2022年云南省曲靖二中高考数学一模试卷（理科）（学生版+解析版）

这是一份2022年云南省曲靖二中高考数学一模试卷（理科）（学生版+解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2022年云南省曲靖二中髙考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题S分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）
I. （5 分）已知全集 U={ - 3, - 2，- I，0, 1，2，3J，粜合>1 ={x6Z|y = V2-|x|）,
=(”3，1. 2, 3),则(Cu4)
fl打的子集个数足（ ）

A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 8个
2. （5分）复数z = 的虚部为（
)

A. 1
B. - 1
C. i
D. - i
3. （5分〉某僉品的保鲜时间y（单位：/门与储藏温度.v（单位：*C）满足函数关系y=e^2,f
（e=2.718…为自然对数的底数，k, 6为常数〉.若该食品在储藏滥度为（TC时的保鲜时 间是216小吋.在储藏温度力2（TC时的保鲜吋间力24小吋，则该含品在W5藏温度力3（TC W的保鲜吋间是< ）
A. 4h B. 8/i C. 12A D. 16/!
4. （5分）己知单位向量L 5满足lb-2al = V5,则T列结论正确的是（ ）
A. a II b B. a丄6
C. fa + bj = 2 D. H与f 的夹角为 60°
5. （5分）已知/;eR.旦0 A.
B. V« +Vft>2 C.(f>bh



6. （5分）己知球參为正三棱AHC-AUi]Ci的外接球，正三棱的賅面边
长力丨，3, M球a的表面积是（ 〉
A. 4n
317T
B•丁
167T
丁
317T
7. （5分）在中，内角B，C所对的边分别乂|«，b，
a I -a
—是
cos/l

是等腰三角形”的（ ）
A.充分小必要条件 B.必要小充分条件
C.充要条件 D.既不充分也小必要条件
/ all ai 2 fll3
8. （5分）如叫a21 a22 a„）,三行三列的方阵巾有九个数叫U=、，2, 3： j=、，2, 3）, \a31 a32 a33
从中任収三个数，则至少有M个数位于同行成同列的概韦是（ ）
3 1 7
A.
4 I 7
B.
丄14
c.
D.



9. （5分〉己知me； _ + l（a〉b〉0）的左、右焦点分別为点厂、F.过原点6）作ft
(0.
7T
4yz
S
C. + =
9 11
10. （5 分）若《e
论正确的是（
7TI2
=
op-2
+
a
B-
0. 3|4/q=4|AF|, |/W|=5,则 C 的方程为 <
4x2 2yz
B. —+ -7- = 1 31 3
4x2 y2
D. 一 + — = 1 49 6
且(I +cos2al+sinp) =sin2acosp.则下列结
7TI2
D

