奇偶性且判断函数值的范围，可判断A;利用函数的奇偶性可判断B,C;用特殊值验证，可判断D.
【详解】因为，所以函数为奇函数；
因为，又，所以，
故A正确；
因为，故是非奇非偶函数，
故B错误；
函数满足 为偶函数，故C错误；
因为，故D错误，
故选：A.
12．D
【分析】先求出内切圆半径为r，再分别利用三棱锥体积与圆柱体积公式即可求出总体积.
【详解】因为正三棱锥的底面边长为1，设其内切圆半径为r，由等面积法，可得：，解得：，所以其内切圆半径为.
由三棱锥体积与圆柱体积公式可得：.
故选：D.
13．D
【分析】先将4名教师分为3组，然后再分别派到甲､乙､丙三地，即可得解.
【详解】解：4名教师分为3组，有种方法，然后再分别派到甲､乙､丙三地，
共有种方案，所以共有36种选派方案.
故选：D.
14．C
【分析】根据斐波那契数列的性质进行求解即可.
【详解】由，得
.
故选：C.
15．A
【分析】将两个函数的解析式联立，消去，得到等式，问题转化为方程有两个不同的正实根，
根据这个等式运用常变量分离法，通过构造新函数，利用导数的性质进行求解即可.
【详解】由题设，当时，，令，
则，所以当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减.又，，
所以当时，直线与的图象有两个交点，
即函数的图象与函数的图象有且只有两个交点.
故选：A.
【点睛】关键点睛：利用常变量分离法构造函数利用导数的性质是解题的关键.
16．B
【分析】先化简集合A，再利用并集和补集的运算求解.
【详解】解：由，得，故，
所以，，．
故选：B．
17．C
【分析】由共轭复数的定义结合复数的乘法运算化简，再由相等复数的定义即可得出答案.
【详解】因为，
所以，，解得．
故选：C．
18．A
【分析】根据诱导公式和三角函数绝对值即可求解.
【详解】因为，可得成立，
而由，可得，
所以不一定成立．
故选：A.
19．D
【分析】运用作平行线求得异面直线所成角可判断A项，运用线面垂直判定定理及性质可判断B项、C项，运用同一个三角形的内角不可能有两个直角可判断D项.
【详解】如图所示，
对于A项，如图，因为，所以异面直线与所成的角为或其补角．
又因为为等边三角形，所以，故A项正确；
对于B项、C项，因为四边形为正方形，则．
又因为平面，
所以．
又因为平面，平面，，
所以平面．
又平面，
所以．
同理：，，
又平面，平面，，
所以平面，故B项、C项正确；
对于D项，∵面，
∴，即：在中，，
由三角形内角和可知，，故D项错误；
故选：D．
20．A
【分析】由，得，则，在根据题意可得是等比数列，再根据等比数列前项和公式即可的解.
【详解】由，得，得，
因为，则，同理每一个小正方形的边长均为前一个正方形边长的倍，
设曲线与第一个正方形的边围成的阴影部分的面积为，，
从第二个正方形开始曲线与正方形的边围成的阴影部分的面积依次为，，．．．，，
设第个正方形的边长为，则第个正方形的边长，
所以曲线与第个正方形的边围成的阴影部分的面积为，
曲线与第个正方形的边围成的阴影部分的面积为
，
故，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
设阴影部分的面积为，则，
又当无限增大时，，
所以时，，
又，所以阴影部分的面积为．
故选：A．
21．B
【分析】运用双曲线定义求得a、c的值，进而求得两条渐近线方程，结合点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由，得．
因为，
所以．
又因为，
所以，
故双曲线的方程为，
所以两条渐近线的方程为．
设，则，
故．
不妨设，则，
所以，
所以．
故选：B．
22．C
【分析】根据数量积的运算律得到，设，即可得到，再由求出的范围，即可得解.
【详解】由，得，即．
设，则，显然，
所以．
又，所以，
所以，即的最大值为．
故选：C．
23．D
【分析】由，可得，而，然后利用指数函数的性质可比较的大小，再求出，则可得，再根据对数函数和指数函数的性质逐个分析判断.
