2023届高考物理二轮复习专题三第2讲磁场带电粒子在磁场及复合场中的运动学案

第2讲　磁场　带电粒子在磁场及复合场中的运动

1. 理解磁场性质及安培力．

2. 能解决带电粒子在匀强磁场中的运动问题．

3. 能解决带电粒子在组合场中的运动问题．

4. 能解决与现代科技相关的物理问题．

1. 磁感应强度的定义式：B＝．

2. 安培力：(1) 大小：F＝BIl(B、I、l相互垂直)；(2) 方向：左手定则判断．

3. 洛伦兹力：(1) 大小：F＝qvB；(2) 方向：左手定则判断．

4. 带电粒子在匀强磁场中的运动

(1) 洛伦兹力充当向心力时有qvB＝mrω2＝m＝mr＝4π2mrf2＝ma．

(2)  圆周运动的半径r＝、周期T＝．

5. 常见模型：速度选择器、回旋加速器、质谱仪等．

1. (2021·江苏卷)在光滑桌面上将长为πL的软导线两端固定，固定点的距离为2L，导线通有电流I，处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导线中的张力为(　　)　　　　　　　　　　　　

A. BILB. 2BIL

C. πBIL    D. 2πBIL

【解析】 从上向下看导线的图形如图所示，导线的有效长度为2L，则所受的安培力大小为F安＝2BIL，以导线整体为研究对象，F安＝2F，钉子对导线的力F＝，设导线中的张力为FT，则FT＝F＝，解得FT＝BIL，故A正确，B、C、D错误．

【答案】 A

 2. (2021·全国乙卷)如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场．若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°，不计重力，则 为(　　)

A.   　    B.      C.      D. 

【解析】 根据题意作出粒子的圆心如图所示，设圆形磁场区域的半径为R，根据几何关系有第一次的半径r1＝R，第二次的半径r2＝ R，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝ ，可得v＝ ，所以 ＝ ＝ .B正确．

【答案】 B

 3. (2022·全国甲卷)空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面(xOy 平面)向里，电场的方向沿y轴正方向．一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O由静止开始运动．下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是(　　)

【解析】 在xOy平面内电场的方向沿y轴正方向，故在坐标原点O静止的带正电粒子在电场力作用下会向y轴正方向运动．磁场方向垂直于纸面向里，根据左手定则，可判断出向y轴正方向运动的粒子同时受到沿x轴负方向的洛伦兹力，故带电粒子向x轴负方向偏转．A、C错误．运动的过程中，电场力对带电粒子做功，粒子速度大小发生变化，粒子所受的洛伦兹力方向始终与速度方向垂直．由于匀强电场方向是沿y轴正方向，故x轴为匀强电场的等势面，从开始到带电粒子偏转再次运动到x轴时，电场力做功为0，洛伦兹力不做功，故带电粒子再次回到x轴时的速度为0，随后受电场力作用再次进入第二象限重复向左偏转．故B正确，D错误．

【答案】 B

 4. (2022·广东卷)如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场．一质子以某一速度从立方体左侧垂直yOz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域．下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是(　　)

【解析】 由题意知当质子射出后先在MN左侧运动，刚射出时根据左手定则可知质子受到沿y轴正方向的洛伦兹力，即在MN左侧会向y轴正方向偏移，做匀速圆周运动，y轴坐标增大，在MN右侧根据左手定则可知洛伦兹力反向，质子在y轴正方向上做减速运动，故A正确，B错误；根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于xOy平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没有运动，z轴坐标不变，故C、D错误．

【答案】 A

　1. 熟悉“两个等效模型”

(1) 变曲为直：图甲所示通电导线，在计算安培力的大小和判断方向时均可等效为ac直线电流．

(2) 化电为磁：环形电流可等效为小磁针，通电螺线管可等效为条形磁铁，如图乙所示．

2. 磁感应强度是矢量，多个通电导体产生的磁场叠加时，合磁场的磁感应强度等于各场源单独存在时在该点磁感应强度的矢量和．

(2022·苏州期中)如图所示，在光滑水平桌面上，将长为L的柔软导线弯成六分之一圆弧，导线固定在A、C两端．整个装置处于磁感应强度大小为B，方向竖直向上的匀强磁场中，导线通以由C到A、大小为I的恒定电流，则导线中点处受到的张力大小是(　　)

A.  BILB.

C.     D.

【解析】 由几何关系可得L＝Rθ＝，则圆弧半径为R＝，化曲线为直线，有效长度为R，则安培力大小F＝BIR＝，导线上张力处处相等，导线两端点的张力夹角为120°，两端点的张力的合力等于安培力，故导线中点受到的张力大小为，所以B正确；A、C、D错误．

【答案】 B

　　1. 轨迹的几个基本特点

(1) 粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角．如图甲所示，θ1＝θ2＝θ3.

(2) 粒子经过磁场时速度方向的偏转角等于其轨迹的圆心角(如图甲所示，α1＝α2).