11. （5分〉天干地支纪年法源于中国,中国&古便布十天干与十二地支，十天干即平、乙、
內、丁、戊、己、决、辛、壬、癸：十二地支即+、II、寅、卯、辰、巳、午、未、申、 酉、戍、亥.天干地支纪年法是按顺汴以一个天干和一个地支相配.排列起来，天干在 前.地支在后，天干由“甲”起.地irfi14-f”起.例如.第一年力“甲子”.第二年力 “乙丑”•第三年为“丙班”…，以此类推，抹列到“癸瓯”后，夭干回到•‘甲,’虫新开 始，即“屮戍”.“乙亥”，然后地支回到“子”虫新开始.即“内子”…，以此类推.今 年是辛打年.也是伟大、光荣、正确的中ra丼产党成立loo周年，w中図共产党成立的 那一年足（ ）
A.辛酉年 B.辛戊年 C.壬酉年 D.壬戍年
12. （5分）S直线与曲线产/-a.相叻,则a+/，的最人値为（ ）
A. - I B. e+1 C. <' D. e - I
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. （5 分）S （4.v - 1）4=ttO+rtl-v+«2A*+rmJ+«4.v4,则 «l+rt2+w3+«4 = .
2-x
14. （5 分）己知函数f （x） = Iog3-—+b：若./'（a） = I, /（ - a） =3，则 log/；a= .
2 AT
15. （5分）某三棱锥的三视阁如图所示.已知M格纸上小正方形的边K力I,该三棱稚所有
/>>（））的左，右焦点，P是
证明过程或演算步骤）
y2
-77=1 （ bi
双曲线C的心支上一点，（?i是么PF\F2的内心，且Sain'，:
3. 则C的离心率为
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明,
17. （12分）己知各项都为正数的数列（心）满足ai=4, a,^\2
（I ）求的通项公式：
（II ） »数列|加|满足/>w=««+ （2/1-5） cos/HT O，eN・），求数列｛W的前2"项和.
18. （12分）2021年6月17 II 9吋22分，我国酒泉卫星发射屮心用K征2F遥十运载火
箭.成功将神舟十二号战人飞船送入预定轨道，顺利将茲海肿、刘伯明、汤洪波3名航 天员送入太空.发射収得圆满成功.这标志着屮国人酋次进入自己的空间站.《公司负 贵生产的a型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景I•分广泛.该公司力r将 A型材料史好地投入蔺用，拟对A型材料进行应用改造、根掂市场调研勾換拟，得到应 用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y （亿元）的数据统U•如表：
宇号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
II
12
X
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
y
15
22
27
40
48
54
60
68.5
68
67.5
66
65
当（）
21.377 -14.4:当.v>!7时，确定y与.v满足的线性回归方程为y = -0.7r + «.
（丨）根据下列农格屮的数据，比较当0 选择拟合粘度史岛、史可靠的模型.预测对A型材料进行砬用改造的投入为17亿元时的 直接收益：
冋yj模期
模期①
模别②
冋归方程
y =4.Lv+10.9
y = 21.3\/x -）4.4
S?=i （y「z）2
79.13
20.2
(2〉为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元吋，阒家洽予公司补贴5亿元,
以冋归方程为预测依据，根据(丨)屮选择的拟合W度更尚更可靠的模型.比较投入17 亿元与2()亿元吋公司收益(直接收益+国家扑贴)的大小.
附：刻画冋归效果的指数R2=\^=l且当/?2越大吋，回妇方程的拟合效果 越好.\(17^4,1.
用最小二乘法求线性M归方程y = bx+a的截距：a =y-bx.
19. (12分〉如图所示，平行四边形EFGH的四个顶点£, F. G."分別妁四而体AliCD 的棱长/!/)，AC, BC，/?/)上的点.
(1) 证明：/Uy/7平而 EFGH-
(2) ??平而/W")丄平而"C/)，线段£//过/\4«/)的透心且 Ali=AC=AI)=CD=liC= V2, 求直线/1C与平而EFGH所成角的正弦位.

20. (12分)己知点似为直线/I: x= - I上的动点.N (1, 0),过財作直线/I的垂线，交 MN的中巫线千点P，记P点的轨迹为C.
(1) 求曲线C的方程：
(2) 若直线/2: y=k.\+m与|»| £: (.v - 3) 2+/=6扣切于点磨.与曲线C交于A，翊 点，且D 姚段的屮点.求2线/2的方程.
21. (12 分)己知函数/(.v) =ix2 + bzx-(2+i)A. (a关0).
(1) 当时，求函数/(.r)在点(I, /(!))处的切线方程；
(2) 令 F (.v) =af (x) 若 F (a) < 1 - 2ax 在 aG (1, +~)恒成立，求幣数 a 的最大值.
(参考数据：/h3<^, /"4<|).
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，贝啦所做的第一题记分J选修4-4:坐标 系与参数方程I
22. GO分〉在平面K角坐标系.xQy中，将曲线Cv. (0为参数)上任意一点
M (.V, >•)经过伸缩变换得到曲线C2.以坐杯原克a为极克，.V轴的非负半 轴力极轴，建立极史标系.盥线/的极史标方程力0 (cos0+sin9) =1.
(1) 求H线/的普通方程和曲线C2的H角坐标方程：
(2) 没直线/与曲线C2交于4, «两点，P (1, 0),求，|-|P/州的值. I选修4-S:不等式选讲1
23. 已知函数f (a) =2_-k_2|.
(1) 求不等式,f(A)<1的解集：
(2) 对V.r^O, 2),使徇/(.v)彡2"/2 •訓+1成立，求实数《的取仉范闹.
2022年云南省曲靖二中髙考数学一模试卷（理科）
参考谷案与试题解析
—、选择题（本大题共U小题，每小题S分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）
1. （5 分）已知全集乙'=|-3，-2,叫，0. I，2, 3!.集含A = {xEZ\y = yj2-\x\）, B
=| -3. I. 2, 3），则（Cu/1）AW 的子粢个数赴（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 8个
【解答】解：全集：/={ -3. -2.-丨，0, I, 2, 3}.
集合 A = {xeZ\y = =（a-6Z||a1^2） = { - 2, - 1, 0. I，2）,
»=1 - 3，丨，2. 3|，
.*.CuA=（ - 3, 3）,
:.（Cu/i） nfi={ -3, 3）,
:.（Cu/i） n/?的子集个数为22=4,
故选：C.
2. （5分）S数z = ^的谣部为（ ）
A. I B. - I C. i D. -I
【解答】解：跡品
(34-0(24-0
(2-0(2+0
5+S ‘
~5~
= !+/,
故此复数的虚部等于1,