【详解】由，得，
所以，
又函数单调递减，，
所以，即，
所以
由，得，
所以，
所以函数在上单调递增，函数和在上单调递减，
故，，所以A错误；
，．
又，所以，，所以C错误；
由，得．
因为，所以，
故，所以B错误；
因为在上单调递增，且，
所以．
因为在上单调递减，且，
所以，故．
故选：D．
24．AB
【分析】根据向量坐标运算及向量共线的意义可得解.
【详解】因为，所以．
在A中，由，可得，故A正确；
在B中，由，可得，故B正确；
在C中，由，可得与的夹角为，故C错误；
在D中，在方向上的投影为，故D错误．
故选:AB．
25．ACD
【分析】分别计算概率，计算期望与方差.
【详解】从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，
并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，
取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，
所以随机变量服从二项分布，故A正确；
，记其概率为，故B错误；
因为，所以的期望，故C正确；
因为，所以的方差，故D正确．
故选：ACD．
26．ABC
【分析】对于A，由已知条件可得，再由指数函数的性质可得，然后给不等式两边开平方可得结果；对于B，对化简可得，两边开方可得结果；对于C，由于，化简后可得结果；对于D，由基本不等式可得，再结合已知条件可得，从而可判断D，
【详解】对于A，因为，且，所以，所以，所以，故A正确；
对于B，，所以，当且仅当，即时取等号，故，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时取等号，故，得，故C正确；
对于D，已知，且，所以，即，则，当且仅当，即时取等号，故D错误．
故选：ABC．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
27．AC
【分析】对A：求出的定义域，再利用奇偶性的定义判断即可；
对B：利用的导数可判断；
对C：计算，看是否等于即可；
对D：设，根据对勾函数的单调性可得最值.
【详解】的定义域是，其定义域关于坐标原点对称，
且，
所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，故A项正确；
由，得，则．
恒成立，所以在上单调递增，并不是在R上单调递增，故B项错误；
由，得函数的定义域是，故C项正确；
设，当时，，
此时，，根据对勾函数的单调性，在上单调递减，
，故D项错误.
故选：AC．
28．AB
【分析】根据作差法，判断A;根据指数函数的单调性，判断B;举反例可说明C的正误；同样据反例，判断D.
【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确；
对于B选项，因为函数在R上单调递增，所以，故B正确；
对于C选项，当时，不成立，故C不正确；
对于D选项，当，时，，故D不正确,
故选:AB.
29．AC
【分析】对于A选项，根据表格，进行数据分析，直接求概率；
对于B，C，D选项，进行独立性检验，计算后对照参数下结论.
【详解】解：补充完整列联表如下：
PM2.5
合计
64
16
80
10
10
20
合计
74
26
100
对于A选项，该市一天中，空气中PM2.5浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值为，故A正确；
对于B选项，，故B不正确；
因为，根据临界值表可知，在犯错的概率不超过的条件下，
即有超过的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关，故C正确，D错误.
故选：AC.
30．ABD
【分析】对于A选项：利用线面平行的判定定理证明出平面，即可判断；
对于B选项：先作出球面与侧面的交线为弧，再求弧长；
对于C，D选项：将沿翻折到与在同一平面作于点G，交于P.利用几何法判断出最小.解三角形求出最小值，即可判断C、D.
【详解】对于A选项：
因为平面即为平面，又因为，且平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B选项：
该球面与侧面的交线为弧，是以为圆心，圆心角为的弧，所以弧长为，故B正确；
对于C，D选项：
将沿翻折到与在同一平面且点，D在直线的异侧，作于点G，交于P.由两点之间，直线最短.可得G、F重合时，最小.此时，设，则,
所以.
在中，,所以，则的最小值是，故C不正确，D正确.
故选:ABD.
31．BCD
【分析】设直线方程，并联立抛物线方程，利用根与系数的关系式，求得点M的横坐标，结合抛物线定义，可判断A;利用抛物线定义推得,由此判断B;
计算出弦长，可得的表达式，利用基本不等式求得其最小值，判断C;
求出的表达式，采用换元法，利用二次函数的单调性求得其最小值，判断D.
