2023届高考数学二轮复习 微专题作业17 与圆相关的定点、定值问题（含解析）

这是一份2023届高考数学二轮复习 微专题作业17 与圆相关的定点、定值问题（含解析），共5页。试卷主要包含了圆C，故直线FG被圆C截得的弦长为7等内容，欢迎下载使用。
1.圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0，则圆过定
点________．
2．已知以曲线y＝eq \f(2,x)上任意点C为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点，则△AOB的面积为________．
3．已知直线l：mx－y＋m＝0，圆C：(x－a)2＋y2＝4.若对任意a∈[1，＋∞)，存在l被C截得弦长为2，则实数m的取值范围是________．
4．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则2PA＋PB的最大值是________．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－(6－2m)x－4my＋5m2－6m＝0，直线l经过点(－1，1)．若对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则直线l的方程为________．
6．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，则圆M的方程为________．
7．已知圆C的方程为(x＋4)2＋y2＝16，直线l过圆心且垂直于x轴，其中G点在圆上，F点坐标为(－6，0)．
(1)若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
(2)在平面上是否存在定点P，使得对圆C上任意的点G有eq \f(GF,GP)＝eq \f(1,2)？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1(－4，0)，F2(4，0)，A(0，8)，直线y＝t(0＜t＜8)与线段AF1，AF2分别交于点P，Q，过点Q作直线QR∥AF1交F1F2于点R，记△PRF1的外接圆为圆C.
(1)求证：圆心C在定直线7x＋4y＋8＝0上；
(2)圆C是否恒过异于点F1的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．
微专题17
1．答案：(2，0)．
解析：圆C的方程可以改写为(x－2)(x＋2－2t)＋y(y－2t2)＝0，表示以(2，0)，(2t－2，2t2)为直径的圆．
2．答案：4.
解析：设Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\f(2,t)))(t∈R，t≠0)，由题意知，圆C的方程为(x－t)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(2,t)))eq \s\up12(2)＝t2＋eq \f(4,t2)，化简得x2－2tx＋y2－eq \f(4,t)y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t，0)；当x＝0时，y＝0或eq \f(4,t)，则
Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4,t)))，所以S△AOB＝eq \f(1,2)OA·OB＝eq \f(1,2)|2t|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4,t)))＝4.
3．答案：[－eq \r(3)，0)∪(0，eq \r(3)]．
解法1由题意可得，圆心C到l的距离d＝eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2)))\s\up12(2))＝eq \r(3)，即eq \f(|am＋m|,\r(m2＋1))＝eq \r(3)，所以m2＝eq \f(3,（a＋1）2－3)，又因为a≥1，所以0＜m2≤3，－eq \r(3)≤m＜0或0＜m≤eq \r(3).
解法2由题意可得，圆心C到l的距离d＝eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2)))\s\up12(2))＝eq \r(3)，又l：mx－y＋m＝0恒过定点A(－1，0)，a≥1，所以AC≥2，另设直线l的倾斜角为θ，所以sinθ＝eq \f(\r(3),AC)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))，所以l的斜率m＝tanθ∈[－eq \r(3)，0)∪(0，eq \r(3)]．
4．答案：5eq \r(2).
解析：由条件知定点A(0，0)，B(1，3)，且PA⊥PB，所以PA2＋PB2＝10(定值)，所以(2PA＋PB)2≤(PA2＋PB2)(22＋12)＝50，即2PA＋PB≤5eq \r(2).
5．答案：2x＋y＋1＝0.
解析：由条件知圆心C(3－m，2m)在直线2x＋y－6＝0上，若对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长都是定值，则直线l与圆心所在直线平行，再代入点
(－1，1)得直线l的方程为2x＋y＋1＝0.
6．答案：(x－1)2＋y2＝1.
解析：设定圆圆心M(a，b)，半径为r，动点P(x，y)，由题意知MP＝2r，即(x－a)2＋(y－b)2＝4r2，由于点P在圆C：(x－1)2＋y2＝4上，所以(2－2a)x－2by＋a2＋b2－4r2＋3＝0，对任意x，y都成立，所以a＝1，b＝0，r2＝1，所求圆方程为(x－1)2＋y2＝1.
7．答案：(1)直线FG被圆C截得的弦长为7；
(2)平面上存在定点
P(－12，0)，使得结论成立．
解析：(1)由题意，设G(－5，yG)，代入(x＋4)2＋y2＝16，得yG＝
±eq \r(15)，所以FG的斜率为k＝±eq \r(15)，FG的方程为
y＝±eq \r(15)(x＋6)．设圆心
C(－4，0)到FG的距离为d，由点到直线的距离公式得d＝eq \f(|±2\r(15)|,\r(15＋1))＝eq \f(\r(15),2).则直线FG被圆C截得的弦长为
2eq \r(6－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)))\s\up12(2))＝7.故直线FG被圆C截得的弦长为7.
(2)设P(s，t)，G(x0，y0)，则由eq \f(GF,GP)＝eq \f(1,2)，
得eq \f(\r(（x0＋6）2＋y02),\r(（x0－s）2＋（y0－t）2))＝eq \f(1,2)，整理得3(x02＋y02)＋(48＋2s)x0＋2ty0＋144－s2－t2＝0.①
又G(x0，y0)在圆C：(x＋4)2＋y2＝16上，所以x02＋y02＋8x0＝0.②
将②代入①，得(2s＋24)x0＋2ty0＋144－s2－t2＝0.又由G(x0，y0)为圆C上任意一点可知，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2s＋24＝0，,2t＝0，,144－s2－t2＝0.))解得s＝
－12，t＝0.所以在平面上存在定点P(－12，0)，使得结论成立．
8．答案：(1)略；(2)圆C恒过异于点F1的一定点，该点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,13)，\f(32,13))).
解析：(1)解法1：易得直线AF1：y＝2x＋8；AF2：y＝－2x＋8，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t－8,2)，t))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8－t,2)，t))，再由QR∥AF1，得R(4－t，0)，则线段F1R的中垂线方程为x＝
－eq \f(t,2)，线段PF1的中垂线方程为y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(5t－16,8)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\f(1,2)x＋\f(5t－16,8)，,x＝－\f(t,2)，))
得△PRF1的外接圆的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(t,2)，\f(7t,8)－2))，经验证，该圆心在定直线7x＋4y＋8＝0上．
解法2：易得直线AF1：y＝2x＋8；AF2：y＝－2x＋8，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t－8,2)，t))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8－t,2)，t))，再由QR∥AF1，得R(4－t，0)，设△PRF1的外接圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（4－t）2＋（4－t）D＋F＝0，,（－4）2－4D＋F＝0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t－8,2)))\s\up12(2)＋t2＋\f(t－8,2)D＋tE＋F＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝t，,E＝4－\f(7,4)t，,F＝4t－16，))所以圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(t,2)，\f(7t,8)－2))，经验证，该圆心在定直线7x＋4y＋8＝0上．
(2)由(1)可得圆C的方程为x2＋y2＋tx＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(7,4)t))y＋4t－16＝0，该方程可整理为(x2＋y2＋2y－16)＋teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(7,4)y＋4))＝0，则由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋4y－16＝0，,x－\f(7,4)y＋4＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,13)，,y＝\f(32,13)，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝0，))所以圆恒过异于点F1的一个定点，该点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,13)，\f(32,13))).