故选：A.
3. （5分）某食品的保鲜时问.V （单位:/'）与賊温度.v （单位:"C）满足函数关系尸戶 （e=2.7l8…力A然对数的欣数，k, 6力常数）.若该&品在fifi藏温度力（TCW的保鲜吋
间是216小时.在WI藏温度力20*C吋的保鲜吋间力24小时.则该&品在敁藏温度力30*C
吋的保鲜吋间是（ ）
A. 4'i B. 8/2 C. I2A D. 16/?
【解答】解：7该访品在阽藏温垵力0*C吋的保鲜时间是216小吋.在WJ藏温度力20*C 吋的保鲜吋间为24小时,
...&艺24,解得，叫・即戶=!，
当x=30时.
Y=e^^b= e2O^2b. e10k = 24X
故该ft品在储藏温度为3（rc时的保鲜时间足8//.
故选：8.
4. (5分)己知单位向g; I满足\b - 2a| = V5. W下列结论正确的足( )
A. a II h B. S丄办
C. |a + 6| = 2 D. 5与；的夹角为 6(T
【解答】解：根据题怠.单位向E满足\b - 2a| = >/5,则(zJ-2a) 2=b2+4a2- 4a*/? =5,
变形可=0,即5丄1故A、D错误，B iEWft：
又(tl (a + d) 2= b2+a2+2a'b =2.则|a + b[= yf2, C错误： 故选:B.
5. (5分)己知a, bER.且()<«<1<仏 则下列结论中IE确的是( )
A. K B. y/a + Vb>2 C. ua>bb D. ^ha>l^
【解答】解:对于/h •••()<«< I <办，
:.h - a>0. ab〉0,
对 J- H,令 u= b=V2.满足 0 :Jgba>lgah.故 D 正确. 故选：D.
6. （5分〉己知球（）为正三棱^AHC- A\li\C\的外接球.正三棱柱A/；C-Ai/nCi的底面边
氏力丨.岛力3,则球0的表面积足（
A. 4n
317T B.丁
16丌
丁
D.
317T

【解答】解：没lE三棱的3为/!.欣面边长为没球0的半径为兄
则三棱柱底而三角形的外接圆半径r满足2r = 解得r = ^a.
由题怠可知，a=], /|=3,
113
II
/i24
+
«2|3
所以/?2 = (#a)2 + (^)2
则球0的表面积为S=4n«?=
故选：B.
7. （5分）在△/IfiC中，内角>4. B, C所对的边分别力a. b, c,则“兰=£2^”是“△ b cosA
ABC是等腰三用形”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要+充分条件

C.充®条件
D.既不充分也不必想条件

【解答】解:
a cosB
—=
b cosA

.,.sin/Acos4 = sin^cosfi.即 sin2A=sin25.
•.•△dfiC的内角 4. B. CE <0, n).
：.2A=2B ^.2A+2B=n,即 4 = 或
》三解可能酗三脉处=二”。“經麵三角开r
是假命题，
^ABC力等腰三用形小fig得到A = B.故tf^ABC力等腰三角形” => \ S假
b cosA
命题， a cosB .•. **- = — •’是“△/ifiC力等腰三角形”的炚非充分也非必要条件. b cosA
故选：D.
/all a12 al3
8. （5分）如图a21 a22 a23）,三行三列的方阵中有九个数叫（/=|, 2. 3： j=\. 2. 3）, \a31 a32 a33
从中任取三个数.则至少有两个数位于同行或同列的槪串是（ ）
3- 7
A.
4- 7
B.
丄14
c.
13114
D-