(3) 沿半径方向射入圆形磁场的粒子，出射时亦沿半径方向，如图乙所示．

(4)  磁场圆与轨迹圆半径相同时，以相同速率从同一点沿各个方向射入的粒子，出射速度方向相互平行，如图丙所示．反之，以相互平行的相同速率射入时，会从同一点射出(即磁聚焦现象).

2. 常见三种临界模型草图

分析临界问题时应注意从关键词、语句找突破口，审题时一定要抓住题干中“恰好”“最大”“至少”“不脱离”等词语，挖掘其隐藏的规律．如：

(1) 刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切；

(2)  当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；

(3)  当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长；

(4)  直径是圆的最大弦．

(2022·盐城模拟)如图所示，水平面的abc区域内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，边界的夹角为30°，距顶点b为L的S点有一粒子源，粒子在水平面内垂直bc边向磁场内发射速度大小不同的带负电的粒子、粒子质量为m、电量大小为q，下列说法正确的是(　　)

A. 从边界bc射出的粒子速度方向各不相同

B. 粒子离开磁场时到b点的最短距离为

C. 垂直边界ab射出的粒子的速度大小为

D. 垂直边界ab射出的粒子在磁场中运动的时间为

【解析】 粒子竖直向上进入磁场，轨迹圆心一定在bc边上，若粒子能从边界bc射出，粒子的速度方向一定竖直向下，故方向均相同，A错误；当轨迹恰好与ab边相切时，粒子从bc边离开磁场时到b点的距离最短，由几何关系可得(L－R1)sin  30°＝R1，离b点的最短距离为Δs＝L－2R1，联立解得Δs＝，B正确；垂直边界ab射出的粒子，轨道半径为R2＝L，由洛伦兹力作为向心力可得qvB＝m，解得粒子的速度大小为v＝，C错误；粒子在磁场中的运动周期为T＝，垂直边界ab射出的粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝，D错误．

【答案】 B

　　带电粒子在组合场中运动的处理方法

(2022·连云港模拟)如图所示，在第二象限内，0≤y≤d区域有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度E＝；d≤y≤3d区域有垂直于xOy平面向里，大小可调的匀强磁场I.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，自点P(0，6d)处以大小为v0、方向与y轴正方向成30°的速度进入匀强磁场Ⅱ(图中未画出)，匀强磁场Ⅱ的边界为矩形，方向垂直于xOy平面，粒子从磁场Ⅱ飞出后恰好能沿x轴负方向过坐标原点O.不计粒子的重力．求：

(1) 磁场Ⅱ的磁感应强度大小；

(2) 磁场Ⅱ的最小面积；

(3) 当磁场Ⅰ的磁感应强度大小为B1时，粒子恰好不能从磁场Ⅰ的上边界穿出，粒子第一次返回后与x轴的交点记为Q；当磁场Ⅰ的磁感应强度大小为B2时，粒子经过多次偏转后仍能经过Q点．求B2与B1所有可能的比值．

【答案】 (1) 如图，6d＝R＋R cos 60°，得到R＝4d.

由v0B＝m，解得B＝.

(2) 如图所示时，面积最小．

面积S＝ab，a＝2R，b＝R＋R cos 60°＝，

解得S＝48d2.

(3) 类平抛a＝，d＝at2，得vy＝at＝v0，

v＝＝v0, θ＝37°， x＝v0t＝d.

磁场为B1时，R1－R1cos 37°＝2d，R1＝10d，

由qvB＝m，得B1＝，

且得OQ＝2×＋2R1sin 37°＝，

磁场为B2时，OQ＝n×2×＋n×2R2sin 37°，

联立解得B2＝，

所以＝，而130－40n>0，

所以取n＝2、3.

当n＝2时，＝；

当n＝3时，＝.

速度选择器、质谱仪、回旋加速器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔效应等应用实例一直是高考的热点，这些问题的实质还是属于带电粒子在复合场中的运动问题．因此解决此类问题的关键在于准确把握各种应用实例的工作原理．

(2022·南通如皋适应性考试)如图所示，回旋加速器D形盒上加有垂直于表面的匀强磁场，细缝间接有电压为U、频率为f的交流电．若A处粒子源产生的氘核在加速器中被加速，则(　　)

A. 交流电的周期等于氘核在磁场中运动周期的一半

B. 氘核获得的最大速度与磁场的磁感应强度无关

C. 仅增大电压U，氘核在加速器中运动的时间变短

D. 若要加速α粒子，则交流电的频率f必须改变

【解析】 交流电的周期等于氘核在磁场中运动周期，A错误；根据qvB＝m，得v＝，则氘核最大动能Ek＝mv2＝，氘核获得的最大速度与磁场的磁感应强度有关，B错误；氘核在回旋加速器回旋一周，增加的动能为2qU，在回旋加速器中运动时间由回旋次数决定，设回旋次数为n，则由2nqU＝mv，可得n＝，所以粒子运动总时间t＝nT＝·＝，若只增大交变电压U，则氘核在回旋加速器中加速次数会减小，导致运行时间变短，C正确；根据T＝，又α粒子与氘核的比荷相同，α粒子与氘核在磁场中运动的周期相同，又f＝，α粒子与氘核在磁场中运动的频率相同，若要加速α粒子，则交流电的频率f不用改变，D错误．

