2022-2023学年江苏省淮阴中学教育集团涟水滨河高级中学高一下学期第一次学情调研数学试题含解析

2022-2023学年江苏省淮阴中学教育集团涟水滨河高级中学高一下学期第一次学情调研数学试题

一、单选题

1．已知向量，，且，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，即可解得的值.

【详解】因为向量，，且，则，解得.

故选：B.

2．已知是单位向量，若，则（    ）

A． B． C．8 D．

【答案】B

【分析】根据，求出，然后求解.

【详解】，即，，

故选：B.

3．已知是第四象限角，且，则（    ）

A． B． C． D．7

【答案】A

【分析】利用诱导公式结合同角公式求出，再利用和角的正切计算作答.

【详解】由得：，即，而是第四象限角，

则有，，

所以.

故选：A

4．在下列说法中：

①若，，则；    ②零向量的模长是；

③长度相等的向量叫相等向量；    ④共线是在同一条直线上的向量．

其中正确说法的序号是（    ）

A．①② B．②③ C．②④ D．①④

【答案】A

【分析】根据相等向量、共线向量、零向量的定义判断即可；

【详解】解：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若，，则，故③错误，①正确，

模为的向量叫做零向量，故②正确，

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也称为共线向量，规定零向量和任意向量平行，故④错误；

故选：A

5．如图，在平行四边形ABCD中，，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的运算法则计算得到答案.

【详解】，

故选：B

6．设为平面内一个基底，已知向量，，，若，，三点共线，则的值是（    ）

A．2 B．1 C．－2 D．－1

【答案】D

【分析】根据点共线可得向量共线，根据向量共线定理，即可求解.

【详解】,因为三点共线,所以,即存在,使得,故

故选：D

7．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，且，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的（    ）

A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍

【答案】B

【分析】根据给定条件，可得，再利用和角的正切公式计算作答.

【详解】依题意，，则，

所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍.

故选：B

8．设是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且.若存在，使得与垂直，且，则的最小值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】构造向量，利用向量垂直和，结合基本不等式得出的最大值2，结合图形可得答案.

【详解】如图，是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且，

由题意得：，令，则三点共线,

，则三点共线,

故有共线，由题意与垂直，，知，且为定值，

在中，，当且仅当时，取最大值2，

此时面积最大，则到的距离最远，而，故当且仅当，

即关于轴对称时，最小，此时到的距离为，

所以，故，即的最小值为.

故选：D.

二、多选题

9．已知向量，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．与可以作为基底

C． D．与方向相同

【答案】BD

【分析】根据向量的坐标运算，共线向量定理和平面向量基本定理逐项分析即得.

【详解】由题意，向量，可得，

所以，所以A正确，B错误；

又由，所以C正确；

因为，所以，所以与方向相反，所以D错误.

故选：BD.

10．下列等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可.

【详解】，A正确；

，B错误；

，C正确；

，D正确；

故选：ACD

11．给出下列命题，其中正确的选项有（    ）

A．若非零向量满足，则与共线且同向

B．若非零向量满足，则与的夹角为

C．若单位向量的夹角为，则当取最小值时，

D．在中，若，则为等腰三角形

【答案】AD

【分析】选项A：把平方得到，然后根据，得出，从而得出；

选项B：根据得到以为三边的三角形为等边三角形，从而得到与的夹角为30°；

选项C：利用平方法得到，从而判断出时取最小值；

选项D：根据题意分析出都为单位向量，从而得到向量所在的直线为角的角平分线，再根据条件，即可判断为等腰三角形.

【详解】选项A：对非零向量，

，

若使成立，即使成立，

则，即，所以与共线且同向，选项A正确；

选项B：非零向量满足，则以为三边的三角形为等边三角形，故与的夹角为30°，选项B错误；

选项C：因为单位向量的夹角为60°，

所以

，所以时，取最小值，故选项C错误；

选项D：因为都为单位向量，所以向量所在的直线为角的角平分线，又因为，即，

所以，即为等腰三角形,所以选项D正确.