【解答】解：从9个数中任取3个数《苻（^=84种不同的取法. 若三个数任怠两个数不在同一行或者同一列.共有3X2X 1=6种不同的取法,
设堺件M九”这3个数中辛少有2个数位于同行或同列”.
则箏件M包含的収法共有84 - 6= 78 （种）,
根据古典槪®的槪韦计算公式得P（M） = g = l|.
故选：D.
线/交 C J./b 5 叫点.^AF - AF1 = 0, 3|4A|=4|4F|, |Afi| = 5,则 C 的方程乂/(
2x2 4y2

【解答】解：拟据题®.作出如下所示图形，
由对称性知.四边形AFBFH矩形. 设州=4'"，则關=|AF|=3"'，
在 中，打|AM2+|/".12=|A"|2・.・.（4，"）2+（3，"）2 = 52.解得'"=丨或-丨（舍负），
.•.州=4, \AF\=3,
由tffi関的定义知.\AF\^\AF\ = l=2a. /.«= j.
•:\OF]=^\AB\^ =o
...fcW-c2: (j)2-(|)2 =6.
4x2 y2
/.MM的方程力+ — = l. 49 6




故选：D.


10. (5 分)若 ae (0. ^). pe (0. ^).且(l+cos2a) (1+sinP)=sin2acosP» 则下列结 论正确的是( )
A. a+fi = ^ B. a + | = | C. 2a -/? = j D. a-f = j
【解答】解：因力ae (0. i).
所以 cosa^O.山(l+cos2a) (l+sinp) =sin2acosp.
口f得 2cos2a (l+sinp) =2sinacosacosp,化简得 cds

因力：ae （0. -）. pe （0,-）,
所以0<^-a<|,
山子函数.v=siiu在区间（一晏.卜.单调进栩，
所以 a-P=^-a,可得 2a - p=
故选：C.
II. （5分）天干地支纪年法源于中国.中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、 内、丁、戊、己、决、辛、壬、癸：十二地支即户、H、班、卯、辰、巳、T-.未、申、 酉、戍、亥.天干地支纪年法是按硕汴以一个天干和一个地支相配，排列起來，夭T•在 前，地支在后，天干山“甲”起，地i山“子”起.例如.第一年力“中子”，第二年力 “乙IT,第三年为“内资”....以此类推,排列到“麵”后，天干回到“甲”重新开 始,即“甲戌”，“乙亥”.然后地支回到“子”重新开始，即“内？”•••.以此类推.今 年是辛B年，也是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则中国共产党成立的 那一年是（ ）
A.辛酉年 B.辛戊年 C. 年 D. +戍年
【解答】解：山题®可知，天干进公差力10的等差数列.地支为公差为12的等差数列. 所以100+10=10力辛年.100+12 = 8……4,力酉年(TI往前推4年)， M 100年前可得到力辛酉年.
故选：A.
12. (5分)若餓y=a^b与曲线y=er-.t相切.则cr+fc的进大值为( )
A. - I B. e+\ C. e D. e - }
【解答】解：由题得/ (.V) =ev- 1,没切点为(r, /(/)).
则/ (/) =e - b f (，)=e' - I:
则切线方程为 y - («/ - r) = (? - 1) (.v • /), 即 y= ( / - 1) x+e1 (1 - /).又因y=ax+h, 所以 a=e' - I • h=e (1 - /)，则(i+b= - \+2e* -'〆• 令(/) = - 1+2〆-fer,则发'(/) = ( \ - i) e, M有'〉i.〆(f) <0； /0,
所以r=l时.g (.V)取圾大偾.
所以a+b的最大值为发⑴ =-l+2e - e=e - I. 故选：D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. (5 分)(4x - 1) 4=t/n+wLv+d2.r+«3.v3+«4.v4» 则 ai +«2+«3+= 80 . 【解答】解：由于(4.v - I ) 4=«o+"i.v+a2x2+a.u3+okr4，
当.v=0 时.«o=l,
当 x=丨时.ao+ai +tn+a3+a4=34=81， 故 14. (5 分)己知函数f (.v) =,°83|~ +^'若/(“)=1. /< - a) =3，则 log/x/=_0_ 【解荇】解：根据题意.函数/(.v) =log3^ +b.且/(«) =1, /(-«〉=3，
则/ («) =log?|^ +/?=!, /•(-<') =log3|^+办=3，
则/ (a) 4/ ( - =log3l +2Z> = 2Z>=4.则 b=2, 2+a 2-a
若 f («) =1» 则 log?|^ = -1 .解可得(1= I .
故 logM = 0，
故答案为:0.
15. (5分)狨三棱锥的三视阁如图所示.己知网格纸t小正方形的边K力I，该三棱锥所有 表而屮，扱大的而积为 2\(3 .
| I I I I I • • I

