2023届高考数学二轮复习专题四函数与方程作业（B）含答案

2023届新高考数学高频考点专项练习：

专题四考点11 函数与方程（B卷）

1.已知函数.若存在2个零点，则a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

2.设，，分别是方程，，的实根，则(   )

A. B. C. D.

3.已知函数(，且)在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

4.已知函数(e为自然对数的底数)，则方程的实数根的个数为(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

5.已知函数则函数的零点个数为(   )

A.4 B.5 C.6 D.7

6.已知函数恒有零点，则实数k的取值范围是(   )

A. B. C. D.

7.已知定义在R上的奇函数，满足，且当时，，若方程在区间上有四个不同的根，，，，则的值为(   )

A.-4 B.-2 C.4 D.2

8.(多选)记函数的零点为，则关于的结论正确的为(   )

A. B. C. D.

9.(多选)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是(   )

A.  B.

C.  D.

10.(多选)已知函数是定义在上的偶函数，当时，则下列选项正确的是(   )

A.函数的最大值为1

B.函数的最小值为0

C.函数的零点有无数个

D.函数的零点个数为14

11.已知a是实数，函数，若函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是___________.

12.函数在上的所有零点之和为__________.

13.已知函数，若关x的方程有三个不相等的实数解，则实数m的取值范围为_________.

14.已知若函数（m为实数）有两个不同的零点，且，则的最小值为______________.

15.已知函数，.

（1）若为偶函数，求实数a的值；

（2）当时，求函数的零点；

（3）若方程在上有两个不同的实数根，，求实数a的取值范围.

答案以及解析

1.答案：C

解析：存在2个零点等价于函数与的图象存在2个交点，如图，

当时，，

由图可知要满足与的图象存在2个交点，

需要，即.故选C.

2.答案：C

解析：对于，在同一直角坐标系中作函数与的图象，如图1所示，

可得；

对于，在同一直角坐标系中作函数与的图象，如图2所示，

可得；

对于，在同一直角坐标系中作函数与的图象，如图3所示，

可得或，故，故选C.

3.答案：C

解析：因为函数在R上单调递减，所以

解得，

作出及的大致图象，如图所示，

由图象知在上，有且仅有一个解，

故在上，同样有且仅有一个解.

当，即时，，即，

则，

解得或（舍去）；

当，即时，由图象可知，符合条件.

综上，a的取值范围为0.

故选C.

4.答案：B

解析：由函数，可知方程，即，即，整理可得，即或.在方程中，，方程无实数解；

在方程中，，方程有2个不等的实数解.

综上可得，方程的实数根的个数为2.故选B.

5.答案：D

解析：的零点个数，即方程的根的个数.设，则.作出的图像，如图所示.结合图像可知，方程有3个实根，，，且有1个解，有3个解，有3个解.故方程有7个解，即函数有7个零点.

6.答案：D

解析：令，
得，
令，则，
，
即，
，
令，
则，
由恒成立知，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
时，，
时方程恒有根，
即，

故选D.

7.答案：A

解析：因为函数为R上的奇函数，所以，故函数的图象关于直线对称，
因为，故函数是周期为4的周期函数，

当时，，
因为函数、在上均为增函数，故函数在上也为增函数，
作出函数和在上的图象如下图所示：

设，由图可知，点与点关于直线对称，
点与点关于直线对称，
因此.
故选A.

8.答案：BC

解析：易知为单调递增函数，，且，所以函数存在唯一的零点，且，所以选项A错误，选项B正确；因为是函数的零点，所以，即，所以，即，所以选项C正确，选项D错误.综上可知，选BC.

9.答案：BC

解析：对于选项A，因为，所以无解，所以该函数不是“不动点”函数;对于选项B，令，得，因为，所以方程有两个不等的实数根，所以该函数为“不动点”函数;对于选项C，当时，令，得或，从而该函数为“不动点”函数;对于选项D，令，得，无解，因而该函数不是“不动点”函数.故选BC.

10.答案：ABC

解析：时，，当时，，当时，将在区间上的图象依次向右平移2个单位长度的同时，再将图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，就可以得到函数在上的图象.又是偶函数，的图象关于轴对称.作出的图象如图所示.

由图可知选项A，B，C正确.令，得或，易知直线与的图象有6个交点，直线与函数的图象有10个交点，函数共有16个零点，选项D不正确.故选ABC.

11.答案：

解析：函数有且仅有两个零点，即函数与的图象有且仅有两个交点.分别作出函数与的图象，如图所示.

由图易知，当时，两函数的图象有两个不同的交点，故实数a的取值范围是.

12.答案：

解析：由题意得，，令，则，所以，或，，解得，或，，因为，所以，，，，所以函数在上的所有零点之和为.

13.答案：

解析：由题意得函数画出的函数图象如图所示.设，则由有三个不同实数解，知方程有两个根，其中一个根在上，一个根为0或在上.若方程一个根为0，则，另一根为，不满足条件，故方程有两个根，其中一个根在上，另一个根在上.令函数.当时，则解得；当，即时，解得，将代，可得，解得，满足方程两个根中，一个根在上，一个根在上.综上所述，实数m的取值范围为.

14.答案：

解析：因为，所以在R上单调递增.函数有两个不同零点，等价于方程有两个不等实根.设，则.因为在R上单调递增，所以结合的图像可知（图略），问题转化为在上有两个不同的实根，则，则.设，则，令，则，所以在上单调递增.又因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.

15.解析：（1）由得，即对任意实数x都成立，.

（2）当时，，

令，解得；

当或时，，

令，

解得，

.

综上，函数的零点为-1和.

（3）当时，，令，可知方程在上最多有一个实数根；

当时，，令，

若，均为该方程在上的根，则，不符合题意.

故，.

由得，；

由得，

.

综上所述，a的取值范围为.