【详解】设，，，， ，
直线的方程为，则直线的方程为,
将直线的方程代入，化简整理得，
则，，
故,
所以，,
因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，
点M到直线l的距离，
又，所以，故A错误；
因为，
所以以为直径的圆的圆心M到l的距离为，
即以为直径的圆与l相切，故B正确；
同理，，所以，，，
则，当且仅当时等号成立，故C正确；
.
设，则，，.
当时，即时，最小，这时，故D正确,
故选:BCD.
【点睛】本题考查了抛物线的焦点弦的性质，具有较强的综合性，要求学生有较好的计算能力和思维能力，解答时要注意直线方程的设法，以及联立后结合根与系数的关系式的化简，涉及到焦半径以及弦长和距离的计算，比较繁杂，要细心运算.
32．BD
【分析】对于A，根据古典概型的概率公式计算判断，对于B，根据百分位数的定义计算判断，对于C，计算出平均数和中位数进行判断，对于D，通过计算平均数和方差进行判断即可.
【详解】从10个分数中随机去掉2个分数，则每个分数被去掉的概率都是，故A错误；
，所以第60百分位数是第6个数90与第7个数92的平均数，即，所以B正确；
对于C选项：这10个数的平均数为．
因为，所以中位数是第5个数90与第6个数90的平均数90，所以C错误；
对于D选项：
10个数的方差为．
去掉70和10后，平均数为，
方差为，
，，所以D正确．
故选： BD．
33．ABD
【分析】利用直线和圆相交可求斜率范围，利用平面向量的数量积和直线与圆的位置关系即得结果.
【详解】对于A选项，方法1：设，，直线l的方程为．
由得，
所以，
解得，所以A正确；
方法2：如图，设直线l与圆的切点为，，在直角三角形中，，
所以，所以，由图形对称性可知，所以A正确；
对于B选项，由，可得，所以点的轨迹是以为直径的圆的一部分，故B正确；
对于C选项，由，可得，
又，所以C错误；
对于D选项，由，
得，，
，
又，，
所以
．故D正确．
故选：ABD．
34．ACD
【分析】运用函数奇偶性定义可判断A项，研究函数的周期性并画出图象可判断B项、C项，（也可运用整体法研究函数单调性可判断C项）运用对称性可判断D项.
【详解】对于A项，的定义域为，，故A项正确；
对于B项，由得：，
所以，
又因为，
所以函数是以为周期的周期函数，
所以，，
即，
故函数的图象如图所示．
则，
所以函数的最小值为，故B项错误；
对于C项，方法1：如图，当时，函数在上单调递增，故C项正确；
方法2：当时，，
所以，
所以函数在上单调递增，故C项正确；
对于D项，如上图可知，方程在区间有四个根，且，
所以，故D项正确．
故选：ACD．
35．BC
【分析】A.当与重合时，易得为等边三角形求解判断；B.当与重合时，由，求解判断；C.由，设圆锥底面半径为，则，设圆锥的高为，得到母线长为，轴截面的面积，进而得到，再由体积公式求解判断；D.由，设圆锥底面半径为，圆锥的高为，易得，再由圆锥的体积，利用导数求解判断.
【详解】设为底面圆的一条直径，
圆锥的内切球半径和外接球半径分别为其轴截面内切圆半径和外接圆半径．当与重合时，
如图，
为重合的圆心（球心），为一个切点，
由，，均为对应角的角平分线，
所以，所以，又，
所以为等边三角形，故，所以，所以A错误；
当与重合时，如图：
，
所以，故，
所以，故B正确；
若，设圆锥底面半径为，则，
设圆锥的高为，则母线长为，轴截面的面积，
即，平方整理得，
圆锥的体积，
所以当时，最小，最小值为，故C正确；
若，设圆锥底面半径为，圆锥的高为，
则，易得，
所以，圆锥的体积，则．
当 时，，当时，，
所以当时，最大，最大值为，故D错误．
故选BC．
36．①②
【分析】根据线面、面面的关系一一判断.
【详解】因为两条不同的直线和不重合的两个平面，且，
对于①，由，可得，故①正确；
对于②，若，可得，故②正确；
对于③，若，则有可能，故③错误；
对于④，当时，则有可能，故④错误．
综上，真命题的序号是①②．
故答案为：①②．
37．5
【分析】先把点的坐标代入抛物线方程中求出，再由抛物线的定义可求得的值
【详解】由为抛物线上一点，得，可得，
则．
故答案为：5
38．（答案不唯一）
【分析】由得出，设得出通项公式.