【解答】解：根据几何体的二视阁转换力A观阁力：该几何体力二梭锥体4 - BCD. 如阁所示：

由子：S 厶 fjci）= 2x2x2 = 2，S^acd = ^&abc =乏 x 2 x 2>/2 = 2>/2. ⑽x 2a/2 x
J22 + （V5）2 = 275，
故答案为：2V3.
X2 y2
I6. （5分）己知Fi，厂2分别是双Ittl线C: —-77 =l （a〉0. b>0）的发.心焦点.P& a2 b2
双曲线C的右支上一点,Oi是△尸FiF2的内心，且Snf2/，： S^iaip： S^ 【解答】解：设内W圆半径力r.则
1 1 1
S^ompz S^ou-\p： S^oiFib2= g \PPz\r： - \PP\\r： — \PiPz\r 叫PFi|: |P/'2|： |/jA*2l=l： 2： 3,
1 7
tt|PF2|=4|FiF2|=V，\PF,\
2 13
IF1
413

XirFil - |Pf2|=2«. :.-C = 2a,
故 = 3.
故答案为:3.
三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. (12分〉己知各项都为正数的数列|如|满足.ai=4,歸|2- (2d I) «„+i - 2你,=(). (I )求UmI的油项公式：
(II)数列满足'相=融(2»-5) cos'm («6N*),求数列(/)«｝的前2/:项和. 【解符】解：(丨)依题意，Iha^ - (2an - l)an^ -2an = 0.可得 (a/i+1 - Icin') i+l ) =0.
••• cin* i +1〉0 • .*.«/!♦ I = 2a"，
即 = 2.

.•.数列{an}&以4为首项，2为公比的等比数列，
:.an =4 -2M~1 = 2n+1, nGN*.
(11 )由题意及(I )，可得
bn = (ln+ (2/7 - 5) COSWTT
= 2"*l+ (2" - 5) COS//TT
f2n+1 + 5-2n, n为奇数
= l2«+] +2n-5, n为册’
•••数列的前2/i项和为
b\+b2+b3+bi+ •••+bin - \+b2n
=(22+5-2X|) + (23+2X2 - 5) + (24+5 - 2X3) + (25+2X4 - 5) + …+[22w+5 - 2 (2" -I) J+l22”“+2.2"- 51
=(22+23+24+25+-+22,/+22h*1 ) +2X( (2- I) + (4-3) +".+ (2"-2"+l) J
=22'什2+2« - 4.



18. (12分) 2021年6月17H9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征2F遥十二运载火
箭，成功将神舟十二号裁人飞船送入预定轨道.顺利将聂海W、刘伯明、汤洪波3名航 夭员送入太空.发射収得圆满成功，这标志卷中国人首次进入自己的空间站.某公司负 贵生产的材料是祌舟十二号的重要零件，该W料应用前景十分广泛.该公司为了将 A型材枓史好地投入商用，拟对A型材枓进行应川改造、报据市场调研与模拟，得到应 用改造投入.Y (亿元〉与产品的直接收益y (亿元)的数据统U•如表：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1()
II
12
X
2
3
4
6
8
1()
13
21
22
23
24
25
y
15
22
27
40
48
54
60
68.5
68
67.5
66
65
当(Xa
21.377-)4.4：当.t>17吋，确定_)•与.r满足的线性回归方程为y = -0.7x + «.
(1)根枞下列发格屮的数1K.比较当()<.v彡17吋模型①.②的相关指数W2的大小.并 选择拟合粘度史萵、史可命的模型，预测对A型W料进行应用改造的投入为17亿元时的
直接收益:
回妇模型
模型①
投型②
回妇方程
y =4.Ia+I0.9
y = 21.3\/x-14.4
SLi (z - y()2
79.13
20.2
(2〉为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于2()亿元吋.闵家给T公司补贴5亿元， 以回们方程为预测依枞，根据(I)屮选择的拟合精度史商史可菇的役型，比较投入17 亿元与20亿元吋公司收益(直接收益+国家补贴)的大小.
• 2
附：刻画冋妇效果的指数/?2=|-品1 (戶~7 4 ,且当f越大时，冋妇方程的拟合效果 砥1 (y「刃2
越好.717^4.1.
用最小二桊法求线性同们方程y = bx+ a的截距：a =y-bx.
【解答】解:(I)对于模型①，对应的y =
15+22+27+40+48+54+60 ,o
■) =.'O

