14.2 乘法公式(原卷版+解析版)（培优三阶练）-2022-2023学年八年级数学上册课后培优分级练（人教版）

14.2 乘法公式

知识点01  平方差公式

1、平方差公式

语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．

2、平方差公式的特点

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．

②右边是相同项的平方减去相反项的平方．

③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式．

知识点02  完全平方公式

1、完全平方公式

，

语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式．

2、完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同．

知识点03  添括号法则

法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．

（1）首先要清楚括到括号里的是哪些项．

（2）括号前面是什么符号，括到括号里的项是否要改变符号，这与去括号一样，要变都变，要不变都不变．

（3）添括号后是否正确，可以用去括号来检验．

培优第一阶——基础过关练

1．若是一个用完全平方公式得到的结果，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：∵，是一个用完全平方公式得到的结果，

∴．

故选：B

2．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：A、B、C符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算，不符合题意．

D.两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算，符合题意．

故选：D．

3．如果是一个完全平方式，则m的值为（      ）

A．9  B．3 C． D．6

【答案】A

【详解】解：∵是一个完全平方式，

∴．

故选：A．

4．如图，通过计算大正方形的面积，可以验证一个等式，这个等式是（　　）

A．=x2+y2+z2+2y+xz+yz B．=x2+y2+z+2xy+xz+2yz

C．=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz D．=+2xz+2yz

【答案】C

【详解】根据题意可得：大长方形的面积=3个正方形的面积+6个小长方形的面积

∴=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz

故选：C

5．数学活动课上，小云和小辉在讨论一道张老师出的代数式求值问题．

结合他们的对话，通过计算求得的值是（    ）A．-4 B．-3 C．3 D．4

【答案】B

【详解】解：∵，，，

∴，

∴．

故选：B

6．用整式的乘法公式计算：______．

【答案】1

【详解】解：

故答案为：1．

7．已知x+y=4，则x²+2xy+y²=_____．

【答案】16

【详解】解：∵，

∴，

故答案为：16．

8．先化简，再求值

（1），其中．

（2）．其中m=2，n=1

【答案】（1）；；（2）；．

【详解】解：（1）

，

；

当时，

原式

；

（2）

，

；

当，时，

原式

．

9．已知(a+b)2＝17，(a﹣b)2＝13，求：

(1)a2+b2的值；

(2)ab的值．

【答案】(1)15

(2)1

【详解】(1)∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17①，

（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13②，

∴①+②得：2（a2+b2）＝30，

解得：a2+b2＝15；

(2)（1）问中①﹣②得：

4ab＝17-13，

解得ab＝1．

10．如图，有一个边长为米的正方形池塘，为了创建文明农村，需在南北方向上扩大3米，东西方向上减少3米，从而得到一个长方形池塘．

(1)求改造后的长方形池塘的面积；

(2)改造后的长方形池塘的面积比原正方形池塘的面积变大还是变小了，请通过计算说明．

【答案】(1)

(2)变小了，理由见解析

【详解】（1）由题可得，改造后池塘的长为（2a+3）m，宽为（2a-3）m，∴改造后的面积为：．

（2）原来的面积为：，∵＞0，∴改造后的长方形池塘的面积与原来相比变小了．

培优第二阶——拓展培优练

1．计算的结果是（    ）

A．0 B．1 C．-1 D．3

【答案】C

【详解】解：

=

=

=-1．

故选C．

2．下列运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】解：A. ，则该选项错误，不符合题意；    

B. ，则该选项错误，不符合题意；    

C. ，则该选项错误，不符合题意；        

D. ，则该选项正确，符合题意．        

故选D．

3．已知，，，那么的值等于（   ）

A．6 B．3 C．2 D．0

【答案】B

【详解】解：∵，，，

∴，

，

，

∴

，

故选：B．

4．如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，则剩下的钢板的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：