【详解】前3项之和小于第3项则，设，，则.
故答案为：（答案不唯一）
39．
【分析】可得正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为，可得，，即可表示出外接球的表面积和正二十面体的表面积，得出答案.
【详解】由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，
设外接球半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为，
则，得，
所以正五棱锥的顶点到底面的距离是，
所以，即，解得．
所以该正二十面体的外接球表面积为，
而该正二十面体的表面积是，
所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于．
故答案为：.
【点睛】本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是将正二十面体的外接球等价于上方正五棱锥的外接球，表示出半径.
40．/-1.5
【分析】由向量平行的坐标表示进行计算．
【详解】由题意，．
故答案为：
41．
【分析】分析函数的零点情况，可确定符合题意的情况，从而得到不等式组，解得答案.
【详解】函数恒过点 ，且其图象开口向上，的零点为1，
当的零点至少有一个大于或等于1时，如图示：
函数的零点至多有两个，不符合题意，
故要使恰有3个零点，则函数在区间上存在两个零点，如图示，
故
解得，
故答案为：
42．
【分析】设右焦点为，连接，.判断出四边形为矩形.在中，解三角形求出，，利用椭圆的定义得到，即可求出离心率.
【详解】设右焦点为，连接，.
因为，即，可得四边形为矩形.
在中，，.
由椭圆的定义可得，所以，所以离心率.
故答案为：.
43．/8.25
【分析】根据题意列出方程组，求出 的表达式，求出符合条件的，再根据在区间上有且只有一个极大值点，分类讨论确定的值是否适合题意，可得答案.
【详解】由题意知，,，，则,，，
其中，,
当时，，，；当时，，，.
又在区间上有且只有一个极大值点，所以，
得，即，所以.
当时，，，此时，此时有2个极大值点，舍去；
当时，，，此时，此时有1个极大值点，成立，
所以的最大值为，
故答案为：
44．2
【分析】利用奇函数的定义代入函数式，化简即可求出所要的值.
【详解】由题意得，所以，解得．
45．
【分析】运用点差法及中点坐标公式代入可求得a、c关系式 ，结合离心率公式即可求得结果.
【详解】设，，代入椭圆的方程可得，．
两式相减可得①，
又因为，，，
所以代入①可得：，化简得．
经检验符合题意.
又因为，
所以，
故离心率．
故答案为：.
46．84
【分析】先排1,5,8，再利用插空法把0排好，根据两个计数原理可得答案.
【详解】先排列1，1，5，8这四个数，当1和1不相邻时，有种排法，再插入两个0，有种排法；
当1和1相邻时，有种排法，再插入两个0，有种排法．
所以共有（种）排法．
故答案为：84.
47．51
【分析】运用函数奇偶性及对称性可得函数的周期性，给x赋值可求得一个周期内的各式的值，进而求得结果.
【详解】由为奇函数，得，
所以①，
又因为②，
所以③，
所以
所以，
所以函数是以4为周期的周期函数，
因为，
所以将代入③得：，解得：，
将代入②得：，解得：，
将代入①得：，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：51.
48．
【分析】（1）由题可得，由此即可解出；
（2）可得，即可由求出值域.
【详解】因为函数的对称轴为，
由辅助角公式可得，
所以，即，
即，解得．
所以．
由，得，所以，
所以，故函数在区间上的值域为．
故答案为：；.
【点睛】本题考查三角函数的性质，解题的关键是根据对称轴结合辅助角公式得出，继而求出.
49．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由已知，利用等比数列的性质列出关于公比的方程，求出公比，进而可得答案；
（2）利用等比数列的求和公式求出，再利用放缩法结合数列的单调性求解即可.