Xi=i (yi-y)2 =(15 - 38) 2+ (22 - 38) 2+ (27 - 38) 2+ (40 • 38) 2+ (48 - 38) 2+ (54 -38) 2+ (60 - 38) 2=175()，
所以相关指数? =1-^1 ,548t
Cx (y-y)2 1750
同理，模把②的相关指数R 1 =1-^^0.9889.
因力 0.9889 >0.9548.
所以模型②拟合楮度史ft:
故讨吧材料进行应用改造的投入为17亿元时的苡接收益为213717-14.4^72.93： (2)当a>17N ・后五飢的x = 21+22卞24+25 =23>-= 68.5+68了5+66+65 =6?>
由®小二乘法可得i=67- ( - 0.7) X23=83.1,
故当投入20亿元时公司收益(也接收益+国家补贴)的大小力：-0.7X20+83.1+5 = 74.1 >72.93.
故投入n亿元比投入20亿元时收益小.
19. (12分〉如图所示，平行四边形EFGH的四个顶点f, F, G. H分别力四面ABCD 的梭长AD, AC, BC, fiD上的点.
(1) i正明：AB// 平面
(2) 若平面A肪丄平面5CD,线段£//过△AfiD的艰心RAB=AC=AD=CD=BC= VL 求££线AC与平面EFGH所成角的正弦值.

【解答】(I)证明：山题怠.在平行四边形EFGH中，FG//EH, 又 E7/C：平面 ABD, FGe平面 M£),
所以FG//^面MD，
又平面ABDC\平面ABC=A8, FGc平面A5C.
所以 AB//FG.
又 FGc平面 EFGH. 平面 EFGH,
故Afi//平面EFGH;
(2)解：取的屮点0，连接40, co,
山题怠可得.40丄肋，
因力平而4肋丄平而BCD，平而ABDn平面BCD-BD, AOc平而ABD,
故40丄平而BCD.
同理可得CO丄平而ABD.
则片o丄do, 丄ca, C0丄DO,
因 ^AO=CO,
WiJA40C^等腰A:角三角形，所以BD=2,
故以点a力坐标原点.建立空间直角坐标系如图所示，
则 4 (0, 0，I). B (0, - I. 0), C (1, 0, 0)，D (0, 1. 0).
所以AC = (1. 0，-1), AB = (0. - 1. -1), CD = (-1. 1. 0),
设平EFGH的法向镇= (x, y, z),

(n ■ CD = -x + y = 0 令y=h 则 x=l, z= - 1, 故G = (1, 1, - 1).
所以\cos|
\AC\\n\ _ 7T+T+Tx7T+0+T



故直线AC句平面EFGH所成角的正弦值为y.