故选：AD

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小正周期是

B．函数在上单调递增

C．的一个对称中心是

D．若，时，成立，则的最大值为

【答案】ABD

【分析】先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的周期性，单调性和对称性即可判断ABC；令，则，时，成立，可转化为，时，成立，作出函数和的图象，结合图象即可判断D.

【详解】，

对于A，，故A正确；

对于B，当时，，

所以函数在上单调递增，故B正确；

对于C，因为，

所以不是的一个对称中心，故C错误；

对于D，令，由，得，

设，不妨设，则，

则，时，成立，

即，时，成立，即成立，

令，

则方程有两个不同的解，

如图作出函数和的图象，

由图可知的最大值为，

即，所以，

即的最大值为，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．若，且α为锐角，则=______

【答案】

【分析】先化为，再根据同角平方关系和差角正弦公式计算即可.

【详解】因为α为锐角，所以，，

故.

故答案为：

14．若向量，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________．

【答案】

【分析】根据与的夹角为钝角，由，且与的不共线求解.

【详解】解：由，得．

又与的夹角为钝角，

∴，得，

若，则，即．

当时，与共线且反向，不合题意．

综上，k的取值范围为，

故答案为：．

15．如图，单位向量，的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则的最小值为______．

【答案】

【分析】建立平面直角坐标系，设出，，利用平面向量数量积公式，结合辅助角公式得到，结合，求出最小值.

【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，

则，设，，

故

，

因为，所以，

故当，时，取得最小值，最小值为.

故答案为：

四、双空题

16．若，则________，____．

【答案】     3    

【分析】解方程求得，由两角和的正弦公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得.

【详解】因为，所以．由，解得，

从而

．

故答案为：；

五、解答题

17．已知向量，．

(1)求；

(2)已知，且，求向量与向量的夹角．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量的坐标运算求向量的模即可；（2）由向量的模，根据向量的数量积公式转化求向量的夹角即可.

【详解】（1）由题知，，

所以，

所以.

（2）由题知，，，，

所以，，

所以，

所以，

所以，

所以，

因为，

向量与向量的夹角为.

18．已知为第二象限角，为第一象限角，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用平方关系求出，再利用两角和的正弦公式即可得解；

（2）先利用二倍角的正切公式求出，再根据两角差的正切公式即可得解.

【详解】（1）因为为第二象限角，为第一象限角，，

所以，

所以.

（2），

所以，

所以.

19．已知平行四边形中，，点是线段的中点．

（I）求的值；

（II）若，且，求的值．

【答案】（I）4；（II）.

【分析】（I）建立坐标系，利用坐标求解数量积，或者利用数量积的定义求解；

（II）求出向量的坐标，结合向量垂直的坐标表示可求的值，或者位置关系求解.

【详解】法1：（I）

以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则

，

，

；

（II）

，

．

法2：

（I）；

（II），∴，

∵，，

∴与重合，

∴．

20．设向量，其中为锐角．

若，求的值；

若，求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据向量的数量积和三角函数的关系，即可求出；

（2）根据向量的平行和同角的三角函数的关系，即可求出．

【详解】向量，，

，，

为锐角，，，．

，，，

，

【点睛】本题考查了向量的数量积和向量与平行的关系，以及三角函数的化简，属于基础题.

21．已知.

(1)若，求证：；

(2)设，若，求的值.

【答案】(1)证明过程见解析

(2)

【分析】（1）求出，利用模长公式列出方程，求出，证明出；

（2）根据得到，平方相加后得到的值.

【详解】（1），

故，

即，

化简得：，

故；

（2），

所以，

两式平方相加得：，

故.

22．已知函数，．

(1)求的最小正周期；

(2)求在区间上的最大值和最小值；

(3)若，，求的值．

【答案】(1)

(2)最大值为，最小值为－.

(3)

【分析】(1)根据两角和差，二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，求周期即可；

(2)根据自变量范围求，结合单调性求最值；

(3)由已知条件结合两角和差公式求值.

【详解】（1）　

，                            　

.　                    

，  的最小正周期为.

（2）因为，所以

令，得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增.    

且，，，

所以，的最大值为，最小值为－.

（3）因为，，所以，，

又因为　所以，，

故，，　　            

所以，

.