【详解】（1）解：设等比数列的公比为q．
由得
解得或（舍去），
所以．
（2）证明：由（1）得，
所以．
因为在R上为减函数，且恒成立，
所以当，即时，，
所以．
【点睛】方法点睛：等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
50．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式和正弦定理对已知式子化简变形，可求出角B；
（2）由三角形的面积和，，可求出的值，再利用余弦定理求出，从而可求出三角形的周长
（1）
∵，
∴
∴，
∴
由正弦定理可得：，
∵，
∴，∴，
∵
∴
（2）
∵的面积为，
∵，得，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
由余弦定理可得，
∵，∴，
∴三角形的周长为
51．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）先由线面平行判定定理证明平面，平面，再由面面平行判定定理证明平面平面，最后由面面平行的性质得出平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可.
【详解】（1）证明：因为四边形是正方形，所以．
又平面平面
所以平面．
因为，同理，可证平面
又，所以平面平面
又因为平面，所以平面．
（2）
解：分别以为轴建立如下图所示的空间直角坐标系．
因为，所以，则
则
设平面的法向量为
则由得
令，得平面的一个法向量为
设直线与平面所成角为，则
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】关键点睛：在第一问中关键是由先证明面面平行，进而由其性质得出线面平行；在第二问中关键是建立坐标系，利用向量法进行求解.
52．（1）选择回归类型更好；（2）；（3）下一年应至少投入万元广告费用．
【分析】（1）根据散点图形状可确定回归类型；
（2）对两边取对数，利用最小二乘法可求得，由此可得回归方程；
（3）令可解出的范围，进而确定结果.
【详解】（1）由散点图知，年广告费用和年利润额的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，
所以选择回归类型更好．
（1）对两边取对数，得：，即，
由表中数据得：，，，
年广告费用和年利润额的回归方程为．
（3）由（2）知：，
令得：，解得：，
，（十万元），十万元万元
下一年应至少投入万元广告费用．
53．（1）；（2）．
【分析】（1）设点，由，结合各点的坐标可得，由动点P在双曲线上，即可写出双曲线的标准方程；
（2）设，而直线，联立双曲线方程，应用韦达定理得， ，即可求，而外接圆圆心在的垂直平分线上，根据弦长、弦心距、半径的关系，结合两点距离公式，求圆心、半径即可写出圆的方程.
【详解】（1）由题意，知，设点，则，
∴，得，整理得，
即双曲线的标准方程为．
（2）由题意，知直线，设，
联立方程，得，整理得，故， ，而，
∴中点为，而外接圆圆心在的垂直平分线上，则，
又由焦点弦长公式，可知．
设圆心满足，解得
∴半径，故外接圆方程为．
【点睛】关键点点睛：
（1）设动点坐标，根据线段的比例关系，结合两点距离公式列方程，整理即可得双曲线的标准方程；
（2）由直线与双曲线的位置关系，应用弦长公式求弦长；由三角形外接圆圆心的性质，结合弦长、弦心距、半径间的几何关系，求圆心坐标及半径，进而写出圆的方程.
54．（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导，当时，导数恒小于零，则可得函数在上为减函数，从而可求出函数的最小值，当时，由导数可得函数在上单调递减，在上单调递增，然后分，和三种情况讨论可求得函数的最小值；
（2）要证，即证，即证，当时，上式恒成立，当时，令，再利用导数可得，从而可得成立．
【详解】（1）解：函数的定义域是，
．
①当时，，则，
则函数在上单调递减，即函数在区间上单调递减，
故函数在区间上的最小值为．
②当时，令，得；令，得；
故函数在上单调递减，在上单调递增．
（i）当，即时，函数在区间上单调递增，故函数在区间上的最小值为；
（ii）当，即时，函数在区间上单调递减，故函数在区间上的最小值为；
（iii）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时函数在区间上的最小值为．
综上，当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为．
（2）证明：当时，，
要证，即证，
因为，所以两边同时乘x，得，
即证．
当时，，而，
所以成立，即成立．
当时，令，
则．
设，，则因为．
因为，所以，
所以当时，单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增，
所以，即成立．
综上，对任意，恒有成立．
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，利用导数求函数的最值，考查分类讨论的数学思想，第2问解题的关键是把等价转化为，然后构造函数，利用导数证明即可，属于中档题
55．(1)；
(2)，证明见解析.
【分析】（1）利用等比数列的通项公式进行求解即可；
（2）运用裂项相消法进行运算证明即可.
【详解】（1）设等比数列的公比是q，首项是.
由，可得.
由，可得，所以，
所以；
（2）证明：因为，
所以
.