20. (12分)己知点似为直线/i: x= - I上的动点，AU I, 0),过/W作3线/i的乖线，交
，WV的中垂线于点P,记P点的轨迹力C.
(I)求曲线C的方程：
(2) 线/2: y=k^m Mi圆 E: (.v - 3) 2+.v2=6 扣切于点/)，与曲线 C 交于/b B 两 点，且D为线段4好的中点，求R线/2的方程.
【解答】解:(I)由己知可得，\PN\=\PM\,
即点P到定点A/的距离等丁到S线/|的距离，
故戸点的轨迹足以AT为焦点，/I为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为r=4.r.…(4分)
(2)设 4(A1, )，|)，ii(A2. ).2)，I)(-V0,刈)，1?线/2 斜率为匕显然 k 判，
由\y = kx + mf 得，^v2+ (2A/n-4) ^m2=0.
y = 4x
4-2km
因为直线/2 -hi®l Ez (.v - 3) 2勺，2=6相切于点D,
所以|/)£12=6: /)£丄/2,
V2 = Av
所以m=0,
故12的方稅为y= y[2x或)•= -V2.v.…(12分)
21. (12 分)己知函数/(a.〉=^x2 + bn:-(2+^)x，
(1) 当时，求函数f (a)在点(丨./ (丨D处的切线方程：
(2) 令 F (.v) =af (a) -r. F (a) < I - 2m.在.vG (I, +~)恒成立，求幣数 a 的最大值.
(参考数据：//i4<|).
【解答】解：(I)当时，函数/(a) =2r2+/".t • 4x,
则/ (a.) =4x+i-4,所以/ (I) =1, a/(l) =2+/"2-4=-2，
所以函数f (a)在点(I，-2)处的切线斜率力(=1，
所以切线方程力)•• ( -2) =.v- I,即x-.y-3 = 0,
所以函数/(.V)在点(丨，/(I)〉处的切线方程力.v-.v-3=0;
(2)由 F(,v〉=af (a) - ,^=alnx - (2«+l) a,
所以不等式F (x) < 1 - 2ax在xe (1, +~)上恨成立. 即 alnx - (2n+I) a 设/' (x) =^. a〉I,则"'(.V) =~^~, In x
令 r(x〉,v>l.可得/(.r)在(丨.+OO)上申.调递増.因力M4<|. 所以 / (3) <0, / (4) X),
所以存在.we (3, 4),使得丨Cao) ="».v0—•-丨=().从而h (.v)在(I. .vo)上单调迹 减，在(AT>, +«)上单调递増:
所以 /l(X)111111 = h(AT)) = 1 ==.voE (3. 4),
^0
因为在戊<>• +co)上恒成立.所以a 所以整数《的嵌火愤力3.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分J选修4-4:坐标 系与参数方程1
22. (10分)在平面迕角迸标系.vQy屮，将曲线" 2^0^⑺为参数)上任S—点 M(X, v)经过伸缩变换PV =2X后得到曲线C2.以坐标趿点參为极点..v轴的非负半 b =y
轴力极轴,建立拔坐标系,直线/的极坐标方程力p (cos0+sin0) =1.
(1) 求a线/的酋通方程和曲线C2的s角坐方程：
(2) 没直线/与曲线C2交于儿ft两点.P (1. 0>,求IIM卜irail的值.
【解答】解：(I) i殳曲线(72上任惫一点Af (V, /)•则行=2(1+^) (y = 2sinf)
消去 G 得.V2+y2-4.f=0.
所以，曲线线Ci的S角坐你方程为a2+y2 - 4.v=0. f x = pcosO 由p (cos9+sin0) =1,根据：\ y = psinO 得到:fi线的普通方程为x+v - 1 =0.
{x2+y2=p2
(2)宣线/的参数方程为将其代入x2+y2 - 4.v=0得.
t2 +V2C-3 = 0,
设4, w对应的参数分别为n, '2,
则 q + t-2 = -V2. tj t2 = -3.
'：im= -3<0
所以II例-I尸训=IG + Czl = V2,
丨选修4-S:不等式选讲1
23. 己知函数f (a) =2|.r+1|-k_ 2|.
(1) 求不等式f (a ) <1的解集：
(2) 对Vx^O. 3/ne[|. 2).使得f (.t)彡2///2-訓+1成立，求实数a的取仉范[H.
(
一x - 4, x < -1
3x, -Kx<2 .
x + 4, x > 2 V/ (a ) <1.
...卜一4<1或产<1成卜+ 4<1,
解得-5 即不等式的解災为UI - 5<.v (2) V劍.f(x) =\3X，°-X<1.为增函数， (x + 4, x> 1
••• f (.v) ""•，】=0，
2],使得/(j)彡2"i2-«"/+ 1 成立，
.•• 3〃/E[^. 2].使得 2//P - am+1 名0 成立，
.••彐2],使得 rz彡2"'+去.
令).=2"，+i，2].
Vy=2;»+i>2V2.当且仅当'"=孕H取等号.
故《 的収ffiffiia为RW，+oo).