【答案】 C

 1. (2022·常州八校调研)一对相同的载流圆线圈彼此平行且共轴，通以同方向等大电流，在两线圈圆心O1、O2连线上取A、B、C三点，使得AO1＝O1B＝BO2＝O2C，A、B两点的磁感应强度大小分别为BA和BB.若仅将线圈O2中电流反向(大小不变)，则C点的磁感应强度大小变为BC，下列说法正确的是(　　)

A. BC＝BB－BA，开始时A与C磁场同向，后来A与C磁场反向

B. BC＝BB－BA，开始时A与C磁场反向，后来A与C磁场同向

C. BC＝2BA－BB，开始时A与C磁场同向，后来A与C磁场反向

D. BC＝2BA－BB，开始时A与C磁场反向，后来A与C磁场同向

【解析】 设AO1＝O1B＝BO2＝O2C＝x，距离圆环x，每个圆环单独产生的磁感应强度为B1，距离圆环3x处每个圆环单独产生的磁感应强度为B2，电流同向时，根据安培定则，两线圈产生的磁感应强度在中轴线上磁场向下，B点的合磁感应强度方向向下，BB＝2B1，A点的磁感应强度方向向下，BA＝B1＋B2，在线圈O2中电流反向后，线圈O2在C点的磁场方向向上，线圈O1在C点的磁场方向向下，合磁感应强度方向向上BC＝B1－B2，电流反向后线圈O2在A点的磁场方向向上，线圈O1在A点的磁场方向向下，合磁感应强度方向向下，联立解得BC＝BB－BA，由上分析知，开始时A与C磁场同向，后来A与C磁场反向，故A正确．

【答案】 A

 2. (2022·南通如皋模拟)如图所示，水平桌面上有一正三角形线框abc，线框由粗细相同的同种材料制成，边长为L，线框处在与桌面成60°斜向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，ac边与磁场垂直．现a、c两点接到直流电源上，流过ac边的电流为I，线框静止在桌面上，则线框受到的摩擦力大小为(　　)

A. BILB. BIL

C. BIL    D. 2BIL

【解析】 根据题意可知abc边的电流为I′＝，正三角形框架接入电路后，受安培力的等效长度为L，总电流为I总＝I＋I′＝，所受安培力大小为F＝B cos  30°I总L＝，故C正确．

【答案】 C

 3. (2022·连云港模拟)利用霍尔元件可以制作位移传感器．如图甲所示，将霍尔元件置于两块磁性强弱相同、同名磁极相对放置的磁体间隙中，以中间位置为坐标原点建立如图乙所示空间坐标系．当物体沿x轴方向移动时，霍尔元件将产生不同的霍尔电压U.已知在小范围内，磁感应强度B的大小与x成正比．电流I沿＋z方向且保持不变．下列说法正确的是(　　)

A.  电流I越小，霍尔电压U越大

B. 位移传感器无法确定位移的方向

C. 位移传感器的刻度线是均匀的

D. 当霍尔元件处于x>0的位置时，上表面电势高

【解析】 根据题意得qvB＝q，I＝nqSv，解得U＝I，电流I越小，霍尔电压U越小，A错误；根据题意B＝kx，解得U＝x，电压与位移成正比，位移传感器的刻度线是均匀的，C正确；若载流子带电荷正负确定，根据左手定则，可以确定上表面电势的高低，位移传感器可以确定位移的方向，B错误； 不知道载流子的正负电荷，无法确定上表面电势高低，D错误．

【答案】 C

 4. (2022·泰州模拟)如图所示，太极图由“阴鱼”和“阳鱼”构成，其边界是以O为圆心、R为半径的圆，内部由以O1和O2为圆心、等半径的两个半圆分割成上下两部分，其中上部分为“阳鱼”，下部分为“阴鱼”，“阳鱼”中有垂直纸面向外的匀强磁场．Q为太极图边缘上一点，且O1、O2、O、Q四点共线．一电量为＋q，质量为m的带电粒子，在Q点以大小v的速度指向圆心O射入“阳鱼”区域，若带电粒子在“太极图”运动过程中，没有进入“阴鱼”区域，带电粒子重力不计．则磁感应强度的最小值为(　　)

A.     B.     C.     D.

【解析】 若使带电粒子没进入“阴鱼”区域，则带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示，轨迹与圆O1相切时粒子达到最大半径，此时磁感应强度最小，设粒子做圆周运动的轨迹半径为r，由几何关系可得(r＋)2＝r2＋(R)2，解得r＝2R，由牛顿第二定律可得qvB＝m，联立解得B＝，故B正确．

【答案】 B