又，所以.
56．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理，角化边，结合余弦定理求得，即可得答案;
（2）由余弦定理可得，配方后利用基本不等式可求得,从而求得三角形周长的最大值.
【详解】（1）由正弦定理，得,即，
由余弦定理得，，
又，所以.
（2）由和（1）可知，
则，
得，即，
所以（当且仅当时，取得等号），
所以周长的最大值为.
57．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明出平面，可得出，由可得出，由已知条件结合线面垂直的判定定理可证得平面，由此可得出平面；
（2）连接，证明出平面，设，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.
【详解】（1）证明：连接，因为四边形是菱形，则，
因为，故为等边三角形，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
平面，所以.
因为，所以.
又，且，所以平面，所以平面.
（2）解：连接，因为，，是的中点，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.
设，因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，.
设平面的法向量是，
则，取，可得.
设平面的法向量是，
则，取，可得.
所以，
由图可知，二面角为钝角，因此，二面角的余弦值是.
58．(1)
(2)甲种中药药性更好
【分析】（1）分别计算出示A组中恰好有1人康复， B组中恰好有1人康复的概率，根据相互独立事件同时发生的概率的计算方法，求得答案;
（2）根据二项分布的期望公式求得A组中服用甲种中药康复人数积分的期望值，再计算出B组中服用乙种中药康复人数积分的期望值，比较可得答案.
【详解】（1）依题意有，，
.
又事件C与D相互独立，
则，
所以.
（2）设A组中服用甲种中药康复的人数为，则，
所以.
设A组的积分为，则，
所以.
设B组中服用乙种中药康复的人数为，则的可能取值为：0,1,2,3,
，
，
，
，
故的分布列为
0
1
2
3
所以,
设B组的积分为，则，
所以,
因为，
所以甲种中药药性更好.
59．(1)；
(2)证明见解析，定值为.
【分析】（1）根据双曲线的离心率公式、实轴长的定义进行求解即可；
（2）设出直线l的方程与双曲线的方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解证明即可.
【详解】（1）依题意得，
解得所以双曲线C的方程是.
（2）证明：设，，，直线l的方程为.
将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，
，
则，.
要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足
即解得.
由，得，故，
所以.
又，
所以点D的纵坐标为定值.
【点睛】关键点睛：利用一元二次不等式的根与系数的关系进行求解是解题的关键.
60．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）通过构造函数利用导数证明、，利用放缩法进行证明即可；
（2）构造函数利用二次求导法得到，再通过构造函数，利用导数的性质进行求解即可.
【详解】（1）当时，.
令，则，
所以在上单调递增，且，
所以，即.
令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以，
所以.
所以当时，有，
所以当时，.
（2）因为，使恒成立，令，
只需，即在上恒成立，.
整理得.（*）.
设，则，设，
又，可得时，，单调递增；时，，单调递减，因此当时，有最小值，
所以在R上单调递增.
所以（*）式即，所以，即.
设，，则，令，解得.
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.
所以，所以.
所以实数a的取值范围为
【点睛】关键点睛：通过构造函数，利用二次求导法是解题的关键.
61．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等比数列的定义证明即可；
（2）由错位相减法求和即可得出答案.
【详解】（1）因为，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）得数列，所以，
则数列的前项和：
①，
所以②．
由①-②，得，
所以
62．(1)
(2)
【分析】（1）由，利用二倍角公式得到求解；
（2）在中，利用余弦定理得到，易得为等边三角形，再由表示，然后由四边形的面积求解.
【详解】（1）解：由，
得，
化简得，
所以，故．
又，所以．
（2）在中，
．
由（1）知．又，所以为等边三角形，
所以的面积
．
又的面积，
故四边形的面积，
，
，
当时，四边形的面积最大，最大值为．
63．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取棱PB和PC的中点，利用平行四边形的判定及性质证明线线平行，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用线面角求得，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求两个平面夹角的余弦值.