故选：B

5．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；

拼成的长方形的面积：（a+b）（a-b），

所以得出：=（a+b）（a-b），

故选：A．

6．若，则的值是______．

【答案】6

【详解】解：

，

故答案为：．

7．的个位数字是______．

【答案】5

【详解】解：

，

∵，，，，，

∴指数4个数一个循环，

∵

∴尾数为6，

∴个位数字是5．

故答案为：5．

8．已知：，．

(1)求ab．

(2)求．

【答案】(1)1

(2)16

【详解】（1）解：ab=

．

（2）因为，，

所以a-b==4，

所以=．

9．如图，认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：

①，

②，

③，

④．

(1)请写出：

算式⑤______；

算式⑥______；

(2)上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n-1和2n+1（n为整数），请说明这个规律是成立的；

(3)你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由．

【答案】(1)；

；

(2)见解析

(3)不成立，理由见解析

【详解】（1）解：；

；

（2）解：

，

为整数，

∴两个连续奇数的平方差能被8整除；

（3）解：不成立，理由如下：

举反例，如，

∵12不是8的倍数，

∴这个说法不成立．

10．如图，有型、型、型三种不同形状的纸板，型是边长为的正方形，型是边长为的正方形，型是长为，宽为的长方形．现用型纸板一张，型纸板一张，型纸板两张拼成如图的大正方形．

(1)观察图，请你用两种方法表示出图的总面积．

方法：______；

方法：______；

请利用图的面积表示方法，写出一个关于，的等式：______．

(2)已知图的总面积为，一张型纸板和一张型纸板的面积之和为，求的值．

(3)用一张型纸板和一张型纸板，拼成图所示的图形，若，，求图中阴影部分的面积．

【答案】(1)，，

(2)12

(3)

【详解】（1）解；由题意得：方法：；

方法：；

根据图的面积表示方法，可得：；

（2）由题意得：，，

；

（3）由题意得，图中阴影部分的面积为：，

，，

图中阴影部分的面积为：．

培优第三阶——中考沙场点兵

1．下列运算结果正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：A. ，原计算错误，不合题意；

B. ，原计算错误，不合题意；

C. ，原计算错误，不合题意；

D. ，原计算正确，符合题意；

故选：D．

2．已知实数m，n满足，则的最大值为（    ）

A．24 B． C． D．

【答案】B

【详解】解：

；

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴的最大值为，

故选：B．

3．从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ）

A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定

【答案】C

【详解】原来的土地面积为平方米，第二年的面积为

所以面积变小了，

故选C．

4．如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）

A．                        B．

C．                        D．

【答案】B

【详解】解：由图可知，

图1的面积为：x2-12，

图2的面积为：（x+1）（x-1），

所以x2-1=（x+1）（x-1）．

故选：B．

5．定义：形如的数称为复数（其中和为实数，为虚数单位，规定），称为复数的实部，称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如，因此，的实部是﹣8，虚部是6．已知复数的虚部是12，则实部是（　　）

A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5

【答案】C

【详解】解：∵

∴复数的实部是，虚部是，

∴，

∴，

∴．

故选C．

6．已知a+b＝3，a2+b2＝5，则ab的值是__．

【答案】2

【详解】∵a+b＝3，

∴（a+b）2＝9，

即a2+2ab+b2＝9，

∵a2+b2＝5，

∴ab＝（9﹣5）÷2＝2．

故答案为：2．

7．已知a+b＝2，a﹣b＝3．则a2﹣b2的值为 ___．

【答案】6

【详解】解：当a+b=2，a-b=3时，

a2-b2=（a+b）（a-b）=2×3=6．

故选：6．

8．先化简，再求值：，其中．

【答案】，1

【详解】解：

，

∵，

∴原式．

9．如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．

(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．

(2)当时，该小正方形的面积是多少？

【答案】(1)

(2)36

【详解】（1）解：∵直角三角形较短的直角边，

较长的直角边，

∴小正方形的边长；

（2）解：，

当时，．

10．如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形．

（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；

（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．

【答案】解：（1）.

（2）.

【详解】解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 

∴． 

S2=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）； 

（2）根据题意得： 

（a+b）（a-b）= ．