【详解】（1）如图，设E，F分别为棱PB和PC的中点，连接AE，EF，FD，
则，且，
又，，所以，且，
所以四边形ADFE为平行四边形，故，
因为，E为棱PB的中点，所以，
又M为棱AP的中点，所以，故，
又平面PDC，平面PDC，所以平面PDC；
（2）设，所以，
又，所以，所以，所以和为等边三角形，
设O为棱CD的中点，连接OP，OB，故，
又，，，平面POB，平面POB，
所以平面POB．又平面ABCD，所以平面平面ABCD，
故直线PB与平面ABCD所成的角为，所以，
又，所以，
综上OP，OB，OC两两垂直，以为坐标原点，以OB，OC，OP分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则，，，，
因为，所以，
又为棱的中点，则，
所以，，，
设为平面MCD的法向量，
则,即，令，可得，
设为平面BMD的法向量，
则，即，令，可得，
所以，
故平面BMD与平面MCD夹角的余弦值为.
64．(1)填表见解析；认为箱中有不合格品与新旧设备有关联
(2)
(3)应该对余下的480个口罩进行检验
【分析】（1）根据题中的条件可填写列联表，利用卡方计算公式计算出卡方值，结合标准误差可以判断出关联性；
（2）利用独立重复性实验的计算公式得出20个口罩中恰有3件不合格品的概率为的表达式，利用求导方法解出的最大时的；
（3）先设表示余下的480件产品中不合格品的数量，符合二项分布，解出期望，再设产品的检验费用与赔偿费用的和记为，找出、的等式关系，即可求出，进而判断结果.
【详解】（1）解： 单位：箱
是否有不合格品设备
无不合格品
有不合格品
合计
新
90
10
100
旧
75
25
100
合计
165
35
200
零假设为：有不合格品与新旧设备无关联．
由列联表可知的观测值
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为箱中有不合格品与新旧设备有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）由题意，得，
则，
令，又，得．
当时，，当时，，
所以最大时的值．
（3）由（2）知．
设表示余下的480件产品中不合格品的数量，依题意知，
所以．
若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，则，
所以．
如果对余下的产品做检验，这一箱产品所需要的检验费为（元）．
364远大于100，所以应该对余下的480个口罩进行检验．
65．(1)证明见解析，
(2)
【分析】
（1）设出A、B两点的坐标，将抛物线与圆方程联立，消去，得到二元一次方程，表示出直线的方程，结合上面韦达定理和抛物线的点可得E点坐标；
（2）根据对称性，的面积可以由表示，利用第（1）问的韦达定理得出的结论化简，可找出的面积的表达式，结合函数的最值，求出，即可求出抛物线M的方程.
【详解】（1）证明：设，，则，．
由得，
则有
解得．又，所以．
由圆与抛物线的对称性可知，点在轴上，
设．直线的方程为，
则，所以．
又，得，
所以，所以为定点，坐标为．
（2）由题意知的面积与的面积相等，设的面积为．
如图，连接AD，BC，AB，CD四边形ABCD为等腰梯形，其面积为，
则
由（1）知，，，
所以，
所以
，
当时，的最大值为6，这时抛物线的方程为．
66．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）函数在区间上有两个极值点，即方程在区间上有两个不等实根，即在区间上有两个不等实根．设，对求导，讨论的单调性和最值，即可得出答案；
（2）要证，即证，设，即证当时，成立，令，对求导，得到的单调性，即可证明.
【详解】（1）由题意得，
函数在区间上有两个极值点，即方程在区间上有两个不等实根．
又，所以在区间上有两个不等实根．
设，则．
当时，，函数单调递增，与方程在区间有两个根矛盾．
当时，由，得，
当时，，为单调递减函数；
当时，，为单调递增函数．
，，
当时，与方程在区间上有两个根矛盾．
当时，．
又，．
设，，
当时，，，
所以，
故函数在区间上和区间上各存在一个零点．
综上，时，函数在区间上有两个极值点．
（2）证明：不妨设，故有，
要证，即证，即．
由得
故．
要证，即证，
即证，即．
设，即证当时，成立．
设，．
所以在区间上为增函数，
故，即当时，成立，
综上，成立．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不不等式，等价转化的数学思想、同构的数学思想等知识，属于中等题，常用方法有如下几种：
方法一：等价转化是证明不等式成立的常见方法，其中利用函数的对称性定义，构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略；
方法二：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可，例如对数平均不等式的证明；
方法三：利用不等式